36. Математическое моделирование процесса движения. Кинематика плоских механизмов

Зададимся для системы с $s$ степенями свободы минимально необходимым числом обобщенных координат $q_1;q_2;...;q_s$. Нужные для кинематического анализа координаты отдельных точек $x_k;y_k;z_k$ (избыточные координаты) определяются из уравнений кинематических связей:

$x_k=x_k(t;q_1;q_2;....;q_s);$

$y_k=y_k(t;q_1;q_2;....;q_s);$

$z_k=z_k(t;q_1;q_2;....;q_s);k=1,2,....,n$ (73)

Или в векторной форме

${\overrightarrow{r}}_k={\overrightarrow{r}}_k(t;q_1;q_2;....;q_s);k=1,2,...,n$ (74)

Движение системы приводит к изменению обобщенных координат $q_i\left(t\right)$ и к появлению обобщенных скоростей ${\dot{q}}_i=\frac{d}{q_i}$ и обобщенных ускорений ${\ddot{q}}_i=\frac{d^2}{q_i}$ . Размерности этих величин могут отличаться от размерностей скоростей ${\overrightarrow{V}}_k$ и ускорений точек ${\overrightarrow{W}}_k$, так как в число обобщенных координат могут входить углы поворотов.

Необходимые для кинематического анализа скорости и ускорения характерных точек получают путем дифференцирования по времени выражения (74):

${\overrightarrow{V}}_k={\sum }_{i=1}^s\frac{\partial }{{\overrightarrow{r}}_k}{\dot{q}}_i+\frac{\partial }{{\overrightarrow{r}}_k};k=1,2,....,n$ ; (75)

${\overrightarrow{W}}_k={\sum }_{i=1}^s\frac{\partial }{{\overrightarrow{r}}_k}{\ddot{q}}_i+{\sum }_{j=1}^s{\sum }_{i=1}^s\frac{{\partial }^2}{{\overrightarrow{r}}_k}{\dot{q}}_j{\dot{q}}_i+\frac{{\partial }^2}{{\overrightarrow{r}}_k}$ .

Особенность рассмотренного в (73) – (75) случая заключается в том, что уравнения связей (74) позволяют найти аналитические выражения избыточных координат $x_k;y_k;z_k$ через обобщенные $q_1;q_2;...;q_s$.

Чаще всего сделать это не удается и возникает система трансцендентных уравнений относительно избыточных координат вида

$f_j(x_k;y_k;z_k;t;q_1;q_2;.....;q_s)=0;k=1,2,....,n;j=1,2,....,3n$

(76)

Дифференцируя (76) по времени, получают линейную относительно избыточных скоростей ${\dot{x}}_k;{\dot{y}}_k;{\dot{z}}_k$ систему алгебраических уравнений:

${\varphi }_j(x_k;y_k;z_k;t;{\dot{x}}_k;{\dot{y}}_k;{\dot{z}}_k;q_1;q_2;.....;q_s;{\dot{q}}_1;{\dot{q}}_2;...;{\dot{q}}_s)=0;$

$k=1,2,....,n;j=1,2,....,3n$ (77)

Из (77) получают тем же приемом дифференцирования линейную систему алгебраических уравнений относительно избыточных ускорений ${\ddot{x}}_k;{\ddot{y}}_k;{\ddot{z}}_k$:

${\alpha }_j(x_k;...;t;{\dot{x}}_k;...;{\ddot{x}}_k;q_1;....;{\dot{q}}_1;...;{\ddot{q}}_s)=0;$

$k=1,2,....,n;j=1,2,....,3n$ (78)

Основные трудности кинематических исследований, опирающихся на выражения (76) – (78), заключаются в многократном решении системы трансцендентных уравнений (76).

В известной мере эти трудности можно обойти, если применить к решению трансцендентных уравнений (76) метод продолжения по параметру. В этом методе считается известным одно из решений $x_{k0};y_{k0};z_{k0}$ системы уравнений (76), соответствующее известному состоянию ($t=0;q_i=q_{i0}$). Как правило, это решение удается получить в особых положениях точек механической системы, когда ее конфигурация поддается простому геометрическому анализу. В крайнем случае, один раз придется решить систему (76) любым другим численным методом либо графически. Зная решение $x_{k0};y_{k0};z_{k0}$, находят значения скоростей ${\dot{x}}_k;{\dot{y}}_k;{\dot{z}}_k$ и ускорений ${\ddot{x}}_k;{\ddot{y}}_k;{\ddot{z}}_k$.

