60. Принцип возможных перемещений. Динамика

Докажем принцип возможных перемещений: в случае равенства нулю суммы работ активных (задаваемых) сил на любом возможном перемещении система с идеальными связями находится в равновесии.

Обозначим равнодействующую всех активных сил и равнодействующую всех реакций связей, действующих на $k$ -ую точку механической системы, соответственно ${\to F}_{k}^{a}$ и ${\to N}_{k}$ . Тогда, поскольку каждая из точек системы должна находится в равновесии, ${\to F}_{k}^{a} + {\to N}_{k} = 0$ . Умножив это равенство скалярно на $δ {\to r}_{k}$ и просуммировав работы на возможных перемещениях для всех точек механической системы, получим:

$\sum δ A_{k}^{a} + \sum δ A_{k}^{p} = 0$ .

Для системы с идеальными связями второе слагаемое должно быть равно нулю. В таком случае так же должно быть равно нулю и первое слагаемое, т.е.

$δ A^{a} = \sum_{k = 1}^{n} {\to F}_{k}^{a} \cdot δ {\to r}_{k} = 0$ . (20)

Напомним, что при равновесии системы сил, действующих на материальную точку, она либо покоится, либо совершает равномерное прямолинейное движение. Поэтому для того, что бы механическая система с идеальными связями находилась в покое, необходимо равенство нулю скоростей ее точек в начальный момент времени, т.е. кроме условия (20) должно выполняться условие

$V_{0 k} = 0$ ; $k = 1, 2, . . ., n$ (21)

Принцип возможных перемещений устанавливает общее условие равновесия механической системы, не требующее рассмотрения равновесия отдельных частей (тел) этой системы и позволяющее, при идеальных связях, исключить из рассмотрения их неизвестные реакции.

В том случае, когда наложенные на систему связи голономные, независимые возможные перемещения соответствуют независимым обобщенным координатам.

Если связи, наложенные на систему не идеальны, то их реакции (например, силы трения) надо отнести к задаваемым силам; эти силы должны быть рассчитаны предварительно каким-либо образом.

ПРИМЕР 4 (задача 46.24 из [2]). Составная балка АЕ, лежащая на двух опорах А и С, состоит из трех балок АВ, ВD и DE, шарнирно соединенных в точках B и D. Балка DE в сечении Е защемлена в стене. К балкам приложены четыре равные вертикальные силы Р. Размеры указаны на рисунке 5. Определить вертикальную составляющую реакции в сечении Е.

РЕШЕНИЕ. Изображенная несвободная механическая система из трех шарнирно соединенных балок не может двигаться, т.е. имеет ноль степеней свободы. Дадим точке Е возможность перемещаться по вертикали, при этом добавим к действующим силам неизвестную вертикальную силу ${\to R}_{E}$ . Новая механическая система обладает одной степенью свободы.
Дадим системе возможное перемещение $δ s_{E}$ по вертикали (например, вниз; конфигурация системы, допускаемая связями в этом случае, изображена на рис.6). Составим выражение для работы всех действующих сил на возможных перемещениях точек их приложения и потребуем, что бы эта работа была равна нулю (т.е. выполнялось условие (20)). Тогда

