48. Теорема об изменении кинетического момента относительно неподвижного центра

Рассмотрим механическую систему из n материальных точек с массами mk , радиусы – векторы, скорости и ускорения которых в инерциальной системе отсчета с центром О равны rk, Vk=˙rk и Wk=˙Vk=¨rk, k=1,2,...,n, соответственно.

Выражение (23) умножим векторно на rk слева

rk×mkWk=rk×Fek+rk×Fik и просуммируем для всех точек механической системы. Получим

nk=1rk×mkWk=nk=1rk×Fek+nk=1rk×Fik .

Первое слагаемое в правой части представляет собой главный момент nk=1rk×Fek=MeO внешних сил, действующих на точки механической системы, вычисленный относительно неподвижного центра О. Второе слагаемое nk=1rk×Fik=MiO=0 было рассмотрено выше; оно представляет собой равный нулю главный момент внутренних сил. Стоящая в левой части равенства сумма преобразуется к виду

nk=1rk×mkWk=nk=1mkddt..(rk×Vk)=ddt..nk=1mkrk×Vk=dKOdt.. .

Окончательно получится следующий результат

dKOdt..=MeO , (36)

являющийся математической записью теоремы об изменении кинетического момента механической системы относительно неподвижного центра О: производная по времени от кинетического момента механической системы, вычисленного относительно неподвижного центра, равна главному моменту внешних сил относительно этого центра.

Проецируя (36) на оси декартовой координатной системы Oxyz, получим

dKxdt..=Mex , dKydt..=Mey , dKzdt..=Mez . (37)

Из формулы (36) следует, что если главный момент внешних сил окажется равным нулю, то на рассматриваемом интервале времени кинетический момент механической системы не изменяется.

Если окажется, что равна нулю проекция на какую-либо координатную ось главного момента внешних сил, то будет постоянной проекция на эту ось вектора кинетического момента механической системы.

ПРИМЕР 16 (задача 37.52 из [2]). Круглая горизонтальная платформа (см. рис.21) может вращаться без трения вокруг неподвижной вертикальной оси z, проходящей через ее центр О; по платформе на неизменном расстоянии от оси z, равном r, идет с постоянной относительной скоростью U человек, масса которого равна m1. С какой угловой скоростью ω будет при этом вращаться платформа вокруг оси, если массу ее m2 можно считать равномерно распределенной по площади круга радиуса R, а в начальный момент платформа и человек имели скорость, равную нулю.

РЕШЕНИЕ. Нанесем на рисунок внешние силы, действующие на механическую систему, включающую платформу и человека; — ими являются силы веса и опорные реакции в подшипниках. Все эти силы не создают моментов относительно оси вращения.
В таком случае
dKzdt..=Mez=0
и проекция кинетического момента механической системы на ось вращения должна сохранять свою величину неизменной. Запишем соответствующее выражение и приравняем его к нулю, так как в начальный момент времени механическая система покоилась:
Kz=Iω+m1Vr=0.5m2R2ω+m1(U+ωr)r=0
Полученное уравнение позволяет найти угловую скорость платформы:
ω=m1Ur0.5m2R2+m1r2.. .
Знак «минус» показывает, что платформа начинает вращение в направлении, противоположном движению человека.
Заметим, что решение аналогично выполненному в примере 9.

ПРИМЕР 17 (задача 37.58 из [2]). Тележка поворотного подъемного крана движется с постоянной скоростью V относительно стрелы (см. рис.22).

Мотор, вращающий кран, создает в период разгона постоянный момент, равный Mbp.
Определить угловую скорость ω вращения крана в зависимости от расстояния x тележки до оси вращения АВ, если масса тележки с грузом равна m, I — момент инерции крана (без тележки) относительно оси вращения; вращение начинается в момент, когда тележка находилась на расстоянии x0от оси АВ.

РЕШЕНИЕ. Рассмотрим механическую систему, состоящую из поворотного крана и тележки. Внешними усилиями, действующими на нее, являются силы веса, силы реакций в опорных подшипниках А и В, момент Mbp, поворачивающий кран. Заметим, что все перечисленные силы не создают моментов относительно оси вращения, так как либо параллельны ей либо ее пересекают.
Составим для рассматриваемой механической системы последнее выражение из (2.20):
dKzdt..=Mez=Mbp=const.
Разделим переменные и выполним интегрирование. Тогда
KzK0z=Mbpt , где K0z=0.
Составим выражение для кинетического момента системы
Kz=Iω+mx2ω , выразим время t через скорость движения тележки V и ее перемещение вдоль стрелы крана как t=xx0V.. и учтем эти выражения в результатах интегрирования. Окончательно получим
ω=Mbp(xx0)V(I+mx2).. .

Оцените
Добавить комментарий