Значения избыточных координат $x_{k1};y_{k1};z_{k1}$ через малый промежуток времени $\Delta t^{*}$ находят интегрированием по методу Эйлера:

$x_{k1}=x_{k0}+{\dot{x}}_{k0}\Delta t^{*};$

$y_{k1}=y_{k0}+{\dot{y}}_{k0}\Delta t^{*};$ (79)

$z_{k1}=z_{k0}+{\dot{z}}_{k0}\Delta t^{*}$ .

Критерием правильности выбора шага $\Delta t^{*}$является точность $\epsilon$ выполнения исходных трансцендентных уравнений

$\left|f_j\right(\Delta t^{*}\left)\right|<\epsilon$ .

Так, на каждом шаге решение трудоемкой задачи определения корней трансцендентных уравнений (76) заменяется более простой задачей численного интегрирования во времени (79). При этом, правда, на каждом шаге необходимо решать систему линейных относительно ${\dot{x}}_k;{\dot{y}}_k;{\dot{z}}_k$ алгебраических уравнений (77). Но эта задача решается достаточно эффективно даже при сотнях искомых неизвестных.

ПРИМЕР 32. Плоский механизм (рис.90) с одной степенью свободы составлен из звеньев $O_{1}A$ и $O_{2}B$, соединенных ползуном, и звена $BC$, присоединенного шарнирно. Ведущее звено $O_{1}A$ движется по заданному закону $\varphi =\varphi \left(t\right)$ (рад.), где $t$ -время в секундах. Заданы размеры всех звеньев. Написать алгоритм расчета глобальных кинематических характеристик всех звеньев механизма и локальных кинематических характеристик всех обозначенных точек при возрастании времени от нуля до значения T с шагом $\Delta t^{*}$.

РЕШЕНИЕ. Уравнения кинематических связей рассматриваемого механизма в векторной форме имеют вид

$O_1{\overrightarrow{O}}_2+O_2\overrightarrow{A}+A{\overrightarrow{O}}_1=0$;

$C{\overrightarrow{O}}_2+O_2\overrightarrow{B}+B\overrightarrow{C}=0$ . (80)

За избыточные обобщенные координаты выберем параметры ${\varphi }_1;{\varphi }_2;s;{\varphi }_3$. Тогда уравнения (80) в проекциях на оси координат $x;y$ примут вид

$f_1=l_1\cos .{\varphi }_1-s\cdot \cos .{\varphi }_2+b=0;$

$f_2=l_1\sin .{\varphi }_1-s\cdot \sin .{\varphi }_2=0;$ (81)

$f_3=l_2\sin .{\varphi }_2-l_3\sin .{\varphi }_3+a=0$ .

Все связи стационарны.

В том случае, когда система (81) допускает получение дважды дифференцируемых по времени аналитических зависимостей вида

$s=s\left[{\varphi }_1\right(t\left)\right];$  ${\varphi }_2={\varphi }_2\left[{\varphi }_1\right(t\left)\right];$ ${\varphi }_3={\varphi }_3\left[{\varphi }_1\right(t\left)\right]$, расчет глобальных кинематических характеристик звеньев и локальных кинематических характеристик их точек может быть выполнен для интересующих нас моментов времени ($0\le i\cdot \Delta t^{*}\le T;$ где $i$ =1,2,… — целые числа) по формулам глав 3 и 4. Для последующего анализа результаты расчетов сводят в таблицу либо используют для построения графиков.

