Метод кинетостатики, обсужденный ранее, позволяет обобщить принцип возможных перемещений на случай движения любой механической системы.
Рассмотрим несвободную механическую систему изn материальных точек Mk (k=1,2,...,n), подчиненную идеальным связям. Согласно принципу Даламбера – Лагранжа, если к материальным точкам механической системы добавить их силы инерции, можно считать, что система сил уравновешена, то есть
→Fak+→Nk+→Фk=0 ; k=1,2,...,n, (22)
где →Fak — равнодействующая активных сил, приложенных к k -ой точке системы, →Nk — равнодействующая реакций связей, а →Фk=−m−→Wk— сила инерции.
Определим из (22) равнодействующую реакций связей
→Nk=−(→Fak+→Фk). (23)
Сообщим точкам системы возможные перемещения δ→rk, умножим обе части уравнения (23) на δ→rk и просуммируем левые и правые части по индексу k. Поскольку связи идеальные, то ∑nk=1→Nk⋅δ→rk=0. (24) Тогда ∑nk=1(→Fak+→Фk)δ→rk=0 или ∑nk=1(→Fak−m−→Wk)δ→rk=0. (25)
Уравнение (25), называемое общим уравнением динамики, является математической записью принципа Даламбера-Лагранжа: при движении механической системы, подчиненной идеальным связям, сумма работ активных сил и сил инерции на возможных перемещениях точек системы равна нулю. Название обусловлено тем, что из (25) можно вывести уравнения равновесия и общие теоремы механики.
В том случае, когда возможные перемещения точек механической системы можно выразить через независимые возможные перемещения (на механическую систему наложены геометрические связи), принцип Даламбера – Лагранжа может быть применен для каждого из этих перемещений. Очевидно, что в силу этой независимости количество выражений, аналогичных (25), будет равно числу степеней свободы механической системы.
Уравнение (25) справедливо и для систем с неидеальными связями. В этом случае следует включить силы реакций неидеальных связей в число задаваемых сил; эти силы должны быть рассчитаны предварительно каким-либо образом (например, используя уравнение равновесия, как это было сделано при решении примера 6, либо – общие теоремы механики, как это сделано ниже при решении примера ??? из лекции 5; возможно и экспериментальное получение этих реакций).
ПРИМЕР 7. Механическая система (см. рис.10), состоящая из двух соосных (насаженных неподвижно на единую ось) блоков, груза, прикрепленного к неподвижному основанию пружиной и однородного колеса, расположенного на наклонной плоскости и связанного с неподвижным основанием демпфером, приводится в движение из положения статического равновесия. Зная жесткость пружины c, веса грузов, радиусы блоков, осевой момент инерции блока I, составить дифференциальное уравнение движения груза.
РЕШЕНИЕ. На рис.10 изображена механическая система, внешние силы, на нее действующие, а так же силы и момент сил инерции.
Дадим системе возможное перемещение. Составим выражение суммы работ всех этих усилий на соответствующих возможных перемещениях и приравняем его к нулю. Тогда δA=P1δs1−Fуδs1−Ф1δs1−Мин2δϕ2−P3sinαδs3−−Fсопрδs3−Ф3δs3−Mин3δϕ3=0
где Ф1=P1g¨s1 , Ф2=P2g¨s2, Mин2=I¨ϕ2 и Mин3=I3¨ϕ3=P3r232g¨ϕ3 -силы и момент сил инерции, приложенные к соответствующим телам, Fсопр=b˙s2 — сила вязкого сопротивления демпфера, Fу=c(s1+Δ) — сила
упругости пружины, где Δ — удлинение пружины в положении статического равновесия механической системы.
Замечание: осевой момент инерции однородного колеса I3=P3r232g .
Запишем уравнения кинематических связей, полагая нити нерастяжимыми, а проскальзывание между колесом и наклонной плоскостью отсутствующим. Тогда:
V1=ω2R; ω2r=ω32r3; V3=ω3r3.
В силу голономности и стационарности связей системы,
δϕ2δs1=ω2V1=rR; δϕ2δϕ3=ω2ω3=2r3r; δϕ3δs3=ω3V3=1r3 .
Из выражения для суммы работ вынесем δs1 за скобки, выражение в скобках приравняем к нулю. Соотношения между ускорением груза, ускорением и угловым ускорением колеса и угловым ускорением блоков аналогичны приведенным выше (они получаются дифференцированием по времени уравнений кинематических связей). Выразим теперь кинематические характеристики в уравнении для суммы работ через скорость и ускорение груза. После несложных преобразований и учета условия статического равновесия (см. решение примера 17 из лекции 6), получим дифференциальное уравнение колебаний системы около положения статического равновесия при наличии линейно-вязкого сопротивления:
¨s1(P1g+IR2+3P3r28gR2)+˙s1br2R2+s1⋅c=0 .
