В этом случае следует выбрать координатную систему, нанести на чертеж точку с действующими на нее силами и записать дифференциальные уравнения движения в выбранной координатной системе. Полученную систему из трех (в общем случае – совместных) дифференциальных уравнений второго порядка следует дважды проинтегрировать. При этом необходимо ввести шесть постоянных интегрирования. Они могут быть определены, если известны, например, положение и скорость точки в начальный момент времени. В таком случае, если говорить языком математики, решается задача Коши (начальная задача, эволюционная задача).
Выбор начального момента времени определяется соображениями удобства решения; при этом начальные условия отражают влияние на движение точки сил, действовавших до избранного начального момента времени. Поэтому в зависимости от начальных условий под действием одной и той же совокупности сил точка может совершать различные движения.
Определение постоянных интегрирования может быть выполнено и в том случае, если для двух моментов времени известны положения точки. В такой постановке прямая задача динамики точки решается как краевая. Заметим, что краевая задача, в отличие от начальной, может иметь неоднозначное решение.
В случае движения точки по поверхности (положение задается двумя обобщенными координатами) число постоянных интегрирования сокращается до четырех; при движении вдоль заданной линии – до двух.
В тех случаях, когда в дифференциальном уравнении возможно разделение переменных с последующим приведением его правой и левой частей к табличным подинтегральным выражениям, интегрирование позволяет получить аналитические зависимости между параметрами движения.
В некоторых задачах на основании имеемого опыта можно предположить вид искомого решения. Проверка такого предположения осуществляется его подстановкой в исходное дифференциальное уравнение. Очевидно, что при выполнении последнего предполагаемое решение является правильным; в противном случае следует искать другой вид решения.
При невозможности получения решения в форме аналитических зависимостей могут быть сделаны некоторые предположения, позволяющие получить приближенные зависимости. Естественно, что точность полученных решений будет зависеть от корректности принятых допущений.
Если получение параметров движения в аналитической форме не представляется возможным, следует использовать численное моделирование процесса движения. Результаты расчетов сводятся в таблицы либо по ним строятся соответствующие графики.
ПРИМЕР 3. Подводный аппарат (ПА), получив небольшую отрицательную плавучестьp, начинает погружаться по вертикали. Зная массу ПА m и присоединенную массу жидкости при его движении по вертикали λ, найти зависимость глубины погружения от времени. Силу вязкого сопротивления воды при малых скоростях движения полагать пропорциональной первой степени скорости (коэффициент пропорциональности n).
РЕШЕНИЕ. На ПА при его поступательном движении по вертикали действуют вес →G, архимедова сила поддержания →FA и сила сопротивления →FC=−n→V (см. рис. 4).
Запишем дифференциальное уравнение движения ПА по вертикали:
(m+λ)dVdt=G−FA−FC=p−nV.
Разделим переменные и выполним интегрирование левой и правой частей равенства:
∫m+λp−nVdV+C1=∫dt, тогда
−m+λnln|p−nV|+C1=t .
Для определения постоянной интегрирования C1используем второе из начальных условий: при t=0; z=0; V0=0,
C1=m+λnln|p|.
С учетом этого найдем ln∣∣pp−nV∣∣=ntm+λ .
Отсюда следует, что
V=pn(1−e−nm+λt) .
Заметим, что с увеличением времени скорость погружения стремиться к значению Vmax.
Учитывая, что V=dzdt, разделим переменные в полученном для Vуравнении и выполним интегрирование:
z=pnt+p(m+λ)n2e−nm+λt+C2 .
Постоянную интегрирования C2найдем из первого начального условия
C2=−m+λn2p.
Окончательное выражение для z примет вид
z=pn[t−m+λn(1−e−nm+λt)] .
Полученная зависимость изображена на рис.5. Уравнение прямой к которой приближается с ростом времени найденное решение
z*=pn(t−m+λn) .
ПРИМЕР 4. Судно движется по прямой с постоянной скоростью V0. В некоторый момент времени двигатель судна был остановлен. Определить время t*, за которое скорость движения уменьшилась до величины V1, а так же путь S, который пройдет судно за это время. Известно, что масса судна (вместе с присоединенной массой жидкости) m, а сила вязкого сопротивления воды →FC=−kV⋅→V, где k — заданный эмпирический коэффициент, а V=∣∣∣→V∣∣∣.
