36. Математическое моделирование процесса движения. Кинематика плоских механизмов

Зададимся для системы с s степенями свободы минимально необходимым числом обобщенных координат q1;q2;...;qs. Нужные для кинематического анализа координаты отдельных точек xk;yk;zk (избыточные координаты) определяются из уравнений кинематических связей:

xk=xk(t;q1;q2;....;qs);

yk=yk(t;q1;q2;....;qs);

zk=zk(t;q1;q2;....;qs);k=1,2,....,n (73)

Или в векторной форме

rk=rk(t;q1;q2;....;qs);k=1,2,...,n (74)

Движение системы приводит к изменению обобщенных координат qi(t) и к появлению обобщенных скоростей ˙qi=dqidt.. и обобщенных ускорений ¨qi=d2qidt2.. . Размерности этих величин могут отличаться от размерностей скоростей Vk и ускорений точек Wk, так как в число обобщенных координат могут входить углы поворотов.

Необходимые для кинематического анализа скорости и ускорения характерных точек получают путем дифференцирования по времени выражения (74):

Vk=si=1rkqi..˙qi+rkt..;k=1,2,....,n ; (75)

Wk=si=1rkqi..¨qi+sj=1si=12rkqjqi..˙qj˙qi+2rkt2.. .

Особенность рассмотренного в (73) – (75) случая заключается в том, что уравнения связей (74) позволяют найти аналитические выражения избыточных координат xk;yk;zk через обобщенные q1;q2;...;qs.

Чаще всего сделать это не удается и возникает система трансцендентных уравнений относительно избыточных координат вида

fj(xk;yk;zk;t;q1;q2;.....;qs)=0;k=1,2,....,n;j=1,2,....,3n

(76)

Дифференцируя (76) по времени, получают линейную относительно избыточных скоростей ˙xk;˙yk;˙zk систему алгебраических уравнений:

ϕj(xk;yk;zk;t;˙xk;˙yk;˙zk;q1;q2;.....;qs;˙q1;˙q2;...;˙qs)=0;

k=1,2,....,n;j=1,2,....,3n (77)

Из (77) получают тем же приемом дифференцирования линейную систему алгебраических уравнений относительно избыточных ускорений ¨xk;¨yk;¨zk:

αj(xk;...;t;˙xk;...;¨xk;q1;....;˙q1;...;¨qs)=0;

k=1,2,....,n;j=1,2,....,3n (78)

Основные трудности кинематических исследований, опирающихся на выражения (76) – (78), заключаются в многократном решении системы трансцендентных уравнений (76).

В известной мере эти трудности можно обойти, если применить к решению трансцендентных уравнений (76) метод продолжения по параметру. В этом методе считается известным одно из решений xk0;yk0;zk0 системы уравнений (76), соответствующее известному состоянию (t=0;qi=qi0). Как правило, это решение удается получить в особых положениях точек механической системы, когда ее конфигурация поддается простому геометрическому анализу. В крайнем случае, один раз придется решить систему (76) любым другим численным методом либо графически. Зная решение xk0;yk0;zk0, находят значения скоростей ˙xk;˙yk;˙zk и ускорений ¨xk;¨yk;¨zk.

Значения избыточных координат xk1;yk1;zk1 через малый промежуток времени Δt* находят интегрированием по методу Эйлера:

xk1=xk0+˙xk0Δt*;

yk1=yk0+˙yk0Δt*; (79)

zk1=zk0+˙zk0Δt* .

Критерием правильности выбора шага Δt*является точность ε выполнения исходных трансцендентных уравнений

fj(Δt*)<ε .

Так, на каждом шаге решение трудоемкой задачи определения корней трансцендентных уравнений (76) заменяется более простой задачей численного интегрирования во времени (79). При этом, правда, на каждом шаге необходимо решать систему линейных относительно ˙xk;˙yk;˙zk алгебраических уравнений (77). Но эта задача решается достаточно эффективно даже при сотнях искомых неизвестных.

ПРИМЕР 32. Плоский механизм (рис.90) с одной степенью свободы составлен из звеньев O1A и O2B, соединенных ползуном, и звена BC, присоединенного шарнирно. Ведущее звено O1A движется по заданному закону ϕ=ϕ(t) (рад.), где t -время в секундах. Заданы размеры всех звеньев. Написать алгоритм расчета глобальных кинематических характеристик всех звеньев механизма и локальных кинематических характеристик всех обозначенных точек при возрастании времени от нуля до значения T с шагом Δt*.

