40. Решение прямой задачи динамики точки. Динамика материальной точки. Динамика

В этом случае следует выбрать координатную систему, нанести на чертеж точку с действующими на нее силами и записать дифференциальные уравнения движения в выбранной координатной системе. Полученную систему из трех (в общем случае – совместных) дифференциальных уравнений второго порядка следует дважды проинтегрировать. При этом необходимо ввести шесть постоянных интегрирования. Они могут быть определены, если известны, например, положение и скорость точки в начальный момент времени. В таком случае, если говорить языком математики, решается задача Коши (начальная задача, эволюционная задача).

Выбор начального момента времени определяется соображениями удобства решения; при этом начальные условия отражают влияние на движение точки сил, действовавших до избранного начального момента времени. Поэтому в зависимости от начальных условий под действием одной и той же совокупности сил точка может совершать различные движения.

Определение постоянных интегрирования может быть выполнено и в том случае, если для двух моментов времени известны положения точки. В такой постановке прямая задача динамики точки решается как краевая. Заметим, что краевая задача, в отличие от начальной, может иметь неоднозначное решение.

В случае движения точки по поверхности (положение задается двумя обобщенными координатами) число постоянных интегрирования сокращается до четырех; при движении вдоль заданной линии – до двух.

В тех случаях, когда в дифференциальном уравнении возможно разделение переменных с последующим приведением его правой и левой частей к табличным подинтегральным выражениям, интегрирование позволяет получить аналитические зависимости между параметрами движения.

В некоторых задачах на основании имеемого опыта можно предположить вид искомого решения. Проверка такого предположения осуществляется его подстановкой в исходное дифференциальное уравнение. Очевидно, что при выполнении последнего предполагаемое решение является правильным; в противном случае следует искать другой вид решения.

При невозможности получения решения в форме аналитических зависимостей могут быть сделаны некоторые предположения, позволяющие получить приближенные зависимости. Естественно, что точность полученных решений будет зависеть от корректности принятых допущений.

Если получение параметров движения в аналитической форме не представляется возможным, следует использовать численное моделирование процесса движения. Результаты расчетов сводятся в таблицы либо по ним строятся соответствующие графики.

ПРИМЕР 3. Подводный аппарат (ПА), получив небольшую отрицательную плавучесть $p$ , начинает погружаться по вертикали. Зная массу ПА $m$ и присоединенную массу жидкости при его движении по вертикали $λ$ , найти зависимость глубины погружения от времени. Силу вязкого сопротивления воды при малых скоростях движения полагать пропорциональной первой степени скорости (коэффициент пропорциональности $n$ ).

РЕШЕНИЕ. На ПА при его поступательном движении по вертикали действуют вес $\to G$ , архимедова сила поддержания ${\to F}_{A}$ и сила сопротивления ${\to F}_{C} = - n \to V$ (см. рис. 4).
Запишем дифференциальное уравнение движения ПА по вертикали:
$(m + λ) \frac{d V}{d t} = G - F_{A} - F_{C} = p - n V .$
Разделим переменные и выполним интегрирование левой и правой частей равенства:
$\int \frac{m + λ}{p - n V} d V + C_{1} = \int d t$ , тогда
$- \frac{m + λ}{n} ln . | p - n V | + C_{1} = t$ .
Для определения постоянной интегрирования $C_{1}$ используем второе из начальных условий: при $t = 0;$ $z = 0;$ $V_{0} = 0$ ,
$C_{1} = \frac{m + λ}{n} ln . | p |$ .
С учетом этого найдем $ln . ∣ ∣ \frac{p}{p - n V} ∣ ∣ = \frac{n t}{m + λ}$ .
Отсюда следует, что
$V = \frac{p}{n} (1 - e^{- \frac{n}{m + λ} t})$ .
Заметим, что с увеличением времени скорость погружения стремиться к значению $V_{m a x}$ .
Учитывая, что $V = \frac{d z}{d t}$ , разделим переменные в полученном для $V$ уравнении и выполним интегрирование:
$z = \frac{p}{n} t + \frac{p (m + λ)}{n^{2}} e^{- \frac{n}{m + λ} t} + C_{2}$ .
Постоянную интегрирования $C_{2}$ найдем из первого начального условия
$C_{2} = - \frac{m + λ}{n^{2}} p$ .
Окончательное выражение для $z$ примет вид
$z = \frac{p}{n} [t - \frac{m + λ}{n} (1 - e^{- \frac{n}{m + λ} t})]$ .
Полученная зависимость изображена на рис.5. Уравнение прямой к которой приближается с ростом времени найденное решение
$z^{*} = \frac{p}{n} (t - \frac{m + λ}{n})$ .

ПРИМЕР 4. Судно движется по прямой с постоянной скоростью $V_{0}$ . В некоторый момент времени двигатель судна был остановлен. Определить время $t_{*}$ , за которое скорость движения уменьшилась до величины $V_{1}$ , а так же путь $S$ , который пройдет судно за это время. Известно, что масса судна (вместе с присоединенной массой жидкости) $m$ , а сила вязкого сопротивления воды ${\to F}_{C} = - k V \cdot \to V$ , где $k$ — заданный эмпирический коэффициент, а $V = ∣ ∣ ∣ \to V ∣ ∣ ∣$ .

