45. Теорема об изменении количества движения Количество движения материальной точки и механической системы. Динамика

45. Теорема об изменении количества движения Количество движения материальной точки и механической системы

Автор admin На чтение 10 мин Просмотров 1.3к.

Количеством движения $\to q$ материальной точки называют вектор, равный произведению массы $m$ точки на ее скорость $\to V$ :

$\to q = m \to V$ . (25)

Количеством движения механической системы $\to Q$ называется главный вектор количеств движения ее точек

$\to Q = \sum_{k = 1}^{n} {\to q}_{k} = \sum_{k = 1}^{n} m_{k} {\to V}_{k} = M {\to V}_{C}$ . (26)

При выводе формулы учтен результат дифференцирования по времени формулы (22.а).

В качестве примера вычислим количество движения однородного диска массы $M$ , катящегося без проскальзывания по горизонтальной плоскости, если известна скорость ${\to V}_{С}$ его центра С.

При качении диск совершает плоскопараллельное движение, которое можно представить в виде суммы поступательного движения со скоростью ${\to V}_{С}$ и вращения вокруг центра С. Нетрудно видеть, что в силу осевой симметрии диска, составляющая главного вектора количеств движения, обусловленная вращением, будет отсутствовать. Общий результат вычислений $\to Q = M {\to V}_{C}$ полностью согласуется с (26).

Анализ решения показывает, что главный вектор количеств движения механической системы есть векторная мера ее поступательного движения вместе с центром масс.

Элементарным импульсом силы $d \to S$ называется вектор, равный произведению силы $\to F$ на элементарный промежуток времени $d t$ , т.е.

$d \to S = \to F d t$ . (27)

Интегрируя (27) на интервале времени от нуля до $t$ , получим формулу для вычисления импульса силы:

$\to S = \int_{0}^{t} \to F d t$ .

Теорема об изменении количества движения

Перепишем формулу (23) в виде

$m_{k} \frac{d {\to V}_{k}}{d t} = {\to F}_{k}^{e} + {\to F}_{k}^{i}$ ; $k = 1, 2, . . ., n$ ,

и просуммируем. Изменив порядок суммирования и дифференцирования, получим

$\frac{d}{d t} \sum_{k = 1}^{n} m_{k} {\to V}_{k} = \sum_{k = 1}^{n} {\to F}_{k}^{e} + \sum_{k = 1}^{n} {\to F}_{k}^{i}$ .

С учетом (2.8) и свойства внутренних сил, имеем

$\frac{d \to Q}{d t} = {\to V}^{e}$ или $d \to Q = {\to V}^{e} d t = d {\to S}^{e}$ (28а)

или в интегральной форме

${\to Q}_{1} - {\to Q}_{0} = \int_{1}^{t_{1}} {\to V}^{e} d t = {\to S}_{01}^{e}$ . (28.б)

Полученные выражения есть запись теоремы об изменении количества движения механической системы: приращение количества движения механической системы на заданном интервале времени (элементарном $d t$ или конечном $[0; t_{1}]$ ) равно импульсу внешних сил за тот же промежуток времени.

Из формул (28) следует, что если главный вектор внешних сил окажется равным нулю, то на рассматриваемом интервале времени количество движения механической системы не изменяется.

Если окажется, что равна нулю проекция на какую-либо координатную ось главного вектора внешних сил, то будет постоянной проекция на эту ось главного вектора количеств движения.

Заметим, что формулы (24.а) и (28.а), в сущности, эквивалентны; выбор применяемой теоремы определяется соображениями удобства получения решения конкретной задачи.

ПРИМЕР 13. При разгоне буксир водоизмещением $D_{1}$ , набрав скорость $V_{0}$ , натянул буксирный трос, связанный с первоначально неподвижной баржей водоизмещением $D_{2}$ . Найти общую скорость $V_{C}$ состава буксир – баржа, считая, что силы сопротивления воды его движению и сила упора гребных винтов уравновешиваются.

РЕШЕНИЕ. Равенство сил упора гребных винтов и сил сопротивления обуславливает равенство нулю горизонтальной составляющей главного вектора внешних сил и, как следствие, соответствующей составляющей ускорения центра масс состава. В таком случае горизонтальная составляющая главного вектора количеств движения должна быть постоянной. Запишем соответствующие выражения для начального и конечного моментов времени и приравняем их:
$Q_{x}^{н а ч} = D_{1} V_{0} = Q_{x}^{к о н} = V_{C} (D_{1} + D_{2})$ .
Отсюда $V_{C} = \frac{D_{1} V_{0}}{D_{1} + D_{2}}$ .

ПРИМЕР 14. Торпедный катер (см. рис.17), двигающийся по прямой со скоростью $V_{0}$ , произвел залп двумя торпедами. Зная массу катера с учетом присоединенной массы жидкости $M$ , массу каждой из торпед $m$ , скорость выхода из торпеды из торпедного аппарата $\to u$ и ее угол $α$ с диаметральной плоскостью катера, найти скорость катера после залпа.

