7. Приведение пространственной системы сил к заданному центру. Главный вектор и главный момент системы сил.. Статика

7. Приведение пространственной системы сил к заданному центру. Главный вектор и главный момент системы сил.

Автор admin На чтение 5 мин Просмотров 4к.

Пусть задана пространственная система сил $({ˉ F}_{1}, {ˉ F}_{2}, . . . . ., {ˉ F}_{n})$ , приложенных к абсолютно твердому телу (рис. 14).

Примем за центр приведения некоторую точку тела О. Согласно следствию из первых двух аксиом, перенос любой из сил вдоль ее линии действия не изменяет состояния тела. При параллельном переносе каждой из сил в точку О, в соответствии с леммой, будет дополнительно возникать момент пары сил, равный моменту переносимой силы относительно точки О.

Таким образом, в центре приведения (точка О) образуются две системы сходящихся векторов – система из перенесенных сил и система моментов пар (см. рис.15.а).

Равнодействующая системы сходящихся сил называется главным вектором пространственной системы сил, а результат сложения моментов пар – главным моментом пространственной системы сил (рис.15.б). Поскольку момент пары может быть вычислен как момент силы относительно центра приведения, главный момент может быть вычислен как геометрическая сумма соответствующих моментов.

Системы сил, изображенные на рис.14 и рис.15.б эквивалентны. В общем случае главный вектор пространственной системы сил не может быть назван ее равнодействующей, так как образует систему сил, эквивалентную заданной, только вместе с главным моментом.

Очевидно, что выбор за центр приведения иной точки не вызывает изменения модуля и направления главного вектора пространственной системы сил (иными словами величина и направление главного вектора инвариантны, т.е. не зависят, от выбора центра приведения). Это утверждение называется первым инвариантом статики. В то же время изменение положения центра приведения изменяет моменты переносимых сил, что приводит, как правило, к изменению главного момента рассматриваемой системы сил.

ПРИМЕР 3. На вершины прямоугольного параллелепипеда со сторонами $a, b$ и $c$ действуют силы ${ˉ F}_{1}, {ˉ F}_{2}$ и ${ˉ F}_{3}$ (см. рис.16).
Приняв за центр приведения системы сил начало координат указанной на рисунке декартовой координатной системы, записать выражения для проекций главного вектора и главного момента.

Для получения проекций сил на оси декартовой системы введем углы $α; β; γ$ и запишем тригонометрические соотношения для их определения:

$t g α = \frac{a}{c};$ $t g β = \frac{c}{b};$ $t g γ = \frac{b}{a}$ .

Решение задачи может быть выполнено одним из двух способов.

В первом способе составляется таблица, в строках которой для каждой точки приложения силы в столбцах записываются ее координаты, проекции приложенной силы и проекции момента (последние вычисляются по формуле (5.в). Суммы слагаемых в последних шести столбцах есть проекции главного вектора и главного момента системы сил на соответствующие оси.

Точка				Сила
№	X	Y	Z	$F_{x}$	$F_{Y}$	$F_{Z}$
1	b	0	c	0	$F_{1} sin . α$	$- F_{1} cos . α$
2	b	a	c	$- F_{2} sin . γ$	$- F_{2} cos . γ$	0
3	b	a	0	$- F_{3} cos . β$	0	$F_{3} sin . β$
$\sum_{i = 1}^{3} F_{i; j} = V_{j}; j = x, y, z$				$V_{x} = - F_{2} sin . γ - . - F_{3} cos . β$	$V_{y} = F_{1} sin . α - . - F_{2} cos . γ$	$V_{z} = - F_{1} cos . α + . + F_{3} sin . β$

Точка				Момент
№	X	Y	Z	$M_{X} = . = y F_{Z} - z F_{Y}$	$M_{Y} = . = z F_{X} - x F_{Z}$	$M_{Z} = . = x F_{Y} - y F_{X}$
1	b	0	c	$- c F_{1} sin . α$	$b F_{1} cos . α$	$b F_{1} sin . α$
2	b	a	c	$c F_{2} cos . γ$	$- c F_{2} sin . γ$	0
3	b	a	0	$a F_{3} sin . β$	$- b F_{3} sin . β$	$a F_{3} cos . β$
$\sum_{i = 1}^{3} M_{i; j} = M_{j}; j = x; y; z$				$M_{x} = - c F_{1} sin . α + . + c F_{2} cos . γ + . + a F_{3} sin . β$	$M_{y} = b F_{1} cos . α - . - c F_{2} sin . γ - . - b F_{3} cos . β$	$M_{y} = b F_{1} cos . α - . - c F_{2} sin . γ - . - b F_{3} cos . β$

Второй способ решения базируется на рассмотрении проекций пространственной силовой схемы на координатные плоскости; при этом решение пространственной задачи сводится к рассмотрению трех плоских. Такой подход близок инженеру, так как умение читать и исполнять чертежи является одним из основных элементов его деятельности.

Ниже, на рисунках 17.а,б, в изображены виды с осей абсцисс (проекция на плоскость yz), ординат (проекция на плоскость xz) и аппликат (проекция на плоскость xy); рядом записаны соответствующие уравнения равновесия.

Вид с оси «х»:

$V_{Y} = \sum F_{Y} = F_{1} sin . α - F_{2} cos . γ;$

$V_{Z} = \sum F_{Z} = - F_{1} cos . α + F_{3} sin . β;$

$M_{X} = \sum M_{X} = - c F_{1} sin . α + c F_{2} cos . γ + a F_{3} sin . β;$

Вид с оси «y»:

$V_{X} = \sum F_{X} = - F_{2} sin . γ - F_{3} cos . β;$

$M_{Y} = \sum M_{Y} = b F_{1} cos . α - c F_{2} sin . γ - b F_{3} sin . β;$

Вид с оси «z»:

$M_{Z} = \sum M_{Z} = b F_{1} sin . α + a F_{3} cos . β$ .

Знание проекций вектора на координатные оси позволяет вычислить его величину и направляющие косинусы. Например, выражения для вычисления величины главного вектора действующих сил и направляющего косинуса с осью $x$ будут

$V = \sqrt{V_{x}^{2} + V_{y}^{2} + V_{z}^{2}};$ $cos . (x; \to V) = \frac{V_{x}}{V}$ .