31. Скорость точки при сложном движении. Общий случай движения твердого тела. Сложное движение точки. Сложение скоростей. Кинематика

31. Скорость точки при сложном движении. Общий случай движения твердого тела. Сложное движение точки. Сложение скоростей

Автор admin На чтение 5 мин Просмотров 3.7к.

Возьмем неподвижную координатную систему $O x_{1} y_{1} z_{1}$ и движущуюся по отношению к ней известным образом подвижную систему $A x y z$ (см. рис. 78). Скорость точки М по отношению к системе $O x_{1} y_{1} z_{1}$ (абсолютная скорость) будем обозначать $\to V$ , скорость по отношению к системе $A x y z$ (относительная скорость) — ${\to V}_{r}$ , скорость той точки подвижной системы, с которой в рассматриваемый момент времени совпадает точка М (переносная скорость) — ${\to V}_{e}$ .

Продифференцируем равенство (64) по времени:

$\to V = \frac{d \to r}{d t} = \frac{d {\to r}_{A}}{d t} + \frac{d \to ρ}{d t}$ .

С учетом (66) и введенных обозначений, имеем

$\to V = {\to V}_{A} + \to ω \times \to ρ + {\to V}_{r}$ , (67)

где ${\to V}_{r} = \frac{˜ d \to ρ}{d t}$ .

Первые два слагаемых в формуле (67) являются скоростью точки подвижной координатной системы, совпадающей с точкой М в данный момент времени, т.е. являются ее переносной скоростью ${\to V}_{e}$ . В таком случае абсолютная скорость точки равна сумме ее переносной и относительной скоростей.

Окончательный вид формулы (67) будет

$\to V = {\to V}_{e} + {\to V}_{r}$ . (68)

ПРИМЕР 27 (задача 23.31 из [2]). Шайба М движется по горизонтальному стержню ОА так, что $O M = 0, 5 t^{2} с м$ . В то же время стержень вращается вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку О, по закону $ϕ = t^{2} + t, р а д$ (см. рис.79.а). Определить радиальную и трансверсальную составляющие абсолютной скорости и ускорения шайбы в момент времени $t = 2 c$ .

РЕШЕНИЕ. Примем за относительное движение шайбы ее движение вдоль стержня ОА по закону $O M = 0, 5 t^{2} с м$ ; картина этого движения (КОД) и радиальная составляющая скорости шайбы (скорость в относительном движении), вычисленная для момента времени $t = 2 c$ , изображена на рис.79.б.

$O M = 2 с м$ ; $V_{r} = O ˙ M = 2 с м / с$ .
Переносным движением шайбы М будет движение точки стержня, находящейся в рассматриваемый момент времени под шайбой. Для расчета ее скорости сначала необходимо рассчитать угловую скорость и угловое ускорение стержня ОА:
$ω = ˙ ϕ = 2 t + 1 = 5 р а д / c$ ; $ε = ¨ ϕ = 2 р а д / c^{2}$ ;
$V_{e} = ω \cdot O M = 10 с м / c$ .
Картина переносного движения (КПД) и вычисленная для заданного момента времени трансверсальная составляющая скорости (скорость шайбы в переносном движении) изображены на рис.79.в.

При необходимости можно найти величину абсолютной скорости шайбы как геометрическую сумму ее составляющих. В данном случае
$V = \sqrt{V_{r}^{2} + V_{e}^{2}} = 10.2 с м / c$ .
Вычисление соответствующих проекций ускорения шайбы будет выполнено ниже в ПРИМЕРЕ 29.

ПРИМЕР 28 (задача 22.3 из [2]). Корабль, проходящий точку А, движется с постоянной по модулю и направлению скоростью $V_{0}$ . Под каким углом $β$ к прямой АВ надо начать двигаться катеру из точки В, чтобы встретиться с кораблем, если скорость катера постоянна по модулю и направлению и равна $V_{1}$ ? Линия АВ составляет угол $ψ_{0}$ с перпендикуляром к курсу корабля.

РЕШЕНИЕ. На рис.80 схематично изображена акватория, где движутся точки А (корабль) и В (катер). Точкой С обозначено место их предполагаемой встречи.

Представим прямолинейное движение катера (по прямой BС) как сложное, состоящее из переносного движения вместе с кораблем (поступательное движение по прямой АС) и относительного – по отношению к кораблю (в момент старта катера — движение по прямой АВ). Тогда
${\to V}_{B} = {\to V}_{e} + {\to V}_{r} = {\to V}_{0} + {\to V}_{r}$ .
В этом треугольнике известны модули скоростей корабля $V_{0}$ и катера $V_{B} = V_{1}$ , а так же угол $ψ_{0}$ между скоростью корабля и линией АВ. Теорема синусов позволяет записать соотношение
$\frac{V_{0}}{sin . β} = \frac{V_{1}}{sin . (9 0^{0} - ψ_{0})}$ .
Тогда $β = arcsin . \frac{V_{0} cos . ψ_{0}}{V_{1}}$ .