69. Свободные колебания системы с двумя степенями свободы. Динамика

69. Свободные колебания системы с двумя степенями свободы

Автор admin На чтение 6 мин Просмотров 2.2к.

Рассмотрим линейную изначально либо линеаризованную произвольную консервативную систему с голономными и стационарными связями, имеющую две степени свободы. Положение системы будем определять обобщенными координатами $q_{1}$ и $q_{2}$ , отсчитываемыми от положения устойчивого равновесия.

Для такой системы кинетическая энергия имеет вид (55), потенциальная – (56). Воспользовавшись, например, уравнениями Лагранжа второго рода, можно получить систему дифференциальных уравнений вида

$a_{11} {¨ q}_{1} + a_{12} {¨ q}_{2} = - c_{11} q_{1} - c_{12} q_{2};$

$a_{21} {¨ q}_{1} + a_{22} {¨ q}_{2} = - c_{21} q_{1} - c_{22} q_{2};$

Принимая во внимание, что $a_{12} = a_{21};$ $c_{12} = c_{21};$ перепишем уравнения в виде

$a_{11} {¨ q}_{1} + a_{12} {¨ q}_{2} + c_{11} q_{1} + c_{12} q_{2} = 0;$

$a_{21} {¨ q}_{1} + a_{22} {¨ q}_{2} + c_{21} q_{1} + c_{22} q_{2} = 0;$ (85)

Будем искать их решение в форме

$q_{1} = A sin . (k t + α);$ $q_{2} = B sin . (k t + α);$ (86)

где $A, B, k, α$ — неизвестные постоянные.

Продифференцируем искомые выражения для обобщенных координат по времени дважды, подставим их в (85). Для удовлетворения этих равенств при любых $t$ , должны быть равны нулю коэффициенты при $sin . (k t + α)$ , т.е.

$(c_{11} - a_{11} k^{2}) A + (c_{12} - a_{12} k^{2}) B = 0;$

$(c_{21} - a_{21} k^{2}) A + (c_{22} - a_{22} k^{2}) B = 0$ . (87)

Система линейных уравнений относительно $A$ и $B$ имеет решение, отличное от нуля, в случае равенства нулю ее определителя

$∣ ∣ ∣ \begin{matrix} c_{11} - a_{11} k^{2} & c_{12} - a_{12} k^{2} c_{21} - a_{21} k^{2} & c_{22} - a_{22} k^{2} \end{matrix} ∣ ∣ ∣$

Раскрывая определитель, получим уравнение относительно $k^{2}$

$k^{4} (a_{11} a_{22} - a_{12}^{2}) - (a_{11} c_{22} + a_{22} c_{11} - 2 a_{12} c_{12}) k^{2} + .$ $+ (c_{11} c_{22} - c_{12}^{2}) = 0$ (88)

Уравнение (88) называется уравнением частот или вековым уравнением. Оба корня этого уравнения вещественны и положительны. Извлечем из них корни и воспользуемся только положительными значениями $k_{1}$ и $k_{2}$ , которые называются частотами главных колебаний. Теперь вид (86) будет

$q_{1} = A_{1} sin . (k_{1} t + α_{1}) + A_{2} sin . (k_{2} t + α_{2});$

$q_{2} = B_{1} sin . (k_{1} t + α_{1}) + B_{2} sin . (k_{2} t + α_{2})$ .

Между числами $A_{1}; A_{2}; B_{1}; B_{2}$ есть связь. Установим ее, используя любое из уравнений (87), например, первое. Тогда

$\frac{B_{i}}{A_{i}} = - \frac{c_{11} - a_{11} k_{i}^{2}}{c_{12} - a_{12} k_{i}^{2}} = μ_{i}$ ; $i = 1, 2$ . (89)

Каждому значению частоты $k_{1}$ и $k_{2}$ отвечают соответствующие значения $μ_{1}$ и $μ_{2}$ . Вычислив их, найдем

$B_{1} = μ_{1} A_{1};$ $B_{2} = μ_{2} A_{2}$ . (90)

Коэффициенты $μ_{1}$ и $μ_{2}$ имеют простой физический смысл – они показывают, во сколько раз амплитуда соответствующего главного колебания в одной из обобщенных координат больше (или меньше) амплитуды другой.

Теперь решение (86) примет вид

$q_{1} = A_{1} sin . (k_{1} t + α_{1}) + A_{2} sin . (k_{2} t + α_{2});$

$q_{2} = μ_{1} A_{1} sin . (k_{1} t + α_{1}) + μ_{2} A_{2} sin . (k_{2} t + α_{2})$ . (91)

В этом решении частоты $k_{1}$ , $k_{2}$ и коэффициенты $μ_{1}$ , $μ_{2}$ — известные числа (они рассчитываются по инерционно – жесткостным характеристикам механической системы), а $A_{1}; A_{2}; α_{1}; α_{2}$ — постоянные интегрирования, которые следует определить из задаваемых начальных условий.

В заключении отметим, что методы получения и интегрирования дифференциальных уравнений для линейных механических систем с двумя степенями свободы около положения устойчивого равновесия без всяких изменений могут быть распространены на линейные механические системы с большим числом степеней свободы.

ПРИМЕР 23. Для двойного математического маятника из примера 12 получить линейную модель и найти частоты ее главных колебаний.

РЕШЕНИЕ.

