Задача 51. Плоскую спираль из жесткой гладкой проволоки, расположенную в горизонтальной плоскости, вращают с постоянной угловой скоростью ω вокруг неподвижной вертикальной оси О (рис.42).

Задача 51. Плоскую спираль из жесткой гладкой проволоки, расположенную в горизонтальной плоскости, вращают с постоянной угловой скоростью ω вокруг неподвижной вертикальной оси О

Автор admin На чтение 3 мин Просмотров 4.9к.

Задача 51. Плоскую спираль из жесткой гладкой проволоки, расположенную в горизонтальной плоскости, вращают с постоянной угловой скоростью ω вокруг неподвижной вертикальной оси О (рис.42). По спирали без трения скользит небольшая муфта массой m. Найти ее скорость относительно спирали v’ как функцию расстояния r от оси вращения, если муфта начала двигаться от этой оси со скоростью $v_{0}^{‘}$ .

Рис.42

Решение. В условии задачи как известная величина ( $v_{0}^{‘}$ ), так и искомая (v’) заданы в системе отсчета, связанной со спиралью. На муфту действуют реальные силы тяжести mg и реакции со стороны спирали N. Силой трения пренебрегаем, так как проволока гладкая. Поскольку муфта движется относительно вращающейся системы отсчета, в перечень сил следует включить как центробежную силу F_цб, так и кориолисову силу инерции F_кор. Выражения для сил инерции имеют вид

$F_{ц б} = m ω^{2} r, F_{к о р} = 2 m [v^{‘}, ω] .$

Центробежная сила направлена от оси вращения, кориолисова сила согласно правилу векторного произведения направлена перпендикулярно векторам $v^{‘}$ и ω (рис.43).

Рис.43

Сила тяжести, сила реакции спирали и кориолисова сила работы не совершают, так как они перпендикулярны к направлению перемещения. Поэтому изменение кинетической энергии муфты происходит только за счет работы центробежной силы

$W_{I I} - W_{I} = A_{ц б} . (1)$

Выражения для кинетической энергии в состояниях, о которых говорится в условии задачи, имеют вид

$W_{I} = \frac{m v_{0}^{‘ 2}}{2}, W_{I I} = \frac{m v^{‘ 2}}{2} .$

Получим выражение для работы центробежной силы. При перемещении на расстояние ds совершается элементарная работа $d A_{ц б} = F_{ц б} d s c o s α$ , где α — угол между векторами силы и перемещения. Проекция вектора перемещения на направление вектора силы равна dr=dscosα. Поэтому с учетом выражения для центробежной силы получаем элементарную работу $d A_{ц б} = F_{ц б} d r = m ω^{2} r d r .$ После интегрирования находим выражение для полной работы

$A_{ц б} = r \int 0 m ω^{2} r d r = \frac{m ω^{2} r^{2}}{2} .$

Подставляя выражения для кинетической энергии и работы в формулу (1)

$\frac{m v^{‘ 2}}{2} - \frac{m v_{0}^{‘ 2}}{2} = \frac{m ω^{2} r^{2}}{2},$

находим скорость муфты относительно спирали как функцию расстояния от оси вращения:

$v^{‘} = \sqrt{v_{0}^{‘ 2} + ω^{2} r^{2}} .$