$δ A = - P_{1} δ s_{1} - P_{2} δ s_{2} + P_{3} δ s_{3} + P_{4} δ s_{4} + R_{E} δ s_{E} = 0$ ,
здесь $δ s_{k}$ — возможное перемещение точки приложения $k$ -ой силы (нумерация сил $P_{1} = P_{2} = P_{3} = P_{4} = P$ и возможных перемещений точек их приложения принята слева на право).
Поскольку связи, наложенные на систему, геометрические, можно все линейные возможные перемещения выразить через два возможных угловых перемещения; в свою очередь, связь между угловыми перемещениями может быть получена из выражения для линейного возможного перемещения точки В. Тогда $δ s_{1} = δ ϕ_{2} a$ ; $δ s_{2} = δ ϕ_{1} a$ ; $δ s_{3} = δ ϕ_{1} a$ ; $δ s_{4} = δ s_{D} = δ s_{E}$ ;
$δ s_{B} = δ ϕ_{2} 2 a = δ ϕ_{1} 2 a$ ; при этом направления возможных перемещений учтены знаками слагаемых при составлении суммы работ.
Выразим все возможные перемещения через какое-то одно, выбранное за возможное перемещение по обобщенной координате (например $δ s_{E}$ ) и вынесем его за скобки.
$δ A = δ s_{E} (- \frac{P}{2} - \frac{P}{2} + \frac{P}{2} + P + R_{E}) = 0$ .
Полученное произведение может быть равно нулю только в случае равенства нулю выражения в скобках.
Отсюда $R_{E} = \frac{P}{2}$ .

Замечание. При необходимости расчета других составляющих реакции в точке Е или реакций в точках А либо С, алгоритм действий не изменяется: снимается ограничение на перемещение, но прикладывается соответствующее неизвестное усилие (например возможность поворота относительно точки Е обуславливает приложение в точке Е неизвестного момента). Новой механической системе, обладающей одной степенью свободы, дается возможное перемещение. Составляется выражение для суммы работ всех действующих сил на возможных перемещениях точек их приложения. Принцип возможных перемещений позволяет приравнять составленную сумму к нулю. Записываются уравнения связей; с их помощью возможные перемещения в уравнении для суммы работ выражаются через какое-то одно с выносом его за скобки. Приравнивание нулю выражения в скобках дает уравнение для нахождения неизвестного усилия.

ПРИМЕР 5 (задача 46.10 из [2]). В кулисном механизме при качании рычага ОС вокруг горизонтальной оси О ползун А, перемещаясь вдоль рычага ОС, приводит в движение стержень АВ, движущийся в вертикальных направляющих К (см. рис.7).

Даны размеры: $O C = R;$ $O K = L$ . Какую силу $Q$ надо приложить перпендикулярно кривошипу $O C$ в точке $C$ , чтобы уравновесить силу $P$ , направленную вдоль стержня $A B$ вверх?

РЕШЕНИЕ. Рассматриваемая механическая система обладает одной степенью свободы. Дадим системе возможное перемещение, соответствующее повороту рычага $O C$ по часовой стрелке, и составим сумму работ всех действующих сил на возможных перемещениях точек их приложения. При равновесии эта сумма должна быть равна нулю:
$δ A = Q δ s_{C} - P δ s_{B} = δ s_{C} (Q - P \frac{δ s_{B}}{δ s_{C}}) = 0$ .
Поскольку рассматриваемая механическая система обладает стационарными и голономными связями, возможные перемещения ее точек относятся как соответствующие скорости; тогда
$δ A = δ s_{C} (Q - P \frac{V_{B}}{V_{C}}) = 0$ , откуда $Q = P \frac{V_{B}}{V_{C}}$ .
Нахождению соотношений между скоростями точек механической системы было уделено достаточно внимания при изучении курса кинематики, поэтому действия, выполненные ниже, будут комментироваться кратко.
Скорость точки $B$ равна абсолютной скорости точки $A$ , т.к. звено $A B$ движется в вертикальных направляющих поступательно. Разложив скорость точки $A$ на относительную (вдоль рычага $O C$ ) и переносную (перпендикулярную рычагу $O C$ ) составляющие, получим для последней выражение
$V_{A}^{п е р} = V_{A} cos . ϕ = V_{B} cos . ϕ$ .
Угловую скорость вращения $ω_{O C}$ рычага $O C$ можно получить, разделив скорость переносного движения точки $A$ (т.е. скорость точки рычага, совпадающую с точкой $A$ в данный момент времени) на расстояние от нее до оси вращения ( $O A = \frac{L}{cos . ϕ}$ ). Скорость точки $C$ рычага есть произведение угловой скорости рычага $ω_{O C}$ на его длину, т.е.
$V_{C} = ω_{O C} R = V_{B} {cos}^{2} . ϕ \frac{R}{L}$ .
Окончательно имеем $Q = P \frac{V_{B}}{V_{C}} = \frac{P L}{R {cos}^{2} . ϕ}$ .
Заметим, что алгоритм расчета остался прежним, хотя соотношения между возможными перемещениями точек системы были найдены из соотношений кинематики, а не геометрии, как это было в предыдущем примере.

