Задача 50. На сплошной однородный цилиндр симметрично намотаны две тонкие нерастяжимые и невесомые нити, свободные концы которых закреплен

Задача 50. На сплошной однородный цилиндр симметрично намотаны две тонкие нерастяжимые и невесомые нити, свободные концы которых закреплены

Автор admin На чтение 6 мин Просмотров 6.6к.

Задача 50. На сплошной однородный цилиндр симметрично намотаны две тонкие нерастяжимые и невесомые нити, свободные концы которых закреплены (рис.38). Под действием силы тяжести цилиндр, вращаясь, опускается вниз. Определить ускорение а_с, с которым перемещается центр масс этого цилиндра.

Рис.38

Решение. На цилиндр действуют сила тяжести mg, точкой приложения которой можно считать центр масс цилиндра, и две одинаковые по величине силы натяжения нити Т.

Применение законов динамики. Вариант 1

Рассмотрим движение цилиндра как наложение двух видов движения: перемещение цилиндра как целого с ускорением, равным ускорению центра масс и вращение вокруг оси, проходящей через центр масс (рис.39). Поэтому применяются два закона динамики, каждый из которых описывает соответствующий вид движения.

Рис.39

Первый вид движения подчиняется уравнению движения центра масс:

$m {\to a}_{c} = m \to g - 2 \to T, (1)$

второй — уравнению динамики вращательного движения:

$J_{c} \to ε = {- \to M}_{m g} + {- \to M}_{2 T} . (2)$

Момент инерции цилиндра относительно оси, проходящей через центр масс составляет $J_{c} = \frac{m R^{2}}{2}$ , моменты M_mg=0, M_2T=2TR. С учетом этих соотношений уравнение (2) принимает вид

$J_{c} ε = 2 T R . (2 а)$

Уравнение кинематической связи, как и при решении других подобных ранее рассмотренных задач, имеет вид

$a_{c} = ε R . (3)$

Разрешим систему уравнений (1) — (3) относительно искомой величины. Выразим из (3) угловое ускорение $ε = \frac{a_{c}}{R}$ и подставим в формулу (2):

$\frac{m R^{2}}{2} ∙ \frac{a_{c}}{R} = 2 T R .$

Полученную из последнего выражения силу натяжения нити $2 T = \frac{m a_{c}}{2}$ подставим в (1) $m a_{c} = m g - \frac{m a_{c}}{2},$ откуда и получим искомое ускорение

$a_{c} = \frac{2}{3} g .$

Применение законов динамики. Вариант 2

Движение цилиндра можно рассматривать как чисто вращательное относительно мгновенной оси О с угловым ускорением ε (рис.40).

Рис.40

Уравнение динамики вращательного движения в данном случае имеет вид

$J_{0} ε = M_{m g} + M_{2 T}, (1)$

в котором момент инерции относительно оси вращения находится по теореме Штейнера $J_{0} = J_{c} + m R^{2} .$ Подстановка выражения $J_{c} = \frac{m R^{2}}{2}$ дает $J_{0} = \frac{3}{2} m R^{2} .$

Моменты сил относительно оси О также имеют иной вид, отличающийся от предыдущего случая: M_mg=mgR, M_2T=0. Ускорение центра масс а_с является тангенциальным при движении точки С по окружности радиуса R, следовательно $a_{c} = ε R .$ Подстановка полученных выражений в уравнение (1) $\frac{3 m R^{2}}{2} ∙ \frac{a_{c}}{R} = m g R$ приводит к тому же выражению искомого ускорения $a_{c} = \frac{2}{3} g .$

Применение законов динамики во второй формулировке

Как в предыдущем случае, будем рассматривать движение цилиндра как чисто вращательное относительно мгновенной оси О (рис.41).

Рис.41

Уравнение динамики вращательного движения можно представить в ином виде, а именно, скорость изменения момента импульса равна сумме моментов сил, действующих на тело:

$\frac{d L}{d t} = M_{m g} + M_{2 T} .$

Момент импульса цилиндра относительно оси О $L = J_{0} ω = \frac{3}{2} m R^{2} ω$ , моменты сил M_mg=mgR, M_2T=0, поэтому

$\frac{d L}{d t} = \frac{3}{2} m R^{2} \frac{d ω}{d t} = m g R .$

Учитывая определение углового ускорения $ε = \frac{d ω}{d t}$ и формулу связи $a_{c} = ε R,$ приходим к выражению для ускорения цилиндра $a_{c} = \frac{2}{3} g .$

Безусловно, законы динамики во второй формулировке можно применять и при интерпретации движения цилиндра как сочетания поступательного и вращательного.

