21. Связь кинематических характеристик при различных способах задания положения точки. Кинематика несвободной точки. Кинематика

21. Связь кинематических характеристик при различных способах задания положения точки. Кинематика несвободной точки

Автор admin На чтение 12 мин Просмотров 2.7к.

В качестве примера разберем переход от задания положения точки в декартовой координатной системе к ее заданию в естественной координатной системе, а так же выведем формулы связи между соответствующими кинематическими характеристиками.

Пусть заданы уравнения движения точки в декартовой координатной системе $x = x (t), y = y (t), z = z (t)$ . Как уже говорилось выше, будем полагать эти функции дважды дифференцируемыми по времени.

Записанные уравнения могут быть трактованы как уравнения траектории точки в параметрической форме. Если удается исключить из этих уравнений время $t$ , то комбинации любых двух полученных соотношений $f_{1} (x, y) = 0; f_{2} (x, z) = 0; f_{3} (y, z) = 0$ задают траекторию движения точки явно как линию пересечения соответствующих поверхностей.

Для траектории движения, расположенной в одной плоскости (ее всегда можно совместить с плоскостью $x, y$ ), достаточно записать первые два уравнения либо получить $f_{1} (x, y) = 0$ .

Координаты точки начала движения получаются подстановкой начального времени (обычно $t = 0$ ) в уравнения движения, а анализ изменения координат с ростом параметра $t$ определяет положительность или отрицательность направления движения вдоль траектории.

Теперь получим зависимость криволинейной координаты от времени. Для этого воспользуемся формулами для вычисления скорости точки в декартовой и естественной координатных системах:

$V = \sqrt{{˙ x}^{2} + {˙ y}^{2} + {˙ z}^{2}} = \frac{d s}{d t}$ (34)

Разделим переменные и возьмем интегралы от правой и левой частей равенства. Получим

$\int_{0}^{s} d s = s = \int_{0}^{t} \sqrt{{˙ x}^{2} + {˙ y}^{2} + {˙ z}^{2}} d t$ (35)

ПРИМЕР 16. По заданным уравнениям движения точки на плоскости
$x = 4 t$ ; $y = 8 t^{2} - 3$
найти ее траекторию, указать начало движения, его положительное направление, а так же получить закон изменения во времени криволинейной координаты точки.

РЕШЕНИЕ. Исключим время из уравнений движения точки, выразив время $t$ из первого уравнения и подставив его во второе уравнение. Получим уравнение параболы $y = 0.5 x^{2} - 3$ . Так как время не может быть отрицательным ( $t \geq 0$ ), траектория точки – правая ветвь параболы (см. рис.48).

Подставив $t = 0$ в уравнения движения, получим координаты точки начала движения:
$x (0) = 0$ ; $y (0) = - 3$ .
Анализ изменения координат при возрастании времени показывает, что и абсцисса и ордината точки возрастают; что соответствует движению точки от начального положения вправо вверх (на рисунке положительное направление движения указано стрелкой).
Для получения закона изменения криволинейной координаты от времени сначала найдем выражения для соответствующих проекций скорости $˙ x = 4$ ; $˙ y = 16 t$ , а затем воспользуемся соотношением (2.4). Тогда
$s = \int_{0}^{t} \sqrt{{˙ x}^{2} + {^{2}}^{2}} d t = \int_{0}^{t} \sqrt{16 + 256 t^{2}} d t = \int_{0}^{t} \sqrt{1 + (4 t)^{2}} d (4 t) = .$ $= \frac{1}{2} [4 t \sqrt{(4 t)^{2} + 1} + ln . (4 t + \sqrt{(4 t)^{2} + 1})]$ .

ПРИМЕР 17. По заданным уравнениям движения точки на плоскости
$x = 4 sin . π t^{2} - 2 (с м)$ ; $y = 4 cos . π t^{2} (с м)$
найти ее траекторию, указать начало движения и его положительное направление, а так же записать закон изменения во времени криволинейной координаты точки.

