12. Равнодействующая распределенной нагрузки

Рассмотрим нагрузку, закон распределения q(x) которой вдоль оси абсцисс известен (рис. 29).

Выделим бесконечно малый элемент оси абсцисс длиной dx. Тогда элементарная сила, действующая на элемент dx, будет dQ = q(x) dx. Переходя в (11) и (13) от конечных сумм к бесконечным (т.е. к интегрированию) вычислим равнодействующую Q параллельных элементарных сил и абсциссу точки С ее приложения, как:

$Q={\int }_{x_1}^{x_2}q\left(x\right)dx$ (14)

$x_c=\frac{1}{Q}{\int }_{x_1}^{x_2}q\left(x\right)xdx$ (15)

здесь $x_1$ и $x_2$ — координаты начала и конца приложения распределенной нагрузки.

В качестве примера вычислим величину и координату точки приложения равнодействующей для нагрузки, возрастающей от нуля до q по линейному закону и действующей на прямолинейную балку длиной $l$:

$Q={\int }_0^l\frac{q}{x}dx=\frac{q}{l}$

$x_c=\frac{1}{Q}{\int }_0^l\frac{q}{x}xdx=\frac{2}{l}$

Не трудно убедиться, что если интенсивность $q$ распределенной нагрузки вдоль балки не изменяется, то

$Q=ql;$ $x_c=\frac{l}{2}$

Если нагрузка распределена вдоль некоторой пространственной кривой, интегралы в формулах (14) и (15), во-первых, записываются как криволинейные, и, во-вторых, формулы, аналогичные (15), должны быть записаны для каждой из координат пространства. Заметим, что в этом случае центр элементарных параллельных сил может лежать и не на самой кривой (например, при действии параллельной равномерно распределенной нагрузки на кольцо равнодействующая приложена вне кольца — в его центре).

Рассуждая аналогично, можно получить формулы для расчета равнодействующей и точки ее приложения для параллельной нагрузки, распределенной по поверхности (в частном случае – по плоскости). Случай распределения нагрузки по объему рассмотрен в следующем пункте.