Применение закона сохранения энергии. Вариант 1

Закон сохранения энергии, как и законы динамики, можно применять по разному, в зависимость от описания движения цилиндра.

Рассмотрим первый способ, при котором движение цилиндра рассматривается как сложное. Пусть центр масс за время t опустился на расстояние h. В начальном состоянии цилиндр обладал потенциальной энергией $W_{I} = W_{p} = m g h$ , спустя время t — кинетической, $W_{I I} = W_{k}$ , причем $W_{k} = W_{п о с т} + W_{в р} = \frac{m v_{c}^{2}}{2} + \frac{J_{c} ω_{c}^{2}}{2} .$ . Угловая скорость вращения относительно оси, проходящей через центр масс связана с линейной скоростью центра масс соотношением $ω_{c} = \frac{v_{c}}{R} .$ Тогда

$W_{k} = \frac{m v_{c}^{2}}{2} + \frac{1}{2} \frac{m R^{2}}{2} {(\frac{v_{c}}{R})}^{2} = \frac{3}{4} m v_{c}^{2} .$

Подставим полученные выражения в закон сохранения энергии $W_{I} = W_{I I} : m g h = \frac{3}{4} m v_{c}^{2} .$

Учтем, что при движении с постоянным ускорением $v_{c} = a_{c} t, h = \frac{a_{c} t^{2}}{2} .$ Тогда последнее выражение принимает вид $g \frac{a_{c} t^{2}}{2} = \frac{3}{4} {(a_{c} t)}^{2},$ из которого легко получить ускорение цилиндра $a_{c} = \frac{2}{3} g .$

Применение закона сохранения энергии. Вариант 2

Рассмотрим вращение цилиндра относительно мгновенной оси с угловой скоростью ω. Скорость центра масс связана с угловой скоростью соотношением $ω = \frac{v_{c}}{R}$ . В данном случае выражение кинетической энергии принимает вид $W_{k} = \frac{J_{0} ω^{2}}{2} = \frac{1}{2} ∙ \frac{3}{2} m R^{2} {(\frac{v_{c}}{R})}^{2} = \frac{3}{4} m v_{c}^{2} .$ По закону сохранения энергии $m g h = \frac{3}{4} m v_{c}^{2}$ с учетом соотношений $v_{c} = a_{c} t, h = \frac{a_{c} t^{2}}{2}$ получается прежний ответ.

Применение закона изменения момента импульса

Рассмотрим движение цилиндра как чисто вращательное относительно мгновенной оси О. Закон изменения момента импульса имеет вид

$L_{I I} - L_{I} = \int M^{в н е ш} d t .$

В начальном состоянии момент импульса цилиндра L_I=0, спустя время t после начала движения $L_{I I} = J_{o} ω = \frac{3}{2} m R^{2} ω$ , моменты внешних сил M_mg=mgR, M_2T=0; поэтому

$\frac{3}{2} m R^{2} ω = m g R t,$

или $ω = \frac{2}{3} \frac{g t}{R} .$

Учитывая, что $v_{c} = ω R$ , и определение ускорения $a_{c} = \frac{d v_{c}}{d t}$ , находим ускорение цилиндра $a_{c} = \frac{2}{3} g .$

Применение законов изменения импульса и момента импульса

Если описывать сложное движение цилиндра, то, кроме закона изменения момента импульса, необходимо применить и закон изменения импульса.

$L_{I I} - L_{I} = \int M^{в н е ш} d t .$

$p_{I I} - p_{I} = \int F^{в н е ш} d t .$

В начальном состоянии момент импульса цилиндра относительно оси, проходящей через центр масс L_I=0, спустя время t после начала движения $L_{I I} = J_{c} ω_{c} = \frac{1}{2} m R^{2} ω_{c}$ , моменты внешних сил M_mg=0, M_2T=2TR; поэтому

$\frac{1}{2} m R^{2} ω_{c} = 2 T R t .$

Закон изменения импульса примет вид

$m v_{c} = (m g - 2 T) t .$

Исключая из системы уравнений силу натяжения нити Т и учитывая, что $v_{c} = ω_{c} R, a_{c} = \frac{d v_{c}}{d t}$ , приходим к выражению $a_{c} = \frac{2}{3} g .$

Здесь представлено семь способов решения задачи. Это не означает, что любую задачу можно решить множеством способов. Иногда существует один единственно возможный путь решения, например в том случае, когда недостаточно сведений о характере взаимодействия тел в системе. В частности, это относится к описанию процессов взрыва или удара. Тем не менее, иметь представление о существующих возможностях весьма полезно.