33. Ускорение Кориолиса и его физический смысл. Общий случай движения твердого тела. Сложное движение точки. Сложение скоростей. Кинематика

33. Ускорение Кориолиса и его физический смысл. Общий случай движения твердого тела. Сложное движение точки. Сложение скоростей

Автор admin На чтение 5 мин Просмотров 7.6к.

Формула (71) выражает теорему Кориолиса: абсолютное ускорение точки равно сумме переносного, относительного ускорений и кориолисова, равного

${- \to W}_{c} = 2 \to ω \times {\to V}_{r}$ . (72)

Модуль ускорения Кориолиса $W_{c} = 2 ω \cdot V_{r} sin . (\to ω ˆ; {\to V}_{r})$ , а направление определяется по правилу векторного произведения.

Ускорение Кориолиса равно нулю, если:

— $ω = 0$ (переносное движение поступательное либо равенство справедливо в некоторые моменты времени) ,

— $V_{r} = 0$ ( равенство справедливо в некоторые моменты времени),

— $\to ω I I {\to V}_{r}$ (векторы, входящие в (72) параллельны).

Заметим, что в формулах (59) для вычисления ускорения точки при плоскопараллельном движении тела имеет место первый из оговоренных случаев.

После формулы (68) наличие последнего слагаемого в формуле (71) может вызвать недоумение. Ниже на простом примере показано, что