Момент количества движения материальной точки относительно выбранного центра называется ее кинетическим моментом
→KO=→r×→q=→r×m→V , (29)
здесь →r — радиус – вектор точки относительно неподвижного центра О.
Кинетическим моментом →KO механической системы относительно центра О называется геометрическая сумма (главный момент) количеств движения составляющих эту систему материальных точек относительно этого же центра О:
→KO=∑nk=1→rk×→qk=∑nk=1→rk×mk→Vk . (30.a)
Проецируя (30.a) на оси неподвижной декартовой системы координат Oxyz, получим выражения для соответствующих проекций (иногда их называют моментами количеств движения относительно соответствующих осей):
→KO=→iKx+→jKy+→kKz ;
Kx=n∑k=1mk(ykVkz−zkVky);
Ky=∑nk=1mk(zkVkx−xkVkz); (30.б)
Kz=∑nk=1mk(xkVky−ykVkx) .
Для механических систем с непрерывным распределением массы в выражениях (30) суммирование следует заменить интегрированием.
Кинетический момент системы, вычисленный относительно неподвижного центра О (его проекция на ось, проходящую через точку О), является векторной мерой, характеризующей вращение механической системы относительно неподвижного центра (оси).
В качестве примера вычислим кинетический момент тела при его вращении вокруг неподвижной точки и вокруг неподвижной оси.
Выделим в твердом теле в окрестности точки, положение которой определяется радиусом – вектором →r (рис.20), элементарный объем dσ, масса которого dm=ρ⋅dσ так же элементарна (ρ — плотность материала в окрестности выбранной точки).
Тогда кинетический момент →KO тела относительно неподвижной точки О определиться интегралом по занимаемой телом области пространства
→KO=∫m→r×→Vdm=∫σ→r×(→ω×→r)ρ⋅dσ . (31)
В декартовой координатной системе →r=→ix+→jy+→kz. Если теперь применить правило векторного перемножения
→ω×→r=∣∣∣∣∣→i→j→kωxωyωzxyz∣∣∣∣∣ , то для кинетического момента →KO получим
→KO=∫σ[→i((y2+z2)ωx−xyωy−xzωz)++→j(−yxωx+(x2+z2)ωy−yzωz)++→k(−zxωx−zyωy+(x2+y2)ωz)]ρ⋅dσ (32)
В сжатом виде это выражение обычно записывают так:
→KO=→i(Ixxωx−Ixyωy−Ixzωz)++→j(−Iyxωx+Iyyωy−Iyzωz)++→k(−Izxωx−Izyωy+Izzωz) (33)
Величины Ixx=∫σ(y2+z2)ρ(x,y,z)dσ ; Iyy=∫σ(x2+z2)ρ(x,y,z)dσ; Izz=∫σ(x2+y2)ρ(x,y,z)dσ
называются моментами инерции тела относительно осей x, y и z, соответственно, а Ixy=Iyx=∫σxyρ(x,y,z)dσ, Ixz=Izx=∫σxzρ(x,y,z)dσ , Iyz=Izy=∫σyzρ(x,y,z)dσ — центробежными моментами инерции твердого тела. Все эти величины характеризуют инерционные свойства тела при вращении. Они являются характеристиками распределения массы в твердом теле. Для однородных тел, у которых плотность ρ постоянна, соотношения между моментами инерции определяются только формой тела и расположением координатных осей Oxyz. Более подробные сведения о моментах инерции изложены в главе 6 настоящего пособия.
Из шести моментов инерции составляют симметрическую матрицу
[I]=∣∣∣∣∣Ixx−Ixy−Ixz−IyxIyy−Iyz−Izx−IzyIzz∣∣∣∣∣ ,
которую называют тензором инерции. С помощью тензора [I] компоненты {Kx,Ky,Kz} вектора →KO={KO} выражаются через компоненты {ωx,ωy,ωz} вектора →ω={ω} в очень простой форме:
{KO}=[I]{ω} . (34)
В частном случае, когда тело вращается вокруг неподвижной оси Oz и ωx=ωy=0;ωz=ω, кинетический момент тела определяется выражением
→KO=ω(−→iIxz−→jIyz+→kIzz) . (35)