Пусть движение произвольной точкиMk(k=1,2,...,n) массой mk механической системы вызвано равнодействующей →Fk задаваемых сил и равнодействующей →Nk реакций связей. Тогда для k -ой точки основное уравнение динамики имеет вид
mk−→Wk=→Fk+→Nk ; k=1,2,...,n.
Перепишем его в форме
→Fk+→Nk+→Фk=0, (1)
где →Фk=−mk−→Wk есть сила инерции.
Таким образом, для динамической задачи мы получили уравнение, которое можно трактовать как уравнение равновесия.
Поступая аналогично с другими точками системы и суммируя уравнения (1) по индексу k, получим
∑nk=1→Fk+∑nk=1→Nk+∑nk=1→Фk=0.
Обозначив главные векторы активных сил, реакций связей и сил инерции соответственно через →F;→N и →Ф, будем иметь
→F+→N+→Ф=0 . (2)
Умножив векторно →rk на силы, входящие в (1), и суммируя их по k, найдем главные моменты активных сил, реакций связей и сил инерции
−→M0(→Fk)+−→M0(→Nk)+−→M0(→Фk)=0. (3)
Уравнения (2) и (3) представляют принцип Даламбера: в каждый момент времени главный вектор сил инерции уравновешивает главные векторы активных сил и реакций связей; точно так же главный момент сил инерции относительно некоторого центра уравновешивает главные моменты активных сил и реакций связей.
Если действующие на k -ую точку силы привести к равнодействующей внешних сил →Fek и равнодействующей внутренних сил →Fik, то, с учетом свойств внутренних сил, уравнения (2) и (3) примут вид
→Fe+→Ф=0 ; −→M0(→Fek)+−→M0(→Фk)=0, (4)
где →Fe— главный вектор внешних сил.
Принцип Даламбера дает удобный прием решения задач динамики несвободных систем. Путем приложения к точкам механической системы фиктивных сил инерции задача динамики легко сводится к соответствующей задаче статики.
Уравнения (2) и (3) либо (4) называют уравнениями кинетостатики. Для использования этих уравнений необходимо правильно вычислять главный вектор и главный момент сил инерции механической системы, в частности, твердого тела.
Так при поступательном движении тела
→ФC=−m−→WC; ФC=mWC;
при вращении тела вокруг неподвижной оси
−→Muz=−Iz→ε; Muz=Izε;
при плоском движении тела
→ФC=−m−→WC; −→Muz=−Iz→ε; где С – центр масс твердого тела.
ПРИМЕР 1 (задача 41.7 из [2]). Для экспериментального определения замедления троллейбуса применяется жидкостный акселерометр, состоящий из изогнутой трубки, наполненной маслом и расположенный в вертикальной плоскости. Определить величину замедления троллейбуса при торможении, если при этом уровень жидкости в конце трубки, расположенном в направлении движения, повышается до величины h2, а в противоположном конце понижается до h1. Положение акселерометра указано на рисунке 1; при этом α1=α2=450;
h1=25 мм, h2=75 мм.
РЕШЕНИЕ. Выделим в каждом колене элементарную массу mi. Жидкость можно полагать находящейся в равновесии, если к действующим силам веса mi→g добавить силы инерции →Финi=−mi−→W (внутренние силы взаимодействия частиц не нанесены, так как их главный вектор равен нулю). Приравняем проекции на продольные оси первого и второго участков трубки главных векторов соответствующих сил (давление столба жидкости в нижней точке первого участка трубки должно быть равно давлению столба жидкости в нижней точке второго участка). Тогда
∑ni=1m1igsinα1+∑ni=1Фин1icosα1=∑ki=1m2igsinα2−∑ki=1Фин2icosα2.
Вынесем постоянные величины за знаки суммирования. Введем массу единицы объема m*. Тогда масса жидкости в левой части трубки будет m1=m*l1=m*h1sinα1, главный вектор сил инерции Ф1=m1W=m*Wh1sinα1, а сила веса жидкости m1g=m*l1g=m*gh1sinα1; выражения для соответствующих величин правого участка трубки аналогичны. Подставив полученные выражения в уравнение, сократим все слагаемые на массу единицы объема. Сгруппируем слагаемые, содержащие ускорение Wв левой части равенства, не содержащие ускорения – в правой. Окончательно получим
W=g(h2−h1)tgα1tgα2h1tgα2+h2tgα1=0.5g .