4. Момент силы относительно точки и оси. Статика

4. Момент силы относительно точки и оси

Автор admin На чтение 3 мин Просмотров 5.7к.

Навигация

Момент силы относительно точки
Моменто силы относительно оси
Отметим следующие свойства момента силы

Момент силы относительно точки

Рассмотрим силу $ˉ F (F_{X}, F_{Y}, F_{Z})$ , приложенную к твердому телу в точке А(x, y, z).

Очевидно, что сила стремится повернуть тело относительно начала координат. Это воздействие назовем моментом силы относительно точки О; оно характеризуется:

величиной, пропорциональной как модулю силы, так и наименьшему расстоянию от линии действия силы до начала координат (это расстояние на рис.9 обозначено h и называется плечом силы ),
положением в пространстве плоскости, в которой лежат векторы $ˉ F$ и $O ˉ A$ (точнее, нормали к этой плоскости),
направлением вращательного воздействия.

Сопоставим воздействию математическую модель в виде связанного с точкой О вектора, равного

${ˉ M}_{0} (ˉ F) = O ˉ A \times ˉ F$ (5.а)

Очевидно, что принятая математическая модель учитывает все указанные выше характеристики моделируемого вращательного воздействия.

Если известны модуль силы $ˉ F$ и ее плечо относительно точки О, то модуль вектора момента может быть вычислен как:

$M_{0} (ˉ F) = F \cdot O A \cdot sin . (ˉ F; O ˉ A) = F \cdot h$ (5.б)

Момент силы относительно точки О может быть определен и через проекции соответствующих векторов на оси координатной системы, как

${ˉ M}_{0} ⎛ ⎜ ⎝ ˉ F ⎞ ⎟ ⎠ = O ˉ A \times ˉ F = ⎛ ⎜ ⎝ \begin{matrix} ˉ i & ˉ j & ˉ k x & y & z F_{X} & F_{Y} & F_{Z} \end{matrix} ⎞ ⎟ ⎠ = .$ $= ˉ i (y F_{Z} - z F_{Y}) + ˉ j (z F_{X} - x F_{Z}) + ˉ k (x F_{Y} - y F_{X}) = .$ $= ˉ i M_{X} + ˉ j M_{Y} + ˉ k M_{Z}$

(5.в)

Моменто силы относительно оси

Моментом силы относительно оси называется проекция на эту ось момента силы относительно любой точки оси.

В качестве примера разберем вычисление момента силы относительно оси z.

Сначала (см. рис. 10) разложим силу на две составляющие – вдоль оси z ( ${ˉ F}_{1} = {ˉ F}_{Z}$ ) и перпендикулярную оси z ( ${ˉ F}_{2} = {ˉ F}_{X Y}$ ).

Поскольку состояние тела должно сохраняться при замене равнодействующей на ее составляющие, момент от равнодействующей может быть вычислен, как сумма моментов от ее составляющих, т.е.

$M_{z} (ˉ F) = M_{z} ({ˉ F}_{1}) + M_{z} ({ˉ F}_{2})$ (6)

Заметим, что приведенное выше соображение в некоторых источниках носит название теоремы Вариньона.

Очевидно, что составляющая ${ˉ F}_{1} = {ˉ F}_{Z}$ стремится сдвинуть тело вдоль оси z, не стремясь повернуть его вокруг оси z (т.е. ее момент относительно оси z равен нулю). Кратчайшее расстояние от линии действия составляющей ${ˉ F}_{2} = {ˉ F}_{X Y}$ до оси z есть h (см. рис. 3.2).

Таким образом,

$M_{Z} (ˉ F) = M_{Z} ({ˉ F}_{2}) = F_{2} \cdot h = x F_{Y} - y F_{X}$ (7)

что совпадает с проекцией вектора момента на ось z в формуле (5.в).

Отметим следующие свойства момента силы

момент силы относительно точки не меняется при переносе силы вдоль ее линии действия (т.к. не изменяется плечо силы),
момент силы относительно точки равен нулю, если линия действия силы проходит через эту точку (т.к. плечо силы равно нулю),
момент силы относительно оси равен нулю, если сила параллельна оси, либо ее пересекает (т.е. если сила и ось лежат в одной плоскости).