Задача 38. В установке известны массы тел m1 и m2, коэффициент трения μ между телом m1 и горизонтальной плоскостью, а также масса блока m, который можно считать однородным диском.

Задача 38. В установке известны массы тел m1 и m2, коэффициент трения μ между телом m1 и горизонтальной плоскостью, а также масса блока m, который можно считать однородным диском

Автор admin На чтение 4 мин Просмотров 3к.

Задача 38. В установке известны массы тел m₁ и m₂, коэффициент трения μ между телом m₁ и горизонтальной плоскостью, а также масса блока m, который можно считать однородным диском (рис.23). Скольжения нити по блоку нет. В момент t = 0 тело m₂ начинает опускаться. Пренебрегая массой нити и трением в оси блока, найти ускорения всех тел.

Рис.23

Решение. В системе тел, изображенной на рис.23, бруски движутся поступательно и их движение описывается вторым законом Ньютона:

$m_{1} {\to a}_{1} = m_{1} \to g + {\to T}_{1} + \to N + {\to F}_{т р},$

$m_{2} {\to a}_{2} = m_{2} \to g + {\to T}_{2} .$

Спроектируем эти уравнения на оси координат:

$x : m_{1} a_{1} = T_{1} - F_{т р}, (1)$

$y : 0 = m_{1} g - N, (2)$

$y : m_{2} a_{2} = m_{2} g - T_{2} . (3)$

Блок массивный, поэтому для описания его вращения запишем основное уравнение динамики вращательного движения:

$J \to ε = {- \to M}_{m g} + {- \to M}_{F_{r}} + {- \to M}_{T_{1}} + {- \to M}_{T_{2}} .$

Учитывая, что момент инерции сплошного однородного диска равен $J = \frac{m R^{2}}{2}$ , а модули моментов сил, действующих на блок,

$M_{m g} = 0, M_{F_{r}} = 0, M_{T_{1}} = T_{1} R, M_{T_{2}} = T_{2} R,$

спроектируем последнее векторное уравнение на ось z, направленную перпендикулярно плоскости рисунка “от нас” (направление оси соответствует направлению вектора углового ускорения):

$\frac{m R^{2}}{2} ε = T_{2} R - T_{1} R . (4)$

Чтобы система уравнений была полной, в нее следует включить уравнения кинематической связи. Для ее записи изобразим систему тел в двух состояниях (рис.24) и найдем соотношение между перемещениями обоих грузов и углом поворота блока. Из условия нерастяжимости нити следует, что AA’=BB’=CC’, или

$φ R = s_{1} = s_{2} .$

Рис.24

Дифференцируя это выражение дважды по времени, получаем уравнение связи между ускорениями:

$ε R = a_{1} = a_{2} = a . (5)$

Систему (1)-(5) с учетом соотношения $F_{т р} = μ N$ нужно разрешить относительно ε и a. Из уравнения (2) N=m₁g, следовательно, $F_{т р} = μ m_{1} g$ . Тогда уравнение (1) перепишется в виде

$m_{1} a = T_{1} - μ m_{1} g . (6)$

Подставляя T₁ из (6), T₂ из (3) и $ε = \frac{a}{R}$ из (5) в уравнение (4), получаем

$\frac{m R}{2} ∙ \frac{a}{R} = m_{2} g - m_{2} a - μ m_{1} g,$

откуда

$a = g \frac{m_{2} - μ m_{1}}{m_{1} + m_{2} + m / 2},$

$ε = \frac{a}{R} = \frac{g}{R} ∙ \frac{m_{2} - μ m_{1}}{m_{1} + m_{2} + m / 2} .$

Эта задача позволяет сделать вывод о натяжении нитей в приближении невесомого блока. Положив в формуле (4) m= 0, получаем: T₁=T₂, т.е. натяжение вдоль невесомой нити одинаково по обе стороны блока. Это условие постулировалось при решении ряда задач в школьном курсе физики.