В том случае, когда система (81) не допускает получения необходимых аналитических зависимостей, ее следует, как предлагалось выше, продифференцировать по времени и представить в виде системы линейных дифференциальных уравнений относительно неизвестных производных (с переменными в процессе движения коэффициентами):

${\dot{\varphi }}_2(s\cdot \sin .{\varphi }_2)+\dot{s}(-\cos .{\varphi }_2)+{\dot{\varphi }}_3\cdot 0=l_1{\dot{\varphi }}_1\sin .{\varphi }_1;$

${\dot{\varphi }}_2(s\cdot \cos .{\varphi }_2)+\dot{s}(\sin .{\varphi }_2)+{\dot{\varphi }}_3\cdot 0=l_1{\dot{\varphi }}_1\cos .{\varphi }_1;$ (82)

${\dot{\varphi }}_2(l_2\cdot \cos .{\varphi }_2)+\dot{s}\cdot 0+{\dot{\varphi }}_3(-l_3\cos .{\varphi }_3)=0$ .

Любым из известных способов (например, методом Крамера) можно получить выражения для обобщенных скоростей как решение (82) :

${\dot{\varphi }}_2={\dot{\varphi }}_2({\varphi }_1;{\dot{\varphi }}_1;s;{\varphi }_2;{\varphi }_3);$

$\dot{s}=\dot{s}({\varphi }_1;{\dot{\varphi }}_1;s;{\varphi }_2;{\varphi }_3);$ (83)

${\dot{\varphi }}_3={\dot{\varphi }}_3({\varphi }_1;{\dot{\varphi }}_1;s;{\varphi }_2;{\varphi }_3)$ .

Выражения для обобщенных ускорений можно получить, например, продифференцировав (83) по времени:

${\ddot{\varphi }}_2={\ddot{\varphi }}_2({\varphi }_1;{\dot{\varphi }}_1;{\ddot{\varphi }}_1;s;\dot{s};{\varphi }_2;{\dot{\varphi }}_2;{\varphi }_3;{\dot{\varphi }}_3);$

$\ddot{s}=\ddot{s}({\varphi }_1;{\dot{\varphi }}_1;{\ddot{\varphi }}_1;s;\dot{s};{\varphi }_2;{\dot{\varphi }}_2;{\varphi }_3;{\dot{\varphi }}_3);$ (84)

${\ddot{\varphi }}_3={\ddot{\varphi }}_3({\varphi }_1;{\dot{\varphi }}_1;{\ddot{\varphi }}_1;s;\dot{s};{\varphi }_2;{\dot{\varphi }}_2;{\varphi }_3;{\dot{\varphi }}_3)$ .

Начальные значения избыточных обобщенных координат находят как решение (81) каким-либо методом (например, достаточно аккуратно выполнив чертеж механизма при ${\varphi }_{10}={\varphi }_1\left(0\right)$ и замерив на нем величины ${\varphi }_{20};s_0;{\varphi }_{30}$). Подставив вычисленные ${\varphi }_{10};{\dot{\varphi }}_{10}$ и замеренные величины ${\varphi }_{20};s_0;{\varphi }_{30}$ в (83), найдем для начального момента времени избыточные обобщенные скорости ${\dot{\varphi }}_{20};{\dot{s}}_0;{\dot{\varphi }}_{30}$. Подставив вычисленные ${\varphi }_{10};{\dot{\varphi }}_{10};{\ddot{\varphi }}_{10}$ и найденные избыточные обобщенные координаты и скорости в (84), получим для начального момента времени избыточные обобщенные ускорения.

Для решения возникшей задачи Коши воспользуемся методом численного интегрирования Эйлера:

$q(t+\Delta t^{*})=q\left(t\right)+\dot{q}\left(t\right)\cdot \Delta t^{*};$

где $q\left(t\right)$ — решение уравнения вида $\dot{q}=f(q;t)$, удовлетворяющее начальному условию $q=q_0$ при $t=t_0;$

$\Delta t^{*}$— шаг интегрирования.

Оценка погрешности на каждом шаге интегрирования выполняется по значению невязки $\epsilon >\left|f_i\right(\Delta t^{*}\left)\right|$, т.е. проверкой точности выполнения уравнений связей (9.9). При неудовлетворительной точности значение шага интегрирования уменьшают вдвое и т.д.

Для последующего анализа результаты расчета сводят в таблицу либо используют для построения графиков.