ПРИМЕР 6 (задача 46.21 из [2]). К концам нерастяжимой нити привязаны грузы А и В одинаковой массы $M_{1}$ .
От груза А нить проходит параллельно горизонтальной плоскости, огибает неподвижный блок С, охватывает подвижный блок Д, затем огибает неподвижный блок Е, где к другому концу нити привязан груз В. К оси подвижного блока Д подвешен груз К массы $M$ (см. рис.8). Определить массу $M_{1}$ каждого из грузов А и В и коэффициент трения скольжения $f$ груза А о горизонтальную плоскость, если система грузов находится в покое. Массами нити и блока Д пренебречь.

РЕШЕНИЕ. Рассматриваемая механическая система обладает двумя степенями свободы. Выберем в качестве независимых обобщенных координат горизонтальное перемещение $x$ груза А и вертикальный подъем $y$ груза В. Тогда, в силу нерастяжимости нити, опускание по вертикали $z$ центра блока Д (и груза К) будет зависеть от выбранных обобщенных координат.

Для получения уравнения связи рассмотрим рис.9, на котором
изображены скорости точек блока Д при его плоскопараллельном движении.
Анализ рисунка позволяет записать кинематическое уравнение голономной (интегрируемой) стационарной связи
$V_{K} = \frac{V_{A} + V_{B}}{2}$ .
В этом случае возможные перемещения относятся между собой как соответствующие скорости, т.е.
$δ z = \frac{δ x + δ y}{2}$ .

Примем за независимые возможные перемещения $δ x$ и $δ y$ . Дадим системе возможное перемещение, обусловленное изменением обобщенной координаты $x$ , оставив при этом другую обобщенную координату $y$ без изменения, т.е. $δ x \neq 0; δ y = 0$ .
При этом у системы остается как бы только одна степень свободы. Составим выражение для суммы работ всех сил на возможных перемещениях точек их приложения и приравняем ее к нулю:
$δ A_{x} = - F δ x + M g δ z = 0$ .
При $δ y = 0$ возможное перемещение $δ z = \frac{δ x}{2}$ . Силу трения рассчитаем предварительно как $F = f N = f M_{1} g$ и отнесем к активным силам. С учетом этого выражение для работы на возможном перемещении $δ x \neq 0$ будет
$δ A_{x} = - F δ x + M g δ z = δ x (- f M_{1} g + M g / 2) = 0$ .
Отсюда первое уравнение для параметров системы:
$- f M_{1} + M / 2 = 0$ .
Дадим системе возможное перемещение, обусловленное изменением обобщенной координаты $y$ ; при этом другую координату $x$ оставим без изменения, т.е. $δ x = 0; δ y \neq 0$ .
Составим сумму работ всех сил на возможных перемещениях точек системы и приравняем ее к нулю:
$δ A_{y} = - M_{1} g δ y + M g δ z = 0$ .
При $δ x = 0$ возможное перемещение $δ z = \frac{δ y}{2}$ .
С учетом этого выражение для работы на втором возможном перемещении будет
$δ A_{y} = - M_{1} g δ y + M g δ z = δ y (- M_{1} + M / 2) g = 0$ .
Тогда второе уравнение для параметров системы будет:
$- M_{1} + M / 2 = 0$ .
Решив систему из двух уравнений, получим, что равновесие механической системы будет иметь место при $f = 1$ ; $M_{1} = M / 2$ .