49. Дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси. Динамика

49. Дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси

Автор admin На чтение 4 мин Просмотров 5.7к.

Пусть твердое тело вращается вокруг неподвижной оси $z$ ; закон изменения во времени угла поворота $ϕ = ϕ (t)$ задан. Из (35) найдем проекцию вектора кинетического момента на ось вращения $K_{z} = ω I_{z z} = ˙ ϕ \cdot I_{z z}$ и подставим ее в третье уравнение из (2.20). Окончательно имеем:

$I_{z z} \frac{d ω}{d t} = I_{z z} ε = M_{z}^{e}$ или $I_{z z} \frac{d ¨ ϕ}{d t} = M_{z}^{e}$ , (38)

где $ε$ и $ω$ — угловое ускорение и угловая скорость вращения. Выражение (38) является дифференциальным уравнением первого порядка относительно угловой скорости вращения, либо дифференциальным уравнением второго порядка относительно угла поворота тела. Заметим, что структура формулы (38) совпадает (изоморфна) со структурами основного закона динамики точки (5) и теоремы о движении центра масс (24.а); отмеченная особенность позволяет при решении задач этого параграфа применять математические приемы, используемые ранее.

ПРИМЕР 18 (задача 37.9 из [2]). Шарик А, находящийся в сосуде с жидкостью и прикрепленный к концу стержня АВ длины $l$ , приводится во вращение вокруг вертикальной оси СD с начальной угловой скоростью $ω_{0}$ (см. рис.23).

Сила сопротивления жидкости пропорциональна угловой скорости вращения: $R = α \cdot m \cdot ω$ , где $m$ — масса шарика, $α$ — коэффициент пропорциональности. Определить, через какой промежуток времени угловая скорость вращения станет в два раза меньше начальной, а так же число оборотов $n$ , которое сделает стержень с шариком за этот промежуток времени. Массу шарика считать сосредоточенной в его центре, массой стержня пренебречь.

РЕШЕНИЕ. Рассмотрим твердое тело в виде оси СD и стержня АВ , масса $m$ которого сосредоточена в точке А. Силы, приложенные к этому телу, это сила тяжести, силы реакций в опорных подшипниках С и D, сила сопротивления движению $\to R$ . Заметим, что момент относительно оси вращения создает только сила сопротивления. Запишем для рассматриваемого тела дифференциальное уравнение вращательного движения:
$I \frac{d ω}{d t} = - R \cdot l = - α \cdot m \cdot l \cdot ω$ .
Разделим переменные и возьмем от обеих частей равенства определенные интегралы
$- \frac{I}{α m l} \int_{ω_{0}}^{\frac{ω_{0}}{2}} \frac{d ω}{ω} = \int_{0}^{τ} d t$ .
Окончательно для искомого промежутка времени получим выражение
$τ = \frac{I}{α m l} ln . 2$ .
Для нахождения сделанного числа оборотов вернемся к исходному дифференциальному уравнению. Выполним замену переменных, умножив и разделив его левую часть на $d ϕ$ .
$I \frac{d ω \cdot d ϕ}{d ϕ \cdot d t} = I ω \frac{d ω}{d ϕ} = - α \cdot m \cdot l \cdot ω$ .
Разделим переменные и возьмем определенные интегралы от обеих частей равенства:
$- \frac{I}{α m l} \int_{ω_{0}}^{\frac{ω_{0}}{2}} d ω = \int_{k}^{ϕ_{k}} d ϕ$ .
Окончательно для числа оборотов получим выражение
$n = \frac{ϕ_{k}}{2 π} = \frac{I ω_{0}}{4 π α m l}$ .
Заметим, что ход решения не отличается от выполненного в примере 4.