Зададимся для системы с s степенями свободы минимально необходимым числом обобщенных координат q1;q2;...;qs. Нужные для кинематического анализа координаты отдельных точек xk;yk;zk (избыточные координаты) определяются из уравнений кинематических связей:
xk=xk(t;q1;q2;....;qs);
yk=yk(t;q1;q2;....;qs);
zk=zk(t;q1;q2;....;qs);k=1,2,....,n (73)
Или в векторной форме
→rk=→rk(t;q1;q2;....;qs);k=1,2,...,n (74)
Движение системы приводит к изменению обобщенных координат qi(t) и к появлению обобщенных скоростей ˙qi=dqidt и обобщенных ускорений ¨qi=d2qidt2 . Размерности этих величин могут отличаться от размерностей скоростей →Vk и ускорений точек −→Wk, так как в число обобщенных координат могут входить углы поворотов.
Необходимые для кинематического анализа скорости и ускорения характерных точек получают путем дифференцирования по времени выражения (74):
→Vk=∑si=1∂→rk∂qi˙qi+∂→rk∂t;k=1,2,....,n ; (75)
−→Wk=∑si=1∂→rk∂qi¨qi+∑sj=1∑si=1∂2→rk∂qj∂qi˙qj˙qi+∂2→rk∂t2 .
Особенность рассмотренного в (73) – (75) случая заключается в том, что уравнения связей (74) позволяют найти аналитические выражения избыточных координат xk;yk;zk через обобщенные q1;q2;...;qs.
Чаще всего сделать это не удается и возникает система трансцендентных уравнений относительно избыточных координат вида
fj(xk;yk;zk;t;q1;q2;.....;qs)=0;k=1,2,....,n;j=1,2,....,3n
(76)
Дифференцируя (76) по времени, получают линейную относительно избыточных скоростей ˙xk;˙yk;˙zk систему алгебраических уравнений:
ϕj(xk;yk;zk;t;˙xk;˙yk;˙zk;q1;q2;.....;qs;˙q1;˙q2;...;˙qs)=0;
k=1,2,....,n;j=1,2,....,3n (77)
Из (77) получают тем же приемом дифференцирования линейную систему алгебраических уравнений относительно избыточных ускорений ¨xk;¨yk;¨zk:
αj(xk;...;t;˙xk;...;¨xk;q1;....;˙q1;...;¨qs)=0;
k=1,2,....,n;j=1,2,....,3n (78)
Основные трудности кинематических исследований, опирающихся на выражения (76) – (78), заключаются в многократном решении системы трансцендентных уравнений (76).
В известной мере эти трудности можно обойти, если применить к решению трансцендентных уравнений (76) метод продолжения по параметру. В этом методе считается известным одно из решений xk0;yk0;zk0 системы уравнений (76), соответствующее известному состоянию (t=0;qi=qi0). Как правило, это решение удается получить в особых положениях точек механической системы, когда ее конфигурация поддается простому геометрическому анализу. В крайнем случае, один раз придется решить систему (76) любым другим численным методом либо графически. Зная решение xk0;yk0;zk0, находят значения скоростей ˙xk;˙yk;˙zk и ускорений ¨xk;¨yk;¨zk.
Значения избыточных координат xk1;yk1;zk1 через малый промежуток времени Δt* находят интегрированием по методу Эйлера:
xk1=xk0+˙xk0Δt*;
yk1=yk0+˙yk0Δt*; (79)
zk1=zk0+˙zk0Δt* .
Критерием правильности выбора шага Δt*является точность ε выполнения исходных трансцендентных уравнений
∣∣fj(Δt*)∣∣<ε .
Так, на каждом шаге решение трудоемкой задачи определения корней трансцендентных уравнений (76) заменяется более простой задачей численного интегрирования во времени (79). При этом, правда, на каждом шаге необходимо решать систему линейных относительно ˙xk;˙yk;˙zk алгебраических уравнений (77). Но эта задача решается достаточно эффективно даже при сотнях искомых неизвестных.
ПРИМЕР 32. Плоский механизм (рис.90) с одной степенью свободы составлен из звеньев O1A и O2B, соединенных ползуном, и звена BC, присоединенного шарнирно. Ведущее звено O1A движется по заданному закону ϕ=ϕ(t) (рад.), где t -время в секундах. Заданы размеры всех звеньев. Написать алгоритм расчета глобальных кинематических характеристик всех звеньев механизма и локальных кинематических характеристик всех обозначенных точек при возрастании времени от нуля до значения T с шагом Δt*.