РЕШЕНИЕ. Для исключения времени из уравнений движения воспользуемся известным тригонометрическим соотношением ${sin}^{2} . α + {cos}^{2} . α = 1$ . В этом случае уравнение траектории будет иметь вид $(x + 2)^{2} + y^{2} = 4^{2}$ (окружность радиуса 4 см, сдвинутая на 2 см вдоль оси абсцисс влево, изображена на рис.49).

Подставив $t = 0$ в уравнения движения, получим координаты точки начала движения:
$x (0) = - 2$ ; $y (0) = 4$ .
Анализ изменения координат при возрастании времени показывает, что абсцисса точки возрастает, а ордината убывает; что соответствует движению точки от начального положения вправо вниз (на рисунке положительное направление движения указано стрелкой).
Для получения закона изменения криволинейной координаты от времени сначала найдем выражения для соответствующих проекций скорости $˙ x = 8 π t cos . π t^{2}$ ; $˙ y = - 8 π t sin . π t^{2}$ , а затем воспользуемся соотношением (6.4). Тогда
$s = \int_{0}^{t} \sqrt{{˙ x}^{2} + {^{2}}^{2}} d t = \int_{0}^{t} \sqrt{64 π^{2} t^{2} ({cos}^{2} . π t + {sin}^{2} . π t)} d t = 8 π t \int_{0}^{t} d t = 4 π t^{2}$ .
Формула (2.4) показывает связь между вычислением скорости точки в декартовой и естественной координатных системах
$V = \sqrt{{˙ x}^{2} + {˙ y}^{2} + {˙ z}^{2}} = \frac{d s}{d t}$ .
Для получения связи между вычислением ускорения точки в указанных координатных системах запишем формулы для его касательной и нормальной составляющих ускорения через проекции скорости и ускорения на оси декартовой координатной системы:
$W_{τ} = \frac{d V}{d t} = \to τ \cdot - \to W = \frac{\to V}{V} \cdot - \to W = \frac{˙ x ¨ x + ˙ y ¨ y + ˙ z ¨ z}{\sqrt{{˙ x}^{2} + {˙ y}^{2} + {˙ z}^{2}}}$ (36)
$W_{n} = \frac{V^{2}}{ρ} = \sqrt{W^{2} - W_{τ}^{2}} = \sqrt{\frac{(˙ x ¨ y - ˙ y ¨ x)^{2} + (˙ x ¨ z - ˙ z ¨ x)^{2} + (˙ y ¨ z - ˙ z ¨ y)^{2}}{{˙ x}^{2} + {˙ y}^{2} + {˙ z}^{2}}}$
(37)
Радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке может быть вычислен как
$ρ = \frac{V^{2}}{W_{n}} = \frac{({˙ x}^{2} + {˙ y}^{2} + {˙ z}^{2})^{\frac{3}{2}}}{{[(˙ x ¨ y - ˙ y ¨ x) 2 + (˙ x ¨ z - ˙ z ¨ x) 2 + (˙ y ¨ z - ˙ z ¨ y) 2]}^{\frac{1}{2}}}$ (38)

ПРИМЕР 18. Продолжить решение предыдущего примера, определив положение точки М и вычислив в декартовой и естественной координатных системах ее скорость и ускорение в момент времени $t = 0, 5 с е к$ .

