33. Ускорение Кориолиса и его физический смысл. Общий случай движения твердого тела. Сложное движение точки. Сложение скоростей

Формула (71) выражает теорему Кориолиса: абсолютное ускорение точки равно сумме переносного, относительного ускорений и кориолисова, равного

Wc=2ω×Vr . (72)

Модуль ускорения Кориолиса Wc=2ωVrsin.(ωˆ;Vr), а направление определяется по правилу векторного произведения.

Ускорение Кориолиса равно нулю, если:

ω=0 (переносное движение поступательное либо равенство справедливо в некоторые моменты времени) ,

Vr=0 ( равенство справедливо в некоторые моменты времени),

ωIIVr (векторы, входящие в (72) параллельны).

Заметим, что в формулах (59) для вычисления ускорения точки при плоскопараллельном движении тела имеет место первый из оговоренных случаев.

После формулы (68) наличие последнего слагаемого в формуле (71) может вызвать недоумение. Ниже на простом примере показано, что в общем случае WWe+Wr .

Рассмотрим круглую платформу радиуса R, вращающуюся вокруг своего центра О с постоянной угловой скоростью ω (рис.81). По краю платформы пустим точку М так, чтобы она все время находилась напротив маяка А, установленного на неподвижном основании. Очевидно, что в неподвижной системе отсчета точка М покоится, т.е. ее абсолютные скорость и ускорение равны нулю.

Принимая движение точки М по платформе за относительное, а движение совпадающей с ней точки – за переносное, имеем

V=0=Ve+Vr ; Ve=Vr ; Ve=Vr=ωR.

Ускорения точки М в указанных движениях будут равны своим нормальным составляющим. Последние направлены от точки М к центру платформы и равны Wne=Wnr=ω2R . Их сумма не равна нулю, что противоречит здравому смыслу (неподвижность точки М).

Появление ускорения Кориолиса объясняется взаимовлиянием переносного и относительного движений, которое отсутствует при независимом рассмотрении картин составляющих движений.

Задачи на сложное движение точки подразделяются на два типа: в первом по известным переносному и относительному движениям определяют абсолютное, во втором известное абсолютное движение раскладывают на интересующие составляющие.

ПРИМЕР 29 (продолжение решения ПРИМЕРА 27). Шайба М движется по горизонтальному стержню ОА так, что OM=0,5t2см. В то же время стержень вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через точку О, по закону ϕ=t2+t,рад. Определить радиальную и трансверсальную составляющие абсолютного ускорения шайбы в момент времени t=2c.

РЕШЕНИЕ. Примем за относительное движение шайбы ее движение вдоль стержня ОА по закону OM=0,5t2см; картина этого движения (КОД) и его кинематические характеристики, вычисленные для момента времени t=2c, изображены на рис.82.а.

Wr=O¨M=1см/c2;

Переносным движением шайбы М будет движение точки стержня, находящейся в рассматриваемый момент времени под шайбой. Тогда   Wne=ω2OM=50см/c2; Wτe=εOM=4см/c2.

Картина переносного движения (КПД) и вычисленные для него кинематические характеристики изображены на рис.82.б.

Ускорение Кориолиса равно Wc=2ωVrsin.900=20см/c2, его направление см. на рис.82.а.

Теперь вычислим радиальную (проекции на ось Оx подвижной координатной системы) составляющую абсолютного ускорения:

Wx=WrWne=49см/c2.

Трансверсальная (проекции на ось Oy подвижной координатной системы) составляющая абсолютного ускорения будет

Wy=Wτe+Wc=24см/c2.

При необходимости можно найти величину абсолютного ускорения шайбы как геометрическую сумму ее составляющих. W=W2x+W2y=54.56см/c2

ПРИМЕР 30. Кривошип OA=R кривошипно-кулисного механизма вращается с постоянной угловой скоростью ω0 вокруг оси O. На расстоянии a по вертикали вниз расположена ось вращения O1 кулисы, длина которой L. Найти скорость и ускорение точки В кулисы, когда кривошип занимает горизонтальное положение (рис 83.а).

РЕШЕНИЕ. Задание движения кривошипа позволяет рассчитать скорость и ускорение центра ползуна А, как

VA=ωoR;  WA=WnA=ω2oR.

Движение точки А по окружности представим как сложное движение, состоящее из относительного движения вдоль кулисы O1B и переносного движения вместе с точкой кулисы A, совпадающей в данный момент времени с точкой А.

Такой подход позволяет рассмотреть независимо картины относительного (рис.83.б) и переносного (рис.83.в) движений точки А, находя интересующие нас глобальные кинематические характеристики переносного движения.

Построим треугольник скоростей (см. рис.84.а) :

VA=Ve+Vr.

Из треугольника находим, что

Vr=VAcos.α;   Ve=VAsin.α;  ωe=VeO1A..=Vea2+R2..=ω01 Построим многоугольник ускорений (см. рис.84.б):

WA=Wc+Wne+Wτe+Wr;

при этом учтено, что

Wne=ω2eO1A;  Wc=2ωe×Vr;  Wc=2ωeVrsin.900=2ωeVr.

Направление ускорения Кориолиса указано на картине относительного движения (рис.83.б).

.

Проецируя многоугольник на оси выбранной координатной системы, получим два уравнения для вычисления неизвестных составляющих Wτe и Wr:

WAsin.α=WneWr;  WAcos.α=Wc+Wτe.

Вычислив тангенциальную составляющую переносного ускорения

Wτe=WAcos.αWc,

найдем угловое ускорение кулисы εe=WτeO1A..=WAcos.αa2+R2..=ε01 .

Теперь вычислить кинематические характеристики точки В не представляет затруднений:

VB=ω01L;  WnB=ω201L;  WτB=ε01L; WB=(WnB)2+(WτB)2=Lω401+ε201.

Оцените
Добавить комментарий