51. Дифференциальные уравнения плоскопараллельного движения твердого тела. Динамика

51. Дифференциальные уравнения плоскопараллельного движения твердого тела

Автор admin На чтение 9 мин Просмотров 1.8к.

В [3] было показано, что плоскопараллельное движение твердого тела эквивалентно движению плоской фигуры в ее плоскости. Последнее по методу полюса может быть разложено на переносное (поступательное движение вместе с кинематическими характеристиками точки, принятой за полюс), и относительное (вращение вокруг полюса). Первое из них определяется изменением во времени двух координат полюса, а второе – изменением во времени угла поворота. В задачах динамики в качестве полюса удобно выбирать центр масс тела С.

Для осуществления плоского движения свободного твердого тела необходимо выполнение следующих условий (см. формулы (28.а) и (43)): масса тела должна быть распределена симметрично относительно плоскости движения, проходящей через центр масс; начальные скорости точек тела должны быть расположены в плоскостях, параллельных плоскости движения; главный вектор внешних сил должен лежать в этой плоскости, а главный момент — быть перпендикулярным к ней.

Для несвободного тела движение может быть плоским и в силу наложенных на него связей.

Задачи динамики плоского движения тела аналогичны задачам динамики материальной точки: либо по заданным силам требуется найти законы изменения во времени координат полюса и угла поворота, либо найти силы, вызывающие заданное плоское движение твердого тела.

Пусть система координат $C x_{2} y_{2}$ , имеющая начало в центре масс тела, движется поступательно относительно неподвижной координатной системы $O_{1} x_{1} y_{1}$ . Систему координат $O x y$ жестко свяжем с телом $S$ (рис. 25).

Для описания поступательного движения тела применим теорему о движении центра масс; в проекциях на неподвижные оси получим

$M {¨ x}_{1 C} = n \sum k = 1 F_{k x_{1}}^{e} = V_{x_{1}}^{e};$

51. Дифференциальные уравнения плоскопараллельного движения твердого тела (44)

Дифференциальное уравнение вращения получим, применив теорему об изменении кинетического момента относительно оси $z$ , проходящей через центра масс С перпендикулярно плоскости движения. Тогда можно записать

$I_{z z} \frac{d ω}{d t} = I_{z z} \frac{d ¨ ϕ}{d t} = \sum_{k = 1}^{n} M_{k z С}^{e} (F_{k}^{e}) = M_{z С}^{e}$ . (45)

Уравнения (44) и (45) называются дифференциальными уравнениями плоскопараллельного (или плоского) движения твердого тела.

Если тело совершает несвободное движение, то в число действующих сил необходимо включить реакции связей ${\to R}_{k}$ .

В таком случае уравнения плоского движения примут вид

$M {¨ x}_{1 C} = \sum_{k = 1}^{n} F_{k x_{1}}^{e} + \sum_{k = 1}^{n} R_{k x 1}$ ;

$M {¨ y}_{1 C} = \sum_{k = 1}^{n} F_{k y_{1}}^{e} + \sum_{k = 1}^{n} R_{k y 1}$ ; (46)

$I_{z z} \frac{d ¨ ϕ}{d t} = \sum_{k = 1}^{n} M_{k z С}^{e} + \sum_{k = 1}^{n} M_{k z С}^{R}$ .

Для получения решения задачи систему дифференциальных уравнений (46) следует дополнить уравнениями связей, наложенных на механическую систему.

ПРИМЕР 19. Однородный тяжелый цилиндр радиусом $r$ отпущен без начальной скорости и катится без скольжения по плоскости, наклоненной под углом $α$ к горизонту. Найти уравнения движения цилиндра.

РЕШЕНИЕ. Цилиндр движется под действием сил тяжести $\to P = m \to g$ , трения (сцепления) ${\to F}^{T P}$ и нормальной реакции $\to N$ плоскости (см. рис.26).