РЕШЕНИЕ. Уравнения кинематических связей рассматриваемого механизма в векторной форме имеют вид

O1O2+O2A+AO1=0;

CO2+O2B+BC=0 . (80)

За избыточные обобщенные координаты выберем параметры ϕ1;ϕ2;s;ϕ3. Тогда уравнения (80) в проекциях на оси координат x;y примут вид

f1=l1cos.ϕ1scos.ϕ2+b=0;

f2=l1sin.ϕ1ssin.ϕ2=0; (81)

f3=l2sin.ϕ2l3sin.ϕ3+a=0 .

Все связи стационарны.

В том случае, когда система (81) допускает получение дважды дифференцируемых по времени аналитических зависимостей вида

s=s[ϕ1(t)];  ϕ2=ϕ2[ϕ1(t)]; ϕ3=ϕ3[ϕ1(t)], расчет глобальных кинематических характеристик звеньев и локальных кинематических характеристик их точек может быть выполнен для интересующих нас моментов времени (0iΔt*T; где i =1,2,… — целые числа) по формулам глав 3 и 4. Для последующего анализа результаты расчетов сводят в таблицу либо используют для построения графиков.

В том случае, когда система (81) не допускает получения необходимых аналитических зависимостей, ее следует, как предлагалось выше, продифференцировать по времени и представить в виде системы линейных дифференциальных уравнений относительно неизвестных производных (с переменными в процессе движения коэффициентами):

˙ϕ2(ssin.ϕ2)+˙s(cos.ϕ2)+˙ϕ30=l1˙ϕ1sin.ϕ1;

˙ϕ2(scos.ϕ2)+˙s(sin.ϕ2)+˙ϕ30=l1˙ϕ1cos.ϕ1; (82)

˙ϕ2(l2cos.ϕ2)+˙s0+˙ϕ3(l3cos.ϕ3)=0 .

Любым из известных способов (например, методом Крамера) можно получить выражения для обобщенных скоростей как решение (82) :

˙ϕ2=˙ϕ2(ϕ1;˙ϕ1;s;ϕ2;ϕ3);

˙s=˙s(ϕ1;˙ϕ1;s;ϕ2;ϕ3); (83)

˙ϕ3=˙ϕ3(ϕ1;˙ϕ1;s;ϕ2;ϕ3) .

Выражения для обобщенных ускорений можно получить, например, продифференцировав (83) по времени:

¨ϕ2=¨ϕ2(ϕ1;˙ϕ1;¨ϕ1;s;˙s;ϕ2;˙ϕ2;ϕ3;˙ϕ3);

¨s=¨s(ϕ1;˙ϕ1;¨ϕ1;s;˙s;ϕ2;˙ϕ2;ϕ3;˙ϕ3); (84)

¨ϕ3=¨ϕ3(ϕ1;˙ϕ1;¨ϕ1;s;˙s;ϕ2;˙ϕ2;ϕ3;˙ϕ3) .

Начальные значения избыточных обобщенных координат находят как решение (81) каким-либо методом (например, достаточно аккуратно выполнив чертеж механизма при ϕ10=ϕ1(0) и замерив на нем величины ϕ20;s0;ϕ30). Подставив вычисленные ϕ10;˙ϕ10 и замеренные величины ϕ20;s0;ϕ30 в (83), найдем для начального момента времени избыточные обобщенные скорости ˙ϕ20;˙s0;˙ϕ30. Подставив вычисленные ϕ10;˙ϕ10;¨ϕ10 и найденные избыточные обобщенные координаты и скорости в (84), получим для начального момента времени избыточные обобщенные ускорения.

Для решения возникшей задачи Коши воспользуемся методом численного интегрирования Эйлера:

q(t+Δt*)=q(t)+˙q(t)Δt*;

где q(t) — решение уравнения вида ˙q=f(q;t), удовлетворяющее начальному условию q=q0 при t=t0;

Δt*— шаг интегрирования.

Оценка погрешности на каждом шаге интегрирования выполняется по значению невязки ε>fi(Δt*), т.е. проверкой точности выполнения уравнений связей (9.9). При неудовлетворительной точности значение шага интегрирования уменьшают вдвое и т.д.

Для последующего анализа результаты расчета сводят в таблицу либо используют для построения графиков.

Оцените
Добавить комментарий