РЕШЕНИЕ. На рисунке 6 изображено судно с действующей на него силой сопротивления воды.

Составим дифференциальное уравнение движения судна вдоль оси $x$ :
$m \frac{d V}{d t} = - k V^{2}$ .
Разделим переменные и возьмем определенные интегралы от левой и правой частей уравнения:
$- \frac{m}{k} \int_{1}^{V_{1}} \frac{d V}{V^{2}} = \int_{*}^{t_{*}} d t$ , тогда
$t_{*} = \frac{m}{k} (\frac{1}{V_{1}} - \frac{1}{V_{0}})$ .
Для определения пройденного пути перейдем в исходном дифференциальном уравнении к переменной $x$ . Для этого воспользуемся заменой $\frac{d V}{d t} = \frac{d V}{d x} \frac{d x}{d t} = \frac{d V}{d x} V$ .
Тогда исходное уравнение можно записать как
$m \frac{d V}{d x} V = - k V^{2}$ .
Разделим переменные и возьмем определенные интегралы от обеих частей уравнения:
$- \frac{m}{k} \int_{1}^{V_{1}} \frac{d V}{V} = \int_{0}^{S} d x$ . Тогда $S = \frac{m}{k} ln . ∣ ∣ \frac{V_{0}}{V_{1}} ∣ ∣$ .

ПРИМЕР 5. В результате воздушного взрыва корабль получил вертикальную скорость $v_{0}$ . Найти период и амплитуду вертикальной качки корабля, если известны площадь его ватерлинии $S$ , водоизмещение $D$ и присоединенная масса жидкости в вертикальном направлении $λ$ . Развалом бортов и сопротивлением воды пренебречь.

РЕШЕНИЕ. Обозначим вертикальное перемещение корабля $y$ (см.рис.7).

Запишем дифференциальное уравнение вертикальных колебаний корабля, спроецировав на вертикаль силы, на него действующие (сила веса и архимедова сила поддержания): $(\frac{D}{g} + λ) ¨ y = - F^{а р х} + D = - γ (V_{0} + S y) + D = - γ S y$ ;
где $γ$ — удельный вес воды, $V_{0}$ — объем подводной части корабля в равновесном состоянии.
При записи уравнения учтено, что в равновесном положении водоизмещение корабля и сила поддержания равны и противоположно направлены.
Приведем полученное уравнение к виду
$¨ y + k^{2} y = 0$ , здесь $k^{2} = \frac{γ S g}{D + g λ}$ .
Будем предполагать, что решение должно иметь вид гармонических колебаний
$y = A sin . (ω t + α)$ , где $A$ , $ω$ и $α$ — неизвестные амплитуда, частота и начальная фаза.
Если наше предположение верно, то оно не должно нарушить исходное дифференциальное уравнение. Найдем выражение для $¨ y$ и подставим выражения для $¨ y$ и $y$ в исходное дифференциальное уравнение. Тогда
$A sin . (ω t + α) (- ω^{2} + k^{2}) = 0$ .
Равенство имеет место при $ω = \pm k$ . Это означает, что сделанное предположение о гармонических колебаниях верно при любых амплитуде и начальной фазе, если частота гармонических колебаний $k = \sqrt{\frac{γ S g}{D + g λ}}$ .
Зная частоту, найдем период вертикальных колебаний $T = \frac{2 π}{k} = 2 π \sqrt{\frac{D + g λ}{γ S g}}$ .
Запишем выражение для скорости колебательного движения
$v = ˙ y = A ω cos . (ω t + α)$ .
Подставив в выражения для $y$ и $˙ y$ начальные условия, получим систему уравнений, позволяющих найти амплитуду и начальную фазу вертикальных колебаний как
$A = \frac{v_{0}}{k} = v_{0} \sqrt{\frac{D + g λ}{γ S g}};$ $α = a r c t g 0 = 0$ .
При решении прямой задачи динамики для несвободной материальной точки часть действующих на нее сил, а именно все реакции связей, заранее не известны. Если их необходимо определить, то в процессе решения задачи следует воспользоваться уравнениями связей. Дифференциальные уравнения и уравнения связей должны образовать замкнутую систему (число неизвестных равно числу уравнений); при этом уравнения записываются в той координатной системе, которая наиболее удобна. В общей постановке задача достаточно сложна (см., например [ 1 ]) и в рамках настоящего курса ее решение не обсуждается.
В некоторых случаях, когда рациональный выбор координатной системы позволяет исключить неизвестные реакции из дифференциального уравнения, решение задачи существенно упрощается. Так, для математического маятника (рис.8) использование естественной координатной системы и угла отклонения $ϕ$ в качестве обобщенной координаты позволяет получить систему дифференциальных уравнений, в которой неизвестная сила натяжения нити входит только во второе уравнение системы
$m W_{τ} = m l ¨ ϕ = - m g sin . ϕ$ ;
$m W_{n} = m l {˙ ϕ}^{2} = N - m g cos . ϕ$ .

Отмеченная особенность позволяет сначала решить первое уравнение и определить закон движения маятника, а затем воспользоваться вторым уравнением для определения силы $N$ натяжения нити.