Рассмотрим равновесие нити, прилегающей к неподвижному шероховатому цилиндру на дуге с углом α (см. рис. 37 ).
Пусть к одному из концов нити приложена сила Р. Какую наименьшую силу Q надо приложить к другому концу нити, что бы она оставалась в покое?
Выделим элемент нити длиной dl=Rdϕ, обозначим действующие на него силы (см. рис. 37).
Запишем проекции на касательную и нормаль уравнения равновесия сил, действующих на элемент:
∑Fτ=0=(T+dT)cosdϕ2−Tcosdϕ2−dFТР;
∑Fn=0=(T+dT)sindϕ2+Tsindϕ2−dN;
Здесь T и (T+dT) — силы натяжения нити на правом и левом концах элемента, соответственно,
dN — сила нормального давления, приложенная со стороны цилиндра к элементу нити,
dFТР— сила трения элемента нити о поверхность цилиндра.
Отбросив величины высших порядков малости и учитывая малость угла dϕ (в этом случае sindϕ2≈dϕ2;cosdϕ2≈1;), решим систему уравнений относительно dT:
dT=dFТР=f0dN=f02Tdϕ2=f0Tdϕ
Разделив переменные и взяв определенные интегралы от левой и правой частей, получим:
∫PQdTT=f0∫α0dϕ; Q−f0αmin (20)
Выражение (20) называется формулой Эйлера.
Заметим, что величина наименьшей удерживающей силы Q не зависит от радиуса цилиндра.
Как и в задаче о покое груза на наклонной плоскости в рассматриваемой задаче можно определить наибольшее значение силы, при котором нить на цилиндрической поверхности остается в покое (для этого следует изменить направление силы трения на противоположное). Выполнив действия, аналогичные приведенным выше, получим
Qf0αmax (21)
Тогда нить, прилегающая к шероховатой цилиндрической поверхности при действии на ее конец силы P, будет покоиться при любом значении Qmaxmin.
ПРИМЕР 11. В сказке о храбром портняжке имеется эпизод, в котором он доказывает великану свое превосходство в силе. Для этого портняжка обматывает могучий дуб прочным канатом, за один конец которого берется сам, а великану предлагает тянуть за другой конец каната. В описанных условиях великан как не старался, не мог перетянуть храброго (и, конечно, сообразительного!) портняжку. Рассчитайте угол охвата дерева канатом при условии, что сила натяжения каната портняжкой в 100 раз меньше силы, прикладываемой великаном.
РЕШЕНИЕ. Из формулы (20-9.3) получим выражение для угла α:
α=1f0lnQminP.
Тогда, при QminP и f0=0.5 для пенькового каната и дерева, получаем α=3π, что составляет полтора оборота.
Заметим, что при этом дуб не должен быть вырван силой тяги великана.