Введем систему координат $O x y$ , начало О которой соответствует начальному положению центра масс С цилиндра. Запишем дифференциальные уравнения движения цилиндра:
$m {¨ x}_{C} = m g sin . α - F^{T P}$ ;
$m {¨ y}_{C} = N - m g cos . α$ ;
$\frac{m r^{2}}{2} ¨ ϕ = F^{T P} r$ .
Добавим к ним уравнения связей, наложенных на цилиндр. Во-первых, при его качении без отрыва от наклонной плоскости $y_{C} = c o n s t = 0$ , т.к. в процессе движения расстояние от центра масс С до наклонной плоскости не меняется и равно $r$ . Во-вторых, совпадение мгновенного центра скоростей цилиндра с точкой его контакта с неподвижной плоскостью позволяет связать скорость его центра масс с угловой скоростью вращения: $V_{C} = ω \cdot r$ или ${˙ x}_{C} = ˙ ϕ \cdot r$ .
Первое уравнение связи следует продифференцировать по времени дважды, второе – один раз. Решив полученную систему дифференциальных уравнений относительно ускорения центра масс, получим
${¨ x}_{C} = \frac{2}{3} g sin . α$ ; ${¨ y}_{C} = 0$ .
Интегрируя это выражение с учетом нулевых начальных условий, получим
$x_{C} = \frac{1}{3} g t^{2} sin . α$ ; $y_{C} = 0$ .
Замечание: можно выяснить, при каких значениях угла $α$ осуществляется предполагаемое выше движение — качение без скольжения. Для этого вычислим отношение
$\frac{F^{T P}}{N} = \frac{1}{3} \frac{m g sin . α}{m g cos . α} = \frac{1}{3} t g α$ .
Поскольку условие отсутствия скольжения есть $F^{T P} \leq f N$ (здесь $f$ — коэффициент трения скольжения), качение без скольжения будет иметь место при $t g α < 3 f$ .

ПРИМЕР 20. Для механической системы, изображенной на рис.27, и состоящей из груза 1, прикрепленного к земле пружиной, двух соосных (насаженных неподвижно на единую ось) блоков и однородного диска, составить замкнутую систему дифференциальных уравнений движения. Жесткость пружины $c_{1}$ , вес груза $P_{1}$ , вес блоков $P_{2}$ , их радиусы $R$ и $r$ , а так же осевой момент инерции $I_{2}$ , вес диска $P_{3}$ и его радиус $r_{3}$ известны.

РЕШЕНИЕ. Мысленно расчленим механическую систему на три тела (груз, соосные блоки и диск), приложив к каждому из тел соответствующие внешние силы (см.рис.27). Для описания движения тел зададим соответствующие оси координат и запишем дифференциальные уравнения движения.
Уравнение для первого груза: $\frac{P_{1}}{g} {¨ s}_{1} = P_{1} - F_{1 y} - T_{1}$ ;
уравнения для соосных блоков: $I_{2} {¨ ϕ}_{2} = T_{1} R - T_{2} r$ ; $0 = R_{x} + T_{2} cos . α$ ; $0 = R_{y} - T_{1} - T_{2} sin . α - P_{2}$ ;
уравнения для диска: $\frac{P_{3}}{g} {¨ s}_{3} = - P_{3} sin . α - F_{c} + T_{2}$ ;
$0 = N - P_{3} cos . α$ ; $I_{3} {¨ ϕ}_{3} = \frac{P_{3} r_{3}^{2}}{2 g} {¨ ϕ}_{3} = T_{2} r_{3} + F_{c} r_{3}$ .
Полагая, что в начале координат пружины были не напряжены, для силы упругости можно записать выражение $F_{1 y} = c_{1} s_{1}$ ;.
Уравнения кинематических связей будут:
$V_{1} = ω_{2} \cdot R$ или ${˙ s}_{1} = {˙ ϕ}_{2} \cdot R$ ;
$ω_{2} \cdot r = ω_{3} 2 r_{3}$ или ${˙ ϕ}_{2} \cdot r = {˙ ϕ}_{3} 2 r_{3}$ ;
$V_{3} = ω_{3} r_{3}$ или ${˙ s}_{3} = {˙ ϕ}_{3} r_{3}$ .
В итоге получена замкнутая система из одиннадцати уравнений с одиннадцатью неизвестными.

ПРИМЕР 21. Для механической системы, отличающейся от обсуждаемой в предыдущем примере упругостью одной из нитей (см. рис.28), получить замкнутую математическую модель для описания ее движения. Жесткость пружины $c_{2}$ так же является известной величиной.

РЕШЕНИЕ. Мысленно расчленим механическую систему на три тела (груз, соосные блоки и диск), приложив к каждому из тел соответствующие внешние силы (см.рис.28). Для описания движения тел зададим соответствующие оси координат и запишем дифференциальные уравнения движения. Очевидно, что они будут совпадать с полученными в предыдущем примере.
Полагая, что в начале координат пружины были не напряжены, дополнительно для силы упругости нити можно записать выражение $T_{2} = c_{2} (ϕ_{2} \cdot r - 2 s_{3})$ .
Уравнения кинематических связей не будут включать второго уравнения.
В итоге вновь получена замкнутая система из одиннадцати уравнений с одиннадцатью неизвестными.
Заметим, что рассмотренная механическая система обладает двумя степенями свободы, т.е. из четырех введенных координат независимыми являются только две.
Рассмотренный подход оказывается универсальным, так как позволяет решать задачи о движении механических систем, состоящих из любого числа тел и обладающих любым числом степеней свободы.