50. Выражение кинетического момента механической системы в неподвижной и подвижной системах отсчета. Динамика

50. Выражение кинетического момента механической системы в неподвижной и подвижной системах отсчета

Автор admin На чтение 3 мин Просмотров 2.5к.

На рис.24 показаны неподвижная координатная система $O_{1} x_{1} y_{1} z_{1}$ и движущаяся поступательно по отношению к ней координатная система $O x y z$ (скорость ${\to V}_{O}$ и ускорение ${- \to W}_{O}$ начала координат О известны).

Для наблюдателя в подвижной системе отсчета кинетический момент относительно центра $O$ будет

${\to K}_{O}^{r} = \sum_{k = 1}^{n} {\to ρ}_{k} \times m_{k} {\to V}_{k}^{r}$ . (39)

Для наблюдателя в неподвижной системе отсчета $O_{1} x_{1} y_{1} z_{1}$ кинетический момент будет

${\to K}_{O 1} = \sum_{k = 1}^{n} {\to r}_{k} \times m_{k} {\to V}_{k}$ .

Связь между векторами ${\to V}_{k}$ , ${\to V}_{k}^{r}$ , ${\to r}_{k}$ и ${\to ρ}_{k}$ имеет вид

${\to V}_{k} = {\to V}_{O} + {\to V}_{k}^{r}$ ; ${\to r}_{k} = {\to r}_{O} + {\to ρ}_{k}$ . (40)

Подставим (40) в (39), тогда

${\to K}_{O 1} = n \sum k = 1 m_{k} ({\to r}_{O} + {\to ρ}_{k}) \times ({\to V}_{O} + {\to V}_{k}^{r}) = {\to r}_{O} \times {\to V}_{O} (n \sum k = 1 m_{k}) + . . + (n \sum k = 1 m_{k} {\to ρ}_{k}) \times {\to V}_{O} + {\to r}_{O} \times (n \sum k = 1 m_{k} {\to V}_{k}^{r}) + n \sum k = 1 m_{k} {\to ρ}_{k} \times {\to V}_{k}^{r}$

Здесь $\sum_{k = 1}^{n} m_{k} = M$ ; $\sum_{k = 1}^{n} m_{k} {\to ρ}_{k} = M {\to ρ}_{C}$ ; $\sum_{k = 1}^{n} m_{k} {\to V}_{k}^{r} = M {\to V}_{C}^{r}$ ; $\sum_{k = 1}^{n} m_{k} {\to ρ}_{k} \times {\to V}_{k}^{r} = {\to K}_{O}^{r}$ , где $M$ — масса механической системы, а ${\to ρ}_{C}$ и ${\to V}_{C}^{r}$ — радиус – вектор центра масс и его скорость в подвижной системе отсчета. Окончательно получаем:

${\to K}_{O 1} = {\to r}_{O} \times M {\to V}_{O} + {\to ρ}_{C} \times M {\to V}_{O} + {\to r}_{O} \times M {\to V}_{C}^{r} + {\to K}_{O}^{r}$ . (41)

В том случае, когда начало подвижной системы О совпадает с центром масс С механической системы, ${\to ρ}_{C} = 0; {\to V}_{C}^{r} = 0$ и выражение (41) приобретает более постой вид

${\to K}_{O 1} = {\to r}_{C} \times M {\to V}_{C} + {\to K}_{C}^{r}$ . (42)

Подставим (42) в (36) и учтем, что при изменении центра приведения О на центр масс С главный момент системы внешних сил будет ${- \to M}_{O 1} = {- \to M}_{C}^{e} + {\to r}_{C} \times {\to V}^{e}$ . Тогда (36) примет вид

$\frac{d ({\to r}_{C} \times M {\to V}_{C} + {\to K}_{С}^{r})}{d t} = {- \to M}_{C}^{e} + {\to r}_{C} \times {\to V}^{e}$ .

Последнее соотношение при учете, что

$M \frac{d ({\to r}_{C} \times {\to V}_{C})}{d t} = {\to r}_{C} \times M {- \to W}_{C} = {\to r}_{C} \times {\to V}^{e}$

Приводится к выражению $\frac{d {\to K}_{С}^{r}}{d t} = {- \to M}_{С}^{e}$ . (43)

Проецируя (43) на оси подвижной системы $C x y z$ , получим

$\frac{d K_{x С}^{r}}{d t} = M_{x С}^{e}$ ; $\frac{d K_{y С}^{r}}{d t} = M_{y С}^{e}$ ; $\frac{d K_{z С}^{r}}{d t} = M_{z С}^{e}$ .

Математические записи теоремы об изменении кинетического момента механической системы относительно неподвижного центра О в инерциальной системе отсчета и относительно центра масс С в системе отсчета, поступательно движущейся вместе с центром масс, совпадают. Такое совпадение говорит о том, что движение механической системы относительно центра масс происходит так же, как если бы последний был неподвижен. Это движение не зависит от внутренних свойств механической системы (внутренних сил).