РЕШЕНИЕ. Для определения положения точки М подставим $t = 0, 5 с е к$ в уравнения движения точки:
$x (0.5) = 4 sin . π t^{2} - 2 = 2 (\sqrt{2} - 1) (с м);$ ; $y (0.5) = 4 cos . π t^{2} = 2 \sqrt{2} (с м)$ .
Теперь вычислим проекции скорости и ускорения точки М в декартовой координатной системе, взяв соответствующие производные по времени от уравнений движения точки и подставив в них время $t = 0, 5 с е к$ . Тогда получим:
$V_{x} = ˙ x = 8 π t cos . π t^{2} = 2 π \sqrt{2} (с м / с е к);$ $V_{y} = ˙ y = - 8 π t sin . π t^{2} = - 2 π \sqrt{2} (с м / с е к);$
$V = \sqrt{{˙ x}^{2} + {˙ y}^{2}} = 4 π (с м / с е к);$
$W_{x} = ¨ x = 8 π cos . π t^{2} - 16 π^{2} t^{2} sin . π t^{2} = - 2 π \sqrt{2} (π - 2) (с м / с е к^{2});$
$W_{y} = ¨ y = - 8 π sin . π t^{2} - 16 π^{2} t^{2} cos . π t^{2} = - 2 π \sqrt{2} (2 + π) (с м / с е к^{2});$
$W = \sqrt{{¨ x}^{2} + {¨ y}^{2}} = 4 π \sqrt{4 + π^{2}} (с м / с е к^{2})$ .
Все вычисленные характеристики нанесены на рис.50.

Для определения положения точки М на окружности подставим $t = 0, 5 с е к$ в закон изменения криволинейной координаты:
$s = 4 π t^{2} = π (с м)$ .
Поскольку длина окружности радиуса $ρ = 4 (с м)$ будет $L = 2 π R = 8 π (с м)$ , то точка М за указанное время прошла в положительном направлении одну восьмую часть окружности.
Теперь вычислим скорость и проекции ускорения точки на оси естественной координатной системы, взяв соответствующие производные от полученного выше закона изменения криволинейной координаты $s = 4 π t^{2}$ :
$W_{τ} = \frac{d V}{d t} = 8 π (с м / с е к^{2});$ $W_{n} = \frac{V^{2}}{ρ} = 4 π^{2} (с м / с е к^{2});$
$W = \sqrt{W_{τ}^{2} + W_{n}^{2}} = 4 π \sqrt{4 + π^{2}} (с м / с е к^{2})$ .
При желании можно убедиться, что вычисления по формулам (36, 37 и 38) совпадают с полученными результатами.
Все вычисленные кинематические характеристики так же нанесены на рис.50.

ПРИМЕР 19. Продолжить решение примера 16, определив положение точки М и вычислив в декартовой и естественной координатных системах ее скорость и ускорение в момент времени $t = 0, 75 с е к$ .

РЕШЕНИЕ. Для определения положения точки М в декартовой координатной системе подставим $t = 0, 75 с е к$ в уравнения движения точки:
$x (0.75) = 4 t = 3 (с м)$ ; $y (0.75) = 8 t^{2} - 3 = 1.5 (с м)$ .
Теперь вычислим проекции скорости и ускорения точки М, взяв соответствующие производные по времени от уравнений движения точки и подставив в них время $t = 0, 75 с е к$ . Тогда получим:
$V_{x} = ˙ x = 4 (с м / с е к);$ $V_{y} = ˙ y = 16 t = 12 (с м / с е к);$
$V = \sqrt{{˙ x}^{2} + {˙ y}^{2}} = 4 \sqrt{10} (с м / с е к);$
$W_{x} = ¨ x = 0 (с м / с е к^{2});$ $W_{y} = ¨ y = 16 (с м / с е к^{2});$
$W = \sqrt{{¨ x}^{2} + {¨ y}^{2}} = 16 (с м / с е к^{2})$ .
Для вычисления касательной и нормальной проекций ускорения и радиуса кривизны траектории в точке М воспользуемся формулами (36, 37 и 38). В случае движения точки по плоскости формулы примут более простой вид:
$W_{τ} = \frac{˙ x ¨ x + ˙ y ¨ y}{\sqrt{{˙ x}^{2} + {˙ y}^{2}}} = 4.8 \sqrt{10} (с м / с е к^{2})$ ;
$W_{n} = \frac{˙ x ¨ y - ˙ y ¨ x}{\sqrt{{˙ x}^{2} + {˙ y}^{2}}} = 1.6 \sqrt{10} (с м / с е к^{2})$ ;
$ρ = \frac{V^{2}}{W_{n}} = 10 \sqrt{10} (с м)$ .
Все вычисленные характеристики нанесены на рис.51.