25. Простейшие движения твердого тела. Понятие о движении тела с одной неподвижной точкой (сферическое движение). Кинематика

25. Простейшие движения твердого тела. Понятие о движении тела с одной неподвижной точкой (сферическое движение)

Автор admin На чтение 7 мин Просмотров 3.2к.

Описание (задание) движения

На рис.60 изображено несколько тел, совершающих такое движение. Так на рис.60.а тело прикреплено к неподвижной опорной поверхности шаровым шарниром, на рис.60.б изображен двухстепенной гироскоп, а на рис.60.в – конус, катящийся по плоскости без проскальзывания.

Так как расстояние между неподвижной точкой тела и любой другой остается неизменным в силу его абсолютной твердости, траектория движения любой точки лежит на сфере, радиус которой равен этому расстоянию. Отмеченная особенность и определила название движения как сферическое.

Этот тип движения тесно связан с ранее рассмотренным случаем вращения тела вокруг неподвижной оси, так как сферическое движение может быть представлено в виде непрерывной последовательности малых (элементарных) поворотов вокруг перемещающейся в пространстве оси. Эта ось называется мгновенной осью вращения тела. Скорости всех точек мгновенной оси равны нулю. Часто положение этой оси и ее движение очевидны. Так, для изображенного на рис.60.в конуса, катящегося без проскальзывания по неподвижной плоскости, мгновенной осью будет линия их соприкосновения; в процессе движения конуса эта ось вращается вокруг вертикальной оси $O z$ .

Отличительная особенность этого подхода заключается в том, что понятие суммарного угла поворота лишается обычного смысла, так как элементарные повороты происходят вокруг различных положений мгновенной оси.

При таком подходе, как и в пункте 6.2.1, можно ввести в рассмотрение вектор $\to ω$ угловой скорости, направленный вдоль орта ${\to ω}_{0}$ мгновенной оси, т.е.

$\to ω = ω \cdot {\to ω}_{0}$ (47)

и вектор углового ускорения

$\to ε = \frac{d \to ω}{d t} = \frac{d ω}{d t} {\to ω}_{0} + ω \frac{d {\to ω}_{0}}{d t} = {\to ε}_{I I} + {\to ε}_{⊥}$ . (48)

Первая из компонент вектора $\to ε$ отражает изменение модуля вектора $\to ω$ ; она обозначается ${\to ε}_{I I}$ и называется параллельной составляющей углового ускорения, т.к. совпадает с направлением мгновенной оси. Вторая компонента связана с переменностью направления мгновенной оси и, как следствие, орта ${\to ω}_{0}$ ; она обозначается ${\to ε}_{⊥}$ и называется перпендикулярной составляющей углового ускорения (т.к. перпендикулярна орту ${\to ω}_{0}$ мгновенной оси).

Тогда $ε = \sqrt{ε_{I I}^{2} + ε_{⊥}^{2}}$ . (49)

Рассмотренный подход позволяет для вычисления локальных характеристик использовать полученные ранее формулы (44) и (45):

$\to V = \to ω \times \to r;$

$- \to W = \to ε \times \to r + \to ω \times \to V = {\to ε}_{∐} \times \to r + {\to ε}_{⊥} \times \to r + \to ω \times \to V$ (50)

При этом последнее слагаемое называется осестремительной составляющей ускорения, а два первых – параллельной и перпендикулярной вращательной составляющими.

В наиболее общем случае сферическое движение тела с тремя степенями свободы описывается (задается) тремя обобщенными координатами, называемыми углами Эйлера. В настоящем курсе этот подход не обсуждается.

ПРИМЕР 23. Коническое зубчатое колесо радиуса $r$ катится по неподвижному зубчатому колесу радиуса $R$ ; угол между осями колес составляет $9 0^{0}$ (см. рис.61). Время одного оборота относительно вертикальной оси постоянно и равно Т . Найти угловую скорость $ω$ и угловое ускорение $ε$ колеса, а так же скорость $V_{A}$ и ускорение $W_{A}$ его верхней точки А.

