15. Трение нити о цилиндрическую поверхность. Формула Эйлера

Рассмотрим равновесие нити, прилегающей к неподвижному шероховатому цилиндру на дуге с углом $\alpha$ (см. рис. 37 ).

Пусть к одному из концов нити приложена сила Р. Какую наименьшую силу Q надо приложить к другому концу нити, что бы она оставалась в покое?

Выделим элемент нити длиной $dl=Rd\varphi$, обозначим действующие на него силы (см. рис. 37).

Запишем проекции на касательную и нормаль уравнения равновесия сил, действующих на элемент:

$\sum F_{\tau }=0=(T+dT)\cos .\frac{d}{\varphi }-T\cos .\frac{d}{\varphi }-d{F}_{ТР};$

$\sum F_n=0=(T+dT)\sin .\frac{d}{\varphi }+T\sin .\frac{d}{\varphi }-dN;$

Здесь T и (T+dT) — силы натяжения нити на правом и левом концах элемента, соответственно,

dN — сила нормального давления, приложенная со стороны цилиндра к элементу нити,

$d{F}_{ТР}$— сила трения элемента нити о поверхность цилиндра.

Отбросив величины высших порядков малости и учитывая малость угла $d\varphi$ (в этом случае $\sin .\frac{d}{\varphi }\approx \frac{d}{\varphi };\cos .\frac{d}{\varphi }\approx 1;$), решим систему уравнений относительно dT:

$dT=d{F}_{ТР}=f_{0}dN=f_{0}2T\frac{d}{\varphi }=f_{0}Td\varphi$

Разделив переменные и взяв определенные интегралы от левой и правой частей, получим:

${\int }_Q^P\frac{d}{T}=f_0{\int }_0^{\alpha }d\varphi ;$         ${Q-f_0\alpha }_{min}$ (20)

Выражение (20) называется формулой Эйлера.

Заметим, что величина наименьшей удерживающей силы Q не зависит от радиуса цилиндра.

Как и в задаче о покое груза на наклонной плоскости в рассматриваемой задаче можно определить наибольшее значение силы, при котором нить на цилиндрической поверхности остается в покое (для этого следует изменить направление силы трения на противоположное). Выполнив действия, аналогичные приведенным выше, получим

${Qf0\alpha }_0$ (21)

Тогда нить, прилегающая к шероховатой цилиндрической поверхности при действии на ее конец силы $P$, будет покоиться при любом значении ${Qmax}_{min}$.