При решении учесть, что при движении катера, во-первых, его боковое сопротивление значительно больше его продольного сопротивления $R_{y}^{c} > > R_{x}^{c}$ , и, во-вторых, во время залпа сохраняется равенство силы продольного сопротивления воды $R_{x}^{c}$ и силы упора гребных винтов $T$ .

РЕШЕНИЕ. Первое указание позволяет пренебречь боковой составляющей скорости катера ( $V_{y} \approx 0$ ). В таком случае можно полагать, что скорость катера после залпа приблизительно равной своей продольной составляющей, т.е. $\to V \approx {\to V}_{x}$ . На рис.17 изображена механическая система (катер и две торпеды), а так же внешние силы, на нее действующие.
Спроецируем выражение (28.а) на ось $x$ :
$\frac{d Q_{x}}{d t} = V_{x}^{e} = T - R_{x}^{c} = 0$
здесь $T$ — сила упора гребных винтов, а $R_{x}^{c}$ — продольная составляющая силы сопротивления. В этом случае проекция на ось $x$ количества движения механической системы за время залпа не должно изменяться, т.е. $Q_{x}^{0} = Q_{x}^{K}$ , где $Q_{x}^{0}$ ; $Q_{x}^{K}$ — соответствующие проекции в начальный и конечный момент залпа. Составим выражения для этих проекций:
$Q_{x}^{0} = M V_{0}$ ;
$Q_{x}^{K} = (M - 2 m) V_{x} + 2 m (V_{x} + u cos . α)$ .
Приравняв выражения, найдем
$V \approx V_{x} = \frac{M V_{0} - 2 m u cos . α}{M} = V_{0} - \frac{2 m u cos . α}{M}$ .

ПРИМЕР 15. Определить горизонтальную составляющую $R_{x}$ силы, возникающей на опоре прямоугольного колена трубы переменного сечения при движении по ней воды. Диаметр трубы на входе в колено $D$ , скорость воды $v_{0}$ , диаметр колена на выходе $d$ .

РЕШЕНИЕ. Выделим сечениями $a - a$ и $b - b$ механическую систему, состоящую из частиц воды в колене трубы (см. рис.18).

Внешними силами, действующими на частицы воды, являются силы веса и силы реакции со стороны поверхности трубы. Воспользуемся теоремой об изменении количества движения за небольшой промежуток времени $Δ t$ и спроецируем выражение (2.10.б) на ось $x$ :
$Q_{1 x} - Q_{0 x} = Δ Q_{x} = S_{x}^{о б} + S_{x}^{п о в}$ ,
здесь $S_{x}^{о б} = 0$ — проекция на ось $x$ главного импульса вертикальных сил веса, а $S_{x}^{п о в} = R_{x}^{‘} Δ t$ — проекция на горизонтальную ось главного вектора поверхностных сил, которая равна проекции равнодействующей поверхностных сил $R_{x}^{‘} = - R_{x}$ , умноженной на промежуток времени $Δ t$ .
За указанный промежуток времени сечение $a - a$ переместится на расстояние $l_{0} = v_{0} Δ t$ и займет положение $a^{‘} - a^{‘}$ , а сечение $b - b$ переместится на расстояние $l = v Δ t$ (здесь $v$ -скорость воды на выходе из колена трубы) и займет положение $b^{‘} - b^{‘}$ .
Для вычисления величины $Δ Q_{x}$ рассмотрим частицы воды в трех объемах: между сечениями $a - a$ и $a^{‘} - a^{‘}$ ; между сечениями $a^{‘} - a^{‘}$ и $b - b$ , и между сечениями $b - b$ и $b^{‘} - b^{‘}$ .
Частицы воды во втором объеме участвуют в формировании как начального, так и конечного количества движения, поэтому их следует исключить их механической системы при вычислении величины $Δ \to Q$ . Количество движения частиц воды в первом объеме есть произведение их суммарной массы на скорость воды при входе в колено; однако проекция на ось $x$ этого вектора равна нулю. Количество движения частиц воды в третьем объеме равно массе выходящей воды $m = ρ \frac{π d^{2}}{4} v Δ t$ , умноженной на ее скорость $v$ (здесь $ρ$ — плотность воды). С учетом сделанных рассуждений можно записать, что $ρ \frac{π d^{2}}{4} v^{2} Δ t = R_{x}^{‘} Δ t$ .
Тогда $R_{x}^{‘} = ρ \frac{π d^{2}}{4} v^{2}$ .
Учтем, что объем воды, входящий в колено, должен быть равен выходящему объему, т.е. $\frac{π D^{2}}{4} v_{0} Δ t = \frac{π d^{2}}{4} v Δ t$ .
Окончательно получим $R_{x} = R_{x}^{‘} = ρ \frac{π D^{4}}{4 d^{2}} v_{0}^{2}$ .