Формула (71) выражает теорему Кориолиса: абсолютное ускорение точки равно сумме переносного, относительного ускорений и кориолисова, равного
−→Wc=2→ω×→Vr . (72)
Модуль ускорения Кориолиса Wc=2ω⋅Vrsin(→ωˆ;→Vr), а направление определяется по правилу векторного произведения.
Ускорение Кориолиса равно нулю, если:
— ω=0 (переносное движение поступательное либо равенство справедливо в некоторые моменты времени) ,
— Vr=0 ( равенство справедливо в некоторые моменты времени),
— →ωII→Vr (векторы, входящие в (72) параллельны).
Заметим, что в формулах (59) для вычисления ускорения точки при плоскопараллельном движении тела имеет место первый из оговоренных случаев.
После формулы (68) наличие последнего слагаемого в формуле (71) может вызвать недоумение. Ниже на простом примере показано, что в общем случае −→W≠−→We+−→Wr .
Рассмотрим круглую платформу радиуса R, вращающуюся вокруг своего центра О с постоянной угловой скоростью ω (рис.81). По краю платформы пустим точку М так, чтобы она все время находилась напротив маяка А, установленного на неподвижном основании. Очевидно, что в неподвижной системе отсчета точка М покоится, т.е. ее абсолютные скорость и ускорение равны нулю.
Принимая движение точки М по платформе за относительное, а движение совпадающей с ней точки – за переносное, имеем
→V=0=→Ve+→Vr ; →Ve=−→Vr ; Ve=Vr=ωR.
Ускорения точки М в указанных движениях будут равны своим нормальным составляющим. Последние направлены от точки М к центру платформы и равны Wne=Wnr=ω2R . Их сумма не равна нулю, что противоречит здравому смыслу (неподвижность точки М).
Появление ускорения Кориолиса объясняется взаимовлиянием переносного и относительного движений, которое отсутствует при независимом рассмотрении картин составляющих движений.
Задачи на сложное движение точки подразделяются на два типа: в первом по известным переносному и относительному движениям определяют абсолютное, во втором известное абсолютное движение раскладывают на интересующие составляющие.
ПРИМЕР 29 (продолжение решения ПРИМЕРА 27). Шайба М движется по горизонтальному стержню ОА так, что OM=0,5t2см. В то же время стержень вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через точку О, по закону ϕ=t2+t,рад. Определить радиальную и трансверсальную составляющие абсолютного ускорения шайбы в момент времени t=2c.
РЕШЕНИЕ. Примем за относительное движение шайбы ее движение вдоль стержня ОА по закону OM=0,5t2см; картина этого движения (КОД) и его кинематические характеристики, вычисленные для момента времени t=2c, изображены на рис.82.а.
Wr=O¨M=1см/c2;
Переносным движением шайбы М будет движение точки стержня, находящейся в рассматриваемый момент времени под шайбой. Тогда Wne=ω2OM=50см/c2; Wτe=εOM=4см/c2.
Картина переносного движения (КПД) и вычисленные для него кинематические характеристики изображены на рис.82.б.
Ускорение Кориолиса равно Wc=2ωVrsin900=20см/c2, его направление см. на рис.82.а.
Теперь вычислим радиальную (проекции на ось Оx подвижной координатной системы) составляющую абсолютного ускорения:
Wx=Wr−Wne=−49см/c2.
Трансверсальная (проекции на ось Oy подвижной координатной системы) составляющая абсолютного ускорения будет
Wy=Wτe+Wc=24см/c2.
При необходимости можно найти величину абсолютного ускорения шайбы как геометрическую сумму ее составляющих. W=√W2x+W2y=54.56см/c2
ПРИМЕР 30. Кривошип OA=R кривошипно-кулисного механизма вращается с постоянной угловой скоростью ω0 вокруг оси O. На расстоянии a по вертикали вниз расположена ось вращения O1 кулисы, длина которой L. Найти скорость и ускорение точки В кулисы, когда кривошип занимает горизонтальное положение (рис 83.а).
РЕШЕНИЕ. Задание движения кривошипа позволяет рассчитать скорость и ускорение центра ползуна А, как
VA=ωoR; WA=WnA=ω2oR.
Движение точки А по окружности представим как сложное движение, состоящее из относительного движения вдоль кулисы O1B и переносного движения вместе с точкой кулисы A‘, совпадающей в данный момент времени с точкой А.
Такой подход позволяет рассмотреть независимо картины относительного (рис.83.б) и переносного (рис.83.в) движений точки А, находя интересующие нас глобальные кинематические характеристики переносного движения.
Построим треугольник скоростей (см. рис.84.а) :
→VA=→Ve+→Vr.
Из треугольника находим, что
Vr=VAcosα; Ve=VAsinα; ωe=VeO1A=Ve√a2+R2=ω01 Построим многоугольник ускорений (см. рис.84.б):
−→WA=−→Wc+−→Wne+−→Wτe+−→Wr;
при этом учтено, что
Wne=ω2eO1A; ⇀Wc=2→ωe×→Vr; Wc=2ωeVrsin900=2ωeVr.
Направление ускорения Кориолиса указано на картине относительного движения (рис.83.б).
.
Проецируя многоугольник на оси выбранной координатной системы, получим два уравнения для вычисления неизвестных составляющих Wτe и Wr:
WAsinα=Wne−Wr; WAcosα=Wc+Wτe.
Вычислив тангенциальную составляющую переносного ускорения
Wτe=WAcosα−Wc,
найдем угловое ускорение кулисы εe=WτeO1A=WAcosα√a2+R2=ε01 .
Теперь вычислить кинематические характеристики точки В не представляет затруднений:
VB=ω01L; WnB=ω201L; WτB=ε01L; WB=√(WnB)2+(WτB)2=L√ω401+ε201.