Для получения линейной модели воспользуемся выражениями для кинетической и потенциальной энергий, полученными при решении примера 12:

$T = \frac{1}{2 g} [(P_{1} + P_{2}) l_{1}^{2} {˙ ϕ}_{1}^{2} + 2 P_{2} l_{1} l_{2} {˙ ϕ}_{1} {˙ ϕ}_{2} cos . (ϕ_{2} - ϕ_{1}) + P_{2} l_{2}^{2} {˙ ϕ}_{2}^{2}]$

$П = - P_{1} l_{1} cos . ϕ_{1} - P_{2} (l_{1} cos . ϕ_{1} + l_{2} cos . ϕ_{2}) =$

$= - (P_{1} + P_{2}) l_{1} cos . ϕ_{1} - P_{2} l_{2} cos . ϕ_{2})$ ;

Для анализа малых колебаний заменим синусы и косинусы в выражениях энергий на члены не выше второго порядка малости в их разложений в степенной ряд Маклорена, т.е. $sin . α \approx α;$ $cos . α \approx 1 - \frac{α^{2}}{2}$ . Тогда, после отбрасывания слагаемых высшего порядка малости по сравнению с остальными, получим:

$T \approx \frac{1}{2 g} [(P_{1} + P_{2}) l_{1}^{2} {˙ ϕ}_{1}^{2} + 2 P_{2} l_{1} l_{2} {˙ ϕ}_{1} {˙ ϕ}_{2} + P_{2} l_{2}^{2} {˙ ϕ}_{2}^{2}]$ ;

$П \approx - (P_{1} + P_{2}) l_{1} (1 - \frac{ϕ_{1}^{2}}{2}) - P_{2} l_{2} (1 - \frac{ϕ_{2}^{2}}{2})$ .

Для получения математической модели малых колебаний воспользуемся уравнениями Лагранжа второго рода.

Вычислим соответствующие производные:

$\frac{\partial T}{\partial ϕ_{2}} = 0;$

$\frac{\partial T}{\partial {˙ ϕ}_{1}} = \frac{1}{g} [(P_{1} + P_{2}) l_{1}^{2} {˙ ϕ}_{1} + P_{2} l_{1} l_{2} {˙ ϕ}_{2}];$

$\frac{\partial T}{\partial {˙ ϕ}_{2}} = \frac{1}{g} [P_{2} l_{1} l_{2} {˙ ϕ}_{1} + P_{2} l_{2}^{2} {˙ ϕ}_{2}];$

$\frac{d}{d t} (\frac{\partial T}{\partial {˙ ϕ}_{1}}) = \frac{1}{g} [(P_{1} + P_{2}) l_{1}^{2} {¨ ϕ}_{1} + P_{2} l_{1} l_{2} {¨ ϕ}_{2}];$

$\frac{d}{d t} (\frac{\partial T}{\partial {˙ ϕ}_{2}}) = \frac{1}{g} [P_{2} l_{1} l_{2} {¨ ϕ}_{1} + P_{2} l_{2}^{2} {¨ ϕ}_{2}];$

$Q_{1} = - \frac{\partial П}{\partial ϕ_{1}} = - (P_{1} + P_{2}) l_{1} ϕ_{1};$

$Q_{2} = - \frac{\partial П}{\partial ϕ_{2}} = - P_{2} l_{2} ϕ_{2}$ .

Составим уравнения Лагранжа для линеаризованной системы:

$\frac{1}{g} [(P_{1} + P_{2}) l_{1}^{2} {¨ ϕ}_{1} + P_{2} l_{1} l_{2} {¨ ϕ}_{2}] = - (P_{1} + P_{2}) l_{1} ϕ_{1};$

$\frac{1}{g} [P_{2} l_{1} l_{2} {¨ ϕ}_{1} + P_{2} l_{2}^{2} {¨ ϕ}_{2}] = - P_{2} l_{2} ϕ_{2}$ .

Приведем полученную систему линейных дифференциальных уравнений к виду (85):

$(P_{1} + P_{2}) l_{1} {¨ ϕ}_{1} + P_{2} l_{2} {¨ ϕ}_{2} + (P_{1} + P_{2}) g ϕ_{1} = 0;$

$l_{1} {¨ ϕ}_{1} + l_{2} {¨ ϕ}_{2} + g ϕ_{2} = 0$ .

Тогда уравнение частот (81) будет

$P_{1} l_{1} l_{2} k^{4} - (P_{1} + P_{2}) (l_{1} + l_{2}) g k^{2} + (P_{1} + P_{2}) g^{2} = 0$ .

Для окончательного решения целесообразно задать числовые значения соответствующих величин либо достаточно простые соотношения между ними.

Так, для частного случая $P_{1} = P_{2} = P;$ $l_{1} = l_{2} = l$ , уравнение примет вид

$k^{4} - 4 \frac{g}{l} k^{2} + 2 \frac{g^{2}}{l^{2}} = 0$ .

Из него достаточно просто найти частоты главных колебаний

$k_{1} = \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{g}{l}};$ $k_{2} = \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{g}{l}}$ .

Воспользовавшись формулами (89) вычислим коэффициенты форм главных колебаний

$μ_{1} = 2 \cdot \frac{\sqrt{2} - 1}{2 - \sqrt{2}} = 1.41;$ $μ_{2} = - 2 \cdot \frac{1 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}} = - 1.41$ .

Анализ знаков в выражениях для обобщенных координат (91) показывает, что в рассмотренной задаче фазы главных колебаний для первой обобщенной координаты совпадают (стержни математических маятников двигаются в одну сторону), а для второй находятся в противофазе (стержни двигаются в противоположных направлениях).