39. Законы динамики точки. Движение свободной материальной точки в инерциальной системе отсчета. Динамика

39. Законы динамики точки. Движение свободной материальной точки в инерциальной системе отсчета

Автор admin На чтение 8 мин Просмотров 1.5к.

Навигация

Первый закон динамики точки
Второй закон динамики точки
Дифференциальные уравнения движения материальной точки
Две основные задачи динамики точки

Первый закон динамики точки

Cуществуют системы отсчета, в которых изолированная материальная точка движется равномерно и прямолинейно (в частном случае – покоится). Такие системы называются инерциальными системами отсчета. Система отсчета, двигающаяся поступательно и равномерно относительно инерциальной системы отсчета, также является инерциальной (это вытекает из равенства нулю ускорений изолированной материальной точки в обеих системах).

Второй закон динамики точки

Ускорение в инерциальной системе отсчета, сообщаемое материальной точке приложенной к ней силой, пропорционально этой силе и направлено так же, как и сила.

Часто этот закон называют основным, так как он вскрывает причинно – следственную связь процесса движения материальной точки. Математическим выражением этого закона является основное уравнение динамики точки:

$m - \to W = \to F$ , (4.а)

где $\to F$ — равнодействующая сил, приложенных к точке, $- \to W$ — ее ускорение, $m$ — масса точки.

Если уравнение (4.а) используется для несвободной материальной точки, то в состав приложенных сил следует включить не только задаваемые (активные) силы, но и реакции связей.

Существует альтернативная форма записи основного уравнения динамики точки, называемая принципом Даламбера. Она имеет вид уравнения равновесия:

$\to F + \to Ф = 0$ , (4.б)

где $\to Ф = - m - \to W$ называется силой инерции материальной точки. В действительности такая сила действует не на рассматриваемую точку, а на материальные объекты, которые вызывают движение точки с ускорением $- \to W$ .

Третий закон: если две материальные точки находятся в силовом взаимодействии, то они действуют друг на друга с одинаковыми по величине силами, направленными вдоль одной прямой в противоположные стороны. Если одну из этих сил назвать действием, то другую естественно назвать противодействием.

Следует обратить внимание, что закон действия и противодействия справедлив в любой системе отсчета, в то время, как первые два закона – только в инерциальных системах.

Дифференциальные уравнения движения материальной точки

В соответствии с кинематическими соотношениями

$\to V = \frac{d \to r}{d t}$ и $- \to W = \frac{d \to V}{d t}$ можно записать основной закон динамики в виде $m \frac{d^{2} \to r}{d t^{2}} = \to F$ , (5.а)

или в виде $m \frac{d \to V}{d t} = \to F$ . (5.б)

Векторные уравнения (5) позволяют получить скалярные дифференциальные уравнения движения точки в различных координатных системах, для этого следует спроецировать обе части уравнения на оси выбранной системы.

Так, для декартовой координатной системы $x y z$ :

$m \frac{d^{2} q}{d t^{2}} = F_{q}$ ; $q = x, y, z,$ (6)

где $\frac{d^{2} q}{d t^{2}} = W_{q}$ и $F_{q}$ — соответствующие проекции ускорения и силы.

В естественной координатной системе

$m \frac{d V}{d t} = F_{τ}$ ; $m \frac{V^{2}}{ρ} = F_{n}$ ; $0 = F_{b}$ , (7)

где $τ, n, b$ — касательная, главная нормаль и бинормаль к траектории точки; $ρ$ — радиус кривизны этой траектории (на рис.2 изображен естественный трехгранник [3] траектории в точке М и его оси, векторы скорости и ускорения точки).

Если свободная материальная точка движется в плоскости, то е положение может быть определено двумя координатами; в этом случае формулы (6) – (7) будут включать в себя по два уравнения.

Если точка движется по прямой, то ее положение может быть определено одной координатой, а движение описывается одним дифференциальным уравнением второго порядка (либо двумя уравнениями первого порядка).

Сказанное справедливо и для несвободной точки при ее движении по заданной поверхности или по заданной кривой.

