25. Простейшие движения твердого тела. Понятие о движении тела с одной неподвижной точкой (сферическое движение)

Описание (задание) движения

На рис.60 изображено несколько тел, совершающих такое движение. Так на рис.60.а тело прикреплено к неподвижной опорной поверхности шаровым шарниром, на рис.60.б изображен двухстепенной гироскоп, а на рис.60.в – конус, катящийся по плоскости без проскальзывания.

Так как расстояние между неподвижной точкой тела и любой другой остается неизменным в силу его абсолютной твердости, траектория движения любой точки лежит на сфере, радиус которой равен этому расстоянию. Отмеченная особенность и определила название движения как сферическое.

Этот тип движения тесно связан с ранее рассмотренным случаем вращения тела вокруг неподвижной оси, так как сферическое движение может быть представлено в виде непрерывной последовательности малых (элементарных) поворотов вокруг перемещающейся в пространстве оси. Эта ось называется мгновенной осью вращения тела. Скорости всех точек мгновенной оси равны нулю. Часто положение этой оси и ее движение очевидны. Так, для изображенного на рис.60.в конуса, катящегося без проскальзывания по неподвижной плоскости, мгновенной осью будет линия их соприкосновения; в процессе движения конуса эта ось вращается вокруг вертикальной оси Oz.

Отличительная особенность этого подхода заключается в том, что понятие суммарного угла поворота лишается обычного смысла, так как элементарные повороты происходят вокруг различных положений мгновенной оси.

При таком подходе, как и в пункте 6.2.1, можно ввести в рассмотрение вектор ω угловой скорости, направленный вдоль орта ω0 мгновенной оси, т.е.

ω=ωω0 (47)

и вектор углового ускорения

ε=dωdt..=dωdt..ω0+ωdω0dt..=εII+ε . (48)

Первая из компонент вектора ε отражает изменение модуля вектора ω; она обозначается εII и называется параллельной составляющей углового ускорения, т.к. совпадает с направлением мгновенной оси. Вторая компонента связана с переменностью направления мгновенной оси и, как следствие, орта ω0; она обозначается ε и называется перпендикулярной составляющей углового ускорения (т.к. перпендикулярна орту ω0 мгновенной оси).

Тогда ε=ε2II+ε2. (49)

Рассмотренный подход позволяет для вычисления локальных характеристик использовать полученные ранее формулы (44) и (45):

V=ω×r;

W=ε×r+ω×V=ε×r+ε×r+ω×V (50)

При этом последнее слагаемое называется осестремительной составляющей ускорения, а два первых – параллельной и перпендикулярной вращательной составляющими.

В наиболее общем случае сферическое движение тела с тремя степенями свободы описывается (задается) тремя обобщенными координатами, называемыми углами Эйлера. В настоящем курсе этот подход не обсуждается.

ПРИМЕР 23. Коническое зубчатое колесо радиуса r катится по неподвижному зубчатому колесу радиуса R; угол между осями колес составляет 900 (см. рис.61). Время одного оборота относительно вертикальной оси постоянно и равно Т . Найти угловую скорость ω и угловое ускорение ε колеса, а так же скорость VA и ускорение WAего верхней точки А.

РЕШЕНИЕ. Угловая скорость прецессии колеса ωψ=2πT..=const. Угол нутации постоянен и равен θ=900, т.е. ωθ=0. В этом случае ω=ˉωψ+ωϕ. Построив соответствующий параллелограмм угловых скоростей (сторона ωψ известна, линия вектора ωϕсовпадает с осью подвижного колеса, линия мгновенной оси проходит через две неподвижные точки – точку О и точку В контакта с неподвижным колесом), получим:
ω=ωψsin.α.. , ωϕ=ωψtgα.. .
При движении колеса вектор мгновенной угловой скорости поворачивается вокруг вертикальной оси, образуя коническую поверхность с углом при вершине ( 18002α); поскольку ωψ и направления векторов ω и ωϕ в подвижной системе осей не изменяются, не изменяется и модуль вектора ω. В этом случае εII=dωdt..=0; VG=ε=ε=ωψ×ω.
Вектор углового ускорения приложен в точке О и направлен на нас перпендикулярно плоскости рисунка. Модуль углового ускорения равен
ε=ε=ωψωψsin.α..sin.(900α)=ω2ψtgα...
Опустив из точки А на мгновенную ось перпендикуляр, найдем кратчайшее расстояние от точки до линии вектора ω как
h=ABcos.α=2rcos.α. Тогда вектор скорости точки А будет направлен перпендикулярно плоскости рисунка в противоположную от нас сторону, а его модуль будет равен
VA=ωh=ωψ2rcos.αsin.α..=4πrTtgα.. .
Осестремаительная составляющая ускорения точки А направлена от точки к мгновенной оси (см. рисунок), а ее модуль равен
WOCA=ω2h=ω2ψ2rcos.αsin2.α..=8π2rcos.αT2sin2.α.. .
Вращательная составляющая ускорения, равная
WBPA=WBPA=ε×OA , расположена в плоскости рисунка и составляет угол 900c OA (см. рисунок). Ее модуль равен
WBPA=εOA=4π2r2+R2T2tgα.. .
Обе компоненты ускорения лежат в плоскости рисунка и составляют между собой угол (18002α). Тогда
W*A=(WOCA)2+(WBPA)22WOCAWBPAcos.2α .
Рассмотрим теперь более общий случай, когда вращение конического колеса вокруг вертикальной оси ускоренное (в этом случае полагаются известными величины угловой скорости ωψ=ωZ1 и углового ускорения εZ1 вращательного движения вокруг вертикальной оси).
Если в рамках предыдущих исходных данных параллелограмм угловых скоростей равномерно вращался вокруг вертикальной оси без изменения размеров своих сторон, то в рассматриваемом случае, во-первых, вращение будет ускоренным, и, во-вторых, стороны будут возрастать, сохраняя при этом выведенные ранее соотношения. Так же остаются справедливыми формулы для расчета ω, ε, VA, WOCA и WBPA.
Продифференцировав формулу для расчета угловой скорости, получим:
εII=dωdt..=ddt..(ωψsin.α..)=ddt..(ωZ1sin.α..)=1sin.α..dωZ1dt..=εZ1sin.α.. .
Тогда вектор
WBPAII=εII×OA перпендикулярен плоскости рисунка и направлен в противоположную от нас сторону, а его модуль WBPAII=εIIh=εZ12rcos.αsin.α..=2rεZ1tgα...
Полное ускорение точки А будет результатом сложения двух ортогональных векторов W*A и WBPAII, т.е.
WA=(W*A)2+(WBPAII)2.

Оцените
Добавить комментарий