Момент силы относительно точки
Рассмотрим силу ˉF(FX,FY,FZ), приложенную к твердому телу в точке А(x, y, z).
Очевидно, что сила стремится повернуть тело относительно начала координат. Это воздействие назовем моментом силы относительно точки О; оно характеризуется:
- величиной, пропорциональной как модулю силы, так и наименьшему расстоянию от линии действия силы до начала координат (это расстояние на рис.9 обозначено h и называется плечом силы ),
- положением в пространстве плоскости, в которой лежат векторы ˉF и OˉA (точнее, нормали к этой плоскости),
- направлением вращательного воздействия.
Сопоставим воздействию математическую модель в виде связанного с точкой О вектора, равного
ˉM0(ˉF)=OˉA×ˉF (5.а)
Очевидно, что принятая математическая модель учитывает все указанные выше характеристики моделируемого вращательного воздействия.
Если известны модуль силы ˉF и ее плечо относительно точки О, то модуль вектора момента может быть вычислен как:
M0(ˉF)=F⋅OA⋅sin(ˉF;OˉA)=F⋅h (5.б)
Момент силы относительно точки О может быть определен и через проекции соответствующих векторов на оси координатной системы, как
ˉM0⎛⎜⎝ˉF⎞⎟⎠=OˉA×ˉF=⎛⎜⎝ˉiˉjˉkxyzFXFYFZ⎞⎟⎠==ˉi(yFZ−zFY)+ˉj(zFX−xFZ)+ˉk(xFY−yFX)==ˉiMX+ˉjMY+ˉkMZ
(5.в)
Моменто силы относительно оси
Моментом силы относительно оси называется проекция на эту ось момента силы относительно любой точки оси.
В качестве примера разберем вычисление момента силы относительно оси z.
Сначала (см. рис. 10) разложим силу на две составляющие – вдоль оси z (ˉF1=ˉFZ) и перпендикулярную оси z (ˉF2=ˉFXY).
Поскольку состояние тела должно сохраняться при замене равнодействующей на ее составляющие, момент от равнодействующей может быть вычислен, как сумма моментов от ее составляющих, т.е.
Mz(ˉF)=Mz(ˉF1)+Mz(ˉF2) (6)
Заметим, что приведенное выше соображение в некоторых источниках носит название теоремы Вариньона.
Очевидно, что составляющая ˉF1=ˉFZ стремится сдвинуть тело вдоль оси z, не стремясь повернуть его вокруг оси z (т.е. ее момент относительно оси z равен нулю). Кратчайшее расстояние от линии действия составляющей ˉF2=ˉFXY до оси z есть h (см. рис. 3.2).
Таким образом,
MZ(ˉF)=MZ(ˉF2)=F2⋅h=xFY−yFX (7)
что совпадает с проекцией вектора момента на ось z в формуле (5.в).
Отметим следующие свойства момента силы
- момент силы относительно точки не меняется при переносе силы вдоль ее линии действия (т.к. не изменяется плечо силы),
- момент силы относительно точки равен нулю, если линия действия силы проходит через эту точку (т.к. плечо силы равно нулю),
- момент силы относительно оси равен нулю, если сила параллельна оси, либо ее пересекает (т.е. если сила и ось лежат в одной плоскости).