Для получения решения уравнения необходимо задать начальные условия.
Замечания: — если есть необходимость получить дифференциальное уравнение движения другого тела системы следует воспользоваться уравнениями кинематических связей;
— алгоритм получения дифференциального уравнения не отличается от алгоритма получения уравнения равновесия; наличие сил, зависящих от кинематических характеристик, обуславливает различие структур этих уравнений.
ПРИМЕР 8 (задача 48.26 из [2]). Однородная нить, к концу которой привязан груз А массы M, огибает неподвижный блок В, охватывает подвижный блок С, поднимается вверх на неподвижный блок D и проходит параллельно горизонтальной плоскости, где к ее концу привязан груз E массы M. К оси подвижного блока C подвешен груз К массы M1 (см. рис.11). Коэффициент трения скольжения груза E о горизонтальную плоскость f. При каком условии груз К будет опускаться вниз, если начальные скорости всех грузов равнялись нулю? Найти ускорение груза К. Массами блоков и нити пренебречь.
РЕШЕНИЕ. Рассматриваемая механическая система отличается от системы, рассмотренной в примере 6, индексами масс грузов. Она обладает двумя степенями свободы. Выберем в качестве независимых обобщенных координат горизонтальное перемещение x груза Е и вертикальный подъем y груза А. Тогда, в силу нерастяжимости нити, опускание по вертикали z центра блока С (и груза К) будет зависеть от выбранных обобщенных координат.
Уравнение связей для рассматриваемой задачи было получено в примере 6:
VK=VA+VE2=˙x+˙y2=˙z .
В этом случае возможные перемещения (а так же ускорения) относятся между собой как соответствующие скорости, т.е.
δz=δx+δy2 , ¨z=¨x+¨y2 .
Добавим к внешним силам, действующим на механическую систему, силы инерции
FE=M¨x; FA=M¨y; FK=M1¨z (см. рис.11); отсутствие в данном примере моментов сил инерции обусловлено неподвижностью блоков В и D, а так же безмассовостью блока С.
Дадим системе возможное перемещение, обусловленное изменением обобщенной координаты x, оставив при этом другую обобщенную координату y без изменения, т.е. δx≠0;δy=0.
При этом у системы остается как бы только одна степень свободы. Составим выражение для суммы работ всех сил на возможных перемещениях точек их приложения и приравняем ее к нулю:
δAx=−Fδx+M1gδz−FEδx−FKδz=0 .
При δy=0 возможное перемещение δz=δx2. Силу трения рассчитаем предварительно как F=fN=fMg и отнесем к активным силам. С учетом этого выражение для работы на возможном перемещении δx≠0 будет
δAx=δx(−fMg+M1g/2−M¨x−M1(¨x+¨y)/4)=0.
Выражение в круглых скобках есть первое дифференциальное уравнение движения механической системы, соответствующее возможному перемещению по первой обобщенной координате:
g(−fM+M1/2)=¨x(M+M1/4)+¨yM1/4.
Дадим системе возможное перемещение, обусловленное изменением обобщенной координаты y; при этом другую координату x оставим без изменения, т.е. δx=0;δy≠0.
Составим сумму работ всех сил на возможных перемещениях точек системы и приравняем ее к нулю:
δAy=−Mgδy+M1gδz−FAδy−FKδz=0.
При δx=0 возможное перемещение δz=δy2.
С учетом этого выражение для работы на втором возможном перемещении будет
δAy=δy((−M+M1/2)g−M¨y−M1(¨x+¨y)/4)=0.
Выражение в круглых скобках есть второе дифференциальное уравнение движения механической системы, соответствующее возможному перемещению по второй обобщенной координате:
g(−M+M1/2)=M1¨x+(M+M1/4)¨y.
Сложим полученные дифференциальные уравнения и результат разделим на 2. Тогда
¨z=¨x+¨y2=gM1−M(1+f)M1+2M .
Анализ полученного выражения показывает, что груз К движется вниз при M1>M(1+f).
Замечание: в случае движения системы с несколькими степенями свободы придется составить соответствующее число дифференциальных уравнений; в общем случае будет получена замкнутая система связанных дифференциальных уравнений второго порядка. Алгоритм получения каждого из уравнений остается прежним.