53. Понятия о полярных, осевых и центробежных моментах инерции. Тензор инерции, главные и центральные оси инерции. Теория моментов инерции твердого тела

В параграфе 6.2 для выражения векторной меры вращательного движения механической системы были введены моменты инерции. Рассмотрим более подробно их вычисление для частного случая, когда механическая система представляет из себя твердое тело.

Полярным моментом инерции твердого тела называется величина

$I_O={\int }_{\sigma }(x^2+y^2+z^2)\rho (x,y,z)d\sigma$, (71)

где О – точка, принятая за начало декартовой координатной системы, $\rho (x,y,z)$ — плотность тела в точке с координатами $x,y,z$, а $\sigma$ — объем тела. Величины $I_x={\int }_{\sigma }(y^2+z^2)\rho (x,y,z)d\sigma$ ; $I_y={\int }_{\sigma }(x^2+z^2)\rho (x,y,z)d\sigma$; $I_z={\int }_{\sigma }(x^2+y^2)\rho (x,y,z)d\sigma$ (72)

называются моментами инерции тела относительно осей $x$, $y$ и $z$, соответственно, а

$I_{xy}=I_{yx}={\int }_{\sigma }xy\rho (x,y,z)d\sigma$, $I_{xz}=I_{zx}={\int }_{\sigma }xz\rho (x,y,z)d\sigma$ , $I_{yz}=I_{zy}={\int }_{\sigma }yz\rho (x,y,z)d\sigma$ (73)

— центробежными моментами инерции твердого тела.

Все эти величины характеризуют инерционные свойства тела и являются характеристиками распределения массы в твердом теле. Для однородных тел, у которых плотность $\rho$ постоянна, соотношения между моментами инерции определяются только формой тела и расположением координатных осей $Oxyz$.

Радиусом инерции тела относительно оси называют расстояние $\rho$, на котором следует расположить массу, равную массе тела $m$, чтобы величина $I=m{\rho }^2$ была равна моменту инерции тела относительно этой оси.

Полярные и осевые моменты инерции всегда положительны, центробежные моменты инерции могут иметь любой знак и даже равняться нулю. Центробежные моменты инерции симметричны относительно своих индексов, т.е. $I_{xy}=I_{yx};I_{xz}=I_{zx};I_{yz}=I_{zy}$ .

Если, например, $I_{xz}=0;I_{yz}=0$, то ось $z$ — главная ось инерции твердого тела. Если эта ось проходит через центр масс тела – ось главная центральная.

Так, если тело имеет плоскость материальной симметрии, то любая ось, перпендикулярная этой плоскости будет главной осью инерции. Если тело имеет ось материальной симметрии, то эта ось является главной центральной осью инерции.

Из шести моментов инерции составляют симметрическую матрицу

$\left[I\right]=\left|\begin{array}{ccc}{I}_x& -I_{xy}& -I_{xz}\\ -I_{yx}& I_y& -I_{yz}\\ -I_{zx}& -I_{zy}& I_z\end{array}\right|$ ,

которую называют тензором инерции. Тензор инерции характеризует распределение масс тела относительно выбранной координатной системы.