РЕШЕНИЕ. Уравнения кинематических связей рассматриваемого механизма в векторной форме имеют вид
O1→O2+O2→A+A→O1=0;
C→O2+O2→B+B→C=0 . (80)
За избыточные обобщенные координаты выберем параметры ϕ1;ϕ2;s;ϕ3. Тогда уравнения (80) в проекциях на оси координат x;y примут вид
f1=l1cosϕ1−s⋅cosϕ2+b=0;
f2=l1sinϕ1−s⋅sinϕ2=0; (81)
f3=l2sinϕ2−l3sinϕ3+a=0 .
Все связи стационарны.
В том случае, когда система (81) допускает получение дважды дифференцируемых по времени аналитических зависимостей вида
s=s[ϕ1(t)]; ϕ2=ϕ2[ϕ1(t)]; ϕ3=ϕ3[ϕ1(t)], расчет глобальных кинематических характеристик звеньев и локальных кинематических характеристик их точек может быть выполнен для интересующих нас моментов времени (0≤i⋅Δt*≤T; где i =1,2,… — целые числа) по формулам глав 3 и 4. Для последующего анализа результаты расчетов сводят в таблицу либо используют для построения графиков.
В том случае, когда система (81) не допускает получения необходимых аналитических зависимостей, ее следует, как предлагалось выше, продифференцировать по времени и представить в виде системы линейных дифференциальных уравнений относительно неизвестных производных (с переменными в процессе движения коэффициентами):
˙ϕ2(s⋅sinϕ2)+˙s(−cosϕ2)+˙ϕ3⋅0=l1˙ϕ1sinϕ1;
˙ϕ2(s⋅cosϕ2)+˙s(sinϕ2)+˙ϕ3⋅0=l1˙ϕ1cosϕ1; (82)
˙ϕ2(l2⋅cosϕ2)+˙s⋅0+˙ϕ3(−l3cosϕ3)=0 .
Любым из известных способов (например, методом Крамера) можно получить выражения для обобщенных скоростей как решение (82) :
˙ϕ2=˙ϕ2(ϕ1;˙ϕ1;s;ϕ2;ϕ3);
˙s=˙s(ϕ1;˙ϕ1;s;ϕ2;ϕ3); (83)
˙ϕ3=˙ϕ3(ϕ1;˙ϕ1;s;ϕ2;ϕ3) .
Выражения для обобщенных ускорений можно получить, например, продифференцировав (83) по времени:
¨ϕ2=¨ϕ2(ϕ1;˙ϕ1;¨ϕ1;s;˙s;ϕ2;˙ϕ2;ϕ3;˙ϕ3);
¨s=¨s(ϕ1;˙ϕ1;¨ϕ1;s;˙s;ϕ2;˙ϕ2;ϕ3;˙ϕ3); (84)
¨ϕ3=¨ϕ3(ϕ1;˙ϕ1;¨ϕ1;s;˙s;ϕ2;˙ϕ2;ϕ3;˙ϕ3) .
Начальные значения избыточных обобщенных координат находят как решение (81) каким-либо методом (например, достаточно аккуратно выполнив чертеж механизма при ϕ10=ϕ1(0) и замерив на нем величины ϕ20;s0;ϕ30). Подставив вычисленные ϕ10;˙ϕ10 и замеренные величины ϕ20;s0;ϕ30 в (83), найдем для начального момента времени избыточные обобщенные скорости ˙ϕ20;˙s0;˙ϕ30. Подставив вычисленные ϕ10;˙ϕ10;¨ϕ10 и найденные избыточные обобщенные координаты и скорости в (84), получим для начального момента времени избыточные обобщенные ускорения.
Для решения возникшей задачи Коши воспользуемся методом численного интегрирования Эйлера:
q(t+Δt*)=q(t)+˙q(t)⋅Δt*;
где q(t) — решение уравнения вида ˙q=f(q;t), удовлетворяющее начальному условию q=q0 при t=t0;
Δt*— шаг интегрирования.
Оценка погрешности на каждом шаге интегрирования выполняется по значению невязки ε>∣∣fi(Δt*)∣∣, т.е. проверкой точности выполнения уравнений связей (9.9). При неудовлетворительной точности значение шага интегрирования уменьшают вдвое и т.д.
Для последующего анализа результаты расчета сводят в таблицу либо используют для построения графиков.