РЕШЕНИЕ. На рисунке 6 изображено судно с действующей на него силой сопротивления воды.
Составим дифференциальное уравнение движения судна вдоль оси x:
mdVdt=−kV2.
Разделим переменные и возьмем определенные интегралы от левой и правой частей уравнения:
−mk∫V1V0dVV2=∫t*0dt , тогда
t*=mk(1V1−1V0) .
Для определения пройденного пути перейдем в исходном дифференциальном уравнении к переменной x. Для этого воспользуемся заменой dVdt=dVdxdxdt=dVdxV .
Тогда исходное уравнение можно записать как
mdVdxV=−kV2.
Разделим переменные и возьмем определенные интегралы от обеих частей уравнения:
−mk∫V1V0dVV=∫S0dx . Тогда S=mkln∣∣V0V1∣∣ .
ПРИМЕР 5. В результате воздушного взрыва корабль получил вертикальную скорость v0. Найти период и амплитуду вертикальной качки корабля, если известны площадь его ватерлинии S, водоизмещение D и присоединенная масса жидкости в вертикальном направлении λ. Развалом бортов и сопротивлением воды пренебречь.
РЕШЕНИЕ. Обозначим вертикальное перемещение корабля y (см.рис.7).
Запишем дифференциальное уравнение вертикальных колебаний корабля, спроецировав на вертикаль силы, на него действующие (сила веса и архимедова сила поддержания): (Dg+λ)¨y=−Fарх+D=−γ(V0+Sy)+D=−γSy;
где γ — удельный вес воды, V0— объем подводной части корабля в равновесном состоянии.
При записи уравнения учтено, что в равновесном положении водоизмещение корабля и сила поддержания равны и противоположно направлены.
Приведем полученное уравнение к виду
¨y+k2y=0 , здесь k2=γSgD+gλ .
Будем предполагать, что решение должно иметь вид гармонических колебаний
y=Asin(ωt+α), где A, ω и α — неизвестные амплитуда, частота и начальная фаза.
Если наше предположение верно, то оно не должно нарушить исходное дифференциальное уравнение. Найдем выражение для ¨y и подставим выражения для ¨y и yв исходное дифференциальное уравнение. Тогда
Asin(ωt+α)(−ω2+k2)=0.
Равенство имеет место при ω=±k. Это означает, что сделанное предположение о гармонических колебаниях верно при любых амплитуде и начальной фазе, если частота гармонических колебаний k=√γSgD+gλ .
Зная частоту, найдем период вертикальных колебаний T=2πk=2π√D+gλγSg .
Запишем выражение для скорости колебательного движения
v=˙y=Aωcos(ωt+α).
Подставив в выражения для y и ˙y начальные условия, получим систему уравнений, позволяющих найти амплитуду и начальную фазу вертикальных колебаний как
A=v0k=v0√D+gλγSg; α=arctg0=0.
При решении прямой задачи динамики для несвободной материальной точки часть действующих на нее сил, а именно все реакции связей, заранее не известны. Если их необходимо определить, то в процессе решения задачи следует воспользоваться уравнениями связей. Дифференциальные уравнения и уравнения связей должны образовать замкнутую систему (число неизвестных равно числу уравнений); при этом уравнения записываются в той координатной системе, которая наиболее удобна. В общей постановке задача достаточно сложна (см., например [ 1 ]) и в рамках настоящего курса ее решение не обсуждается.
В некоторых случаях, когда рациональный выбор координатной системы позволяет исключить неизвестные реакции из дифференциального уравнения, решение задачи существенно упрощается. Так, для математического маятника (рис.8) использование естественной координатной системы и угла отклонения ϕ в качестве обобщенной координаты позволяет получить систему дифференциальных уравнений, в которой неизвестная сила натяжения нити входит только во второе уравнение системы
mWτ=ml¨ϕ=−mgsinϕ ;
mWn=ml˙ϕ2=N−mgcosϕ .
Отмеченная особенность позволяет сначала решить первое уравнение и определить закон движения маятника, а затем воспользоваться вторым уравнением для определения силы Nнатяжения нити.