56. Метод кинетостатики (принцип Даламбера). Динамика

56. Метод кинетостатики (принцип Даламбера)

Автор admin На чтение 5 мин Просмотров 6к.

Пусть движение произвольной точки $M_{k} (k = 1, 2, . . ., n)$ массой $m_{k}$ механической системы вызвано равнодействующей ${\to F}_{k}$ задаваемых сил и равнодействующей ${\to N}_{k}$ реакций связей. Тогда для $k$ -ой точки основное уравнение динамики имеет вид

$m_{k} {- \to W}_{k} = {\to F}_{k} + {\to N}_{k}$ ; $k = 1, 2, . . ., n$ .

Перепишем его в форме

${\to F}_{k} + {\to N}_{k} + {\to Ф}_{k} = 0$ , (1)

где ${\to Ф}_{k} = - m_{k} {- \to W}_{k}$ есть сила инерции.

Таким образом, для динамической задачи мы получили уравнение, которое можно трактовать как уравнение равновесия.

Поступая аналогично с другими точками системы и суммируя уравнения (1) по индексу $k$ , получим

$\sum_{k = 1}^{n} {\to F}_{k} + \sum_{k = 1}^{n} {\to N}_{k} + \sum_{k = 1}^{n} {\to Ф}_{k} = 0$ .

Обозначив главные векторы активных сил, реакций связей и сил инерции соответственно через $\to F; \to N$ и $\to Ф$ , будем иметь

$\to F + \to N + \to Ф = 0$ . (2)

Умножив векторно ${\to r}_{k}$ на силы, входящие в (1), и суммируя их по $k$ , найдем главные моменты активных сил, реакций связей и сил инерции

${- \to M}_{0} ({\to F}_{k}) + {- \to M}_{0} ({\to N}_{k}) + {- \to M}_{0} ({\to Ф}_{k}) = 0$ . (3)

Уравнения (2) и (3) представляют принцип Даламбера: в каждый момент времени главный вектор сил инерции уравновешивает главные векторы активных сил и реакций связей; точно так же главный момент сил инерции относительно некоторого центра уравновешивает главные моменты активных сил и реакций связей.

Если действующие на $k$ -ую точку силы привести к равнодействующей внешних сил ${\to F}_{k}^{e}$ и равнодействующей внутренних сил ${\to F}_{k}^{i}$ , то, с учетом свойств внутренних сил, уравнения (2) и (3) примут вид

${\to F}^{e} + \to Ф = 0$ ; ${- \to M}_{0} ({\to F}_{k}^{e}) + {- \to M}_{0} ({\to Ф}_{k}) = 0$ , (4)

где ${\to F}^{e}$ — главный вектор внешних сил.

Принцип Даламбера дает удобный прием решения задач динамики несвободных систем. Путем приложения к точкам механической системы фиктивных сил инерции задача динамики легко сводится к соответствующей задаче статики.

Уравнения (2) и (3) либо (4) называют уравнениями кинетостатики. Для использования этих уравнений необходимо правильно вычислять главный вектор и главный момент сил инерции механической системы, в частности, твердого тела.

Так при поступательном движении тела

${\to Ф}_{C} = - m {- \to W}_{C};$ $Ф_{C} = m W_{C};$

при вращении тела вокруг неподвижной оси

${- \to M}_{z}^{u} = - I_{z} \to ε;$ $M_{z}^{u} = I_{z} ε;$

при плоском движении тела

${\to Ф}_{C} = - m {- \to W}_{C};$ ${- \to M}_{z}^{u} = - I_{z} \to ε;$ где С – центр масс твердого тела.

ПРИМЕР 1 (задача 41.7 из [2]). Для экспериментального определения замедления троллейбуса применяется жидкостный акселерометр, состоящий из изогнутой трубки, наполненной маслом и расположенный в вертикальной плоскости. Определить величину замедления троллейбуса при торможении, если при этом уровень жидкости в конце трубки, расположенном в направлении движения, повышается до величины $h_{2}$ , а в противоположном конце понижается до $h_{1}$ . Положение акселерометра указано на рисунке 1; при этом $α_{1} = α_{2} = 4 5^{0};$
$h_{1}$ =25 мм, $h_{2}$ =75 мм.

РЕШЕНИЕ. Выделим в каждом колене элементарную массу $m_{i}$ . Жидкость можно полагать находящейся в равновесии, если к действующим силам веса $m_{i} \to g$ добавить силы инерции ${\to Ф}_{i}^{и н} = - m_{i} - \to W$ (внутренние силы взаимодействия частиц не нанесены, так как их главный вектор равен нулю). Приравняем проекции на продольные оси первого и второго участков трубки главных векторов соответствующих сил (давление столба жидкости в нижней точке первого участка трубки должно быть равно давлению столба жидкости в нижней точке второго участка). Тогда
$\sum_{i = 1}^{n} m_{1 i} g sin . α_{1} + \sum_{i = 1}^{n} Ф_{1 i}^{и н} cos . α_{1} = \sum_{i = 1}^{k} m_{2 i} g sin . α_{2} - \sum_{i = 1}^{k} Ф_{2 i}^{и н} cos . α_{2}$ .
Вынесем постоянные величины за знаки суммирования. Введем массу единицы объема $m^{*}$ . Тогда масса жидкости в левой части трубки будет $m_{1} = m^{*} l_{1} = m^{*} \frac{h_{1}}{sin . α_{1}}$ , главный вектор сил инерции $Ф_{1} = m_{1} W = m^{*} \frac{W h_{1}}{sin . α_{1}}$ , а сила веса жидкости $m_{1} g = m^{*} l_{1} g = m^{*} \frac{g h_{1}}{sin . α_{1}}$ ; выражения для соответствующих величин правого участка трубки аналогичны. Подставив полученные выражения в уравнение, сократим все слагаемые на массу единицы объема. Сгруппируем слагаемые, содержащие ускорение $W$ в левой части равенства, не содержащие ускорения – в правой. Окончательно получим
$W = \frac{g (h_{2} - h_{1}) t g α_{1} t g α_{2}}{h_{1} t g α_{2} + h_{2} t g α_{1}} = 0.5 g$ .