В ряде случаев движение твердого тела происходит таким образом, что траектории всех его точек являются плоскими кривыми; плоскости их расположения параллельны либо совпадают. Например: маневрирование надводного судна без изменения посадки, качение цилиндра по плоскости, движение шатуна ОА кривошипно-шатунного механизма и т.п. (рис.62).
Движение твердого тела называется плоскопараллельным (плоским), если все точки тела перемещаются в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости.
Частными случаями плоского движения являются поступательное плоское движение и вращение вокруг неподвижной оси. Рассмотрим плоскопараллельное движение твердого тела, точки которого перемещаются в плоскостях, параллельных плоскостиx1Oy1 (рис.63). Проведем прямую aa‘, жестко связанную с телом и перпендикулярную указанной плоскости; все кинематические характеристики точек, принадлежащих прямой aa‘, одинаковы.
Отметим на прямой aa‘ какую-либо точку А и проведем через нее плоскость Q, параллельную плоскости Ox1y1. Движение плоской фигуры S, являющейся сечением тела плоскостью Q, полностью отражает движение рассматриваемого тела.
Известно, что положение плоской фигуры на плоскости определяется тремя независимыми координатами, так что число степеней свободы тела, совершающего плоскопараллельное движение (плоской фигуры, совершающей плоское движение), равно трем. Для описания (задания) движения плоской фигуры в неподвижной системе отсчета Ox1y1 введем жестко связанную с фигурой координатную систему Axy, а так же полусвязанную поступательно движущуюся координатную систему Ax2y2, оси которой параллельны соответствующим осям неподвижной системы отсчета (рис.64).
Тогда положение фигуры S на неподвижной плоскости Ox1y1 определяется функциями
→rA=→rA(t)=→ix1A(t)+→jy1A(t); ϕ=ϕ(t), (51)
которые называются уравнениями движения плоской фигуры или уравнениями плоскопараллельного движения твердого тела.
Плоское движение рассматривают как результат сложения двух более простых движений. Первое из них происходит вместе с полусвязанной системой Ax2y2 (поступательное движение с кинематическими характеристиками точки A, называемой в этом случае полюсом), а второе представляет собой вращение вместе с осями связанной системы относительно полусвязанной (вращение вокруг полюса).
В такой трактовке, называемой методом полюса, первое уравнение в (51) определяет движение полюса, а второе описывает вращение плоской фигуры вокруг полюса (точнее, вокруг оси Az2).
Выбор в качестве полюса другой точки изменяет поступательное движение полусвязанной координатной системы; при этом глобальные кинематические характеристики вращательного движения остаются прежними (инвариантными относительно выбора полюса). В качестве иллюстрации, на рис.65 плоская фигура Sи жестко связанный с нею отрезок ABпереводится из одного положения в другое, в котором отрезок AB занимает положение A1B1.
Если за полюс выбирается точка A, то отрезок AB сначала поступательно перемещается в положение A1B‘, а затем поворачивается на угол ϕ1 вокруг полюса A до положения A1B1. Если за полюс выбирается точка B, то отрезок AB сначала поступательно перемещается в положение A‘B1, а затем поворачивается на угол ϕ2 вокруг полюса B до положения A1B1. Из рисунка видно, что ϕ1=ϕ2.