Две основные задачи динамики точки

В механике принято различать две задачи динамики точки:

даны силы, действующие на материальную точку, а так же начальные либо граничные условия; требуется найти ее движение (прямая задача);
дано движение материальной точки, требуется найти равнодействующую сил, на нее действующих (обратная задача).

Остановимся сначала на решении второй задачи, как наиболее простой. Как уже было рассмотрено в курсе кинематики, задание движения свободной точки требует знания законов изменения во времени ее координат. В этом случае для каждого момента времени могут быть вычислены соответствующие составляющие ускорения.

Если в рамках обратной задачи для свободной материальной точки требуется определить величину и направление силы, вызывающей это движение, то решение получить достаточно просто: найденные составляющие ускорения следует домножить на массу точки. Полученные выражения и представляют собой проекции силы на оси выбранной координатной системы. После этого нахождение модуля силы и ее направляющих косинусов трудностей не вызывает.

ПРИМЕР 1 (задача 26.13 из[2]): Поршень двигателя внутреннего сгорания совершает горизонтальные колебания согласно закону $x = r (cos . ω t + \frac{4 r}{l} cos . 2 ω t)$ см, где $r$ — длина кривошипа, $l$ — длина шатуна, $ω$ — постоянная по величине угловая скорость вала. Определить наибольшее значение силы, действующей на поршень, если масса последнего $m$ .

РЕШЕНИЕ. Спроецируем дифференциальное уравнение движения поршня на горизонтальную прямую:
$m W = F$ ,
где $W = ¨ x$ — ускорение поршня, а $F$ — проекция на горизонталь сил, обуславливающих его движение.
Ускорение поршня при движении по горизонтальной прямой получим, дважды продифференцировав по времени закон его движения. Тогда
$¨ x = - r ω^{2} (cos . ω t + \frac{r}{l} cos . 2 ω t)$ .
Домножив ускорение на массу поршня, получим искомую силу как функцию времени
$F = - m r ω^{2} (cos . ω t + \frac{r}{l} cos . 2 ω t)$ .
Очевидно, что наибольшее значение сила имеет в моменты времени, когда косинусы одновременно достигают наибольшей величины
$F = m r ω^{2} (1 + \frac{r}{l})$ .
Если на материальную точку наложены связи, то, используя их уравнения, из найденной равнодействующей может быть выделена равнодействующая реакций связей. В таком случае дополнительно следует решать задачу о разложении известной силы на ее составляющие (например на оси естественной координатной системы, так как в курсе кинематики были получены формулы для соответствующих проекций ускорения).

ПРИМЕР 2. Судно массой $m$ , двигаясь с постоянной по модулю скоростью $V$ , совершает циркуляцию радиуса $R$ (см. рис.3.а). Зная метацентрическую высоту $h$ , кратчайшее
расстояние $d$ от центра тяжести $G$ до линии действия равнодействующей ${\to F}_{C}$ сил бокового давления (рис.3.б) и присоединенную массу $λ$ жидкости при боковом движении судна, определить угол крена судна. Развалом бортов и углом дифферента пренебречь.

РЕШЕНИЕ. Введем связанную с судном естественную координатную систему $τ, n, b$ так, как показано на рис.3. Постоянство при циркуляции угла крена и осадки позволяет записать уравнения равновесия:
$\sum F_{b} = 0 = m g - F_{A}$ ;
$\sum M_{G} = 0 = F_{C} d - F_{A} h sin . θ$ ,
где $F_{A}$ — архимедова сила поддержания; $m g$ — вес судна; $θ$ — угол крена.
Решив систему уравнений относительно угла крена, получим
$θ = arcsin . (\frac{F_{C} d}{m g h})$ .
Величину неизвестной силы $F_{C}$ можно определить, если спроецировать основное уравнение динамики точки на ось $n$ :
$(m + λ) W_{n} = (m + λ) \frac{V^{2}}{R} = F_{C}$ .
После подстановки выражения для силы $F_{C}$ в формулу для угла крена имеем
$θ = arcsin . [\frac{(m + λ) V^{2} d}{m g h R}]$ .
Заметим, что если центр тяжести $G$ судна расположен ниже линии действия силы ${\to F}_{C}$ , то крен судна будет на противоположный борт.