РЕШЕНИЕ. Угловая скорость прецессии колеса $ω_{ψ} = \frac{2 π}{T} = c o n s t$ . Угол нутации постоянен и равен $θ = 9 0^{0}$ , т.е. $ω_{θ} = 0$ . В этом случае $\to ω = {ˉ ω}_{ψ} + {\leftarrow ω}_{ϕ}$ . Построив соответствующий параллелограмм угловых скоростей (сторона ${\to ω}_{ψ}$ известна, линия вектора ${\to ω}_{ϕ}$ совпадает с осью подвижного колеса, линия мгновенной оси проходит через две неподвижные точки – точку О и точку В контакта с неподвижным колесом), получим:
$ω = \frac{ω_{ψ}}{sin . α}$ , $ω_{ϕ} = \frac{ω_{ψ}}{t g α}$ .
При движении колеса вектор мгновенной угловой скорости поворачивается вокруг вертикальной оси, образуя коническую поверхность с углом при вершине ( $18 0^{0} - 2 α$ ); поскольку ${\to ω}_{ψ}$ и направления векторов $\to ω$ и ${\to ω}_{ϕ}$ в подвижной системе осей не изменяются, не изменяется и модуль вектора $\to ω$ . В этом случае $ε_{I I} = \frac{d ω}{d t} = 0$ ; ${\to V}_{G} = \to ε = {\to ε}_{⊥} = {\to ω}_{ψ} \times \to ω$ .
Вектор углового ускорения приложен в точке О и направлен на нас перпендикулярно плоскости рисунка. Модуль углового ускорения равен
$ε = ε_{⊥} = ω_{ψ} \frac{ω_{ψ}}{sin . α} sin . (9 0^{0} - α) = \frac{ω_{ψ}^{2}}{t g α}$ .
Опустив из точки А на мгновенную ось перпендикуляр, найдем кратчайшее расстояние от точки до линии вектора $\to ω$ как
$h = A B cos . α = 2 r cos . α$ . Тогда вектор скорости точки А будет направлен перпендикулярно плоскости рисунка в противоположную от нас сторону, а его модуль будет равен
$V_{A} = ω \cdot h = \frac{ω_{ψ} 2 r cos . α}{sin . α} = \frac{4 π \cdot r}{T \cdot t g α}$ .
Осестремаительная составляющая ускорения точки А направлена от точки к мгновенной оси (см. рисунок), а ее модуль равен
$W_{A}^{O C} = ω^{2} h = \frac{ω_{ψ}^{2} 2 r cos . α}{{sin}^{2} . α} = \frac{8 π^{2} r cos . α}{T^{2} {sin}^{2} . α}$ .
Вращательная составляющая ускорения, равная
${- \to W}_{A}^{B P} = {- \to W}_{A ⊥}^{B P} = {\leftarrow ε}_{⊥} \times O \to A$ , расположена в плоскости рисунка и составляет угол $9 0^{0}$ c $O \to A$ (см. рисунок). Ее модуль равен
$W_{A ⊥}^{B P} = ε_{⊥} O A = \frac{4 π^{2} \sqrt{r^{2} + R^{2}}}{T^{2} t g α}$ .
Обе компоненты ускорения лежат в плоскости рисунка и составляют между собой угол ( $18 0^{0} - 2 α$ ). Тогда
$W_{A}^{*} = \sqrt{(W_{A}^{O C})^{2} + (W_{A ⊥}^{B P})^{2} - 2 W_{A}^{O C} W_{A ⊥}^{B P} cos . 2 α}$ .
Рассмотрим теперь более общий случай, когда вращение конического колеса вокруг вертикальной оси ускоренное (в этом случае полагаются известными величины угловой скорости $ω_{ψ} = ω_{Z 1}$ и углового ускорения $ε_{Z 1}$ вращательного движения вокруг вертикальной оси).
Если в рамках предыдущих исходных данных параллелограмм угловых скоростей равномерно вращался вокруг вертикальной оси без изменения размеров своих сторон, то в рассматриваемом случае, во-первых, вращение будет ускоренным, и, во-вторых, стороны будут возрастать, сохраняя при этом выведенные ранее соотношения. Так же остаются справедливыми формулы для расчета $ω$ , $ε_{⊥}$ , $V_{A}$ , $W_{A}^{O C}$ и $W_{A ⊥}^{B P}$ .
Продифференцировав формулу для расчета угловой скорости, получим:
$ε_{I I} = \frac{d ω}{d t} = \frac{d}{d t} (\frac{ω_{ψ}}{sin . α}) = \frac{d}{d t} (\frac{ω_{Z 1}}{sin . α}) = \frac{1}{sin . α} \frac{d ω_{Z 1}}{d t} = \frac{ε_{Z 1}}{sin . α}$ .
Тогда вектор
${- \to W}_{A I I}^{B P} = {\leftarrow ε}_{I I} \times O \to A$ перпендикулярен плоскости рисунка и направлен в противоположную от нас сторону, а его модуль $W_{A I I}^{B P} = ε_{I I} h = \frac{ε_{Z 1} 2 r cos . α}{sin . α} = \frac{2 r ε_{Z 1}}{t g α}$ .
Полное ускорение точки А будет результатом сложения двух ортогональных векторов ${- \to W}_{A}^{*}$ и ${- \to W}_{A I I}^{B P}$ , т.е.
$W_{A} = \sqrt{(W_{A}^{*})^{2} + (W_{A I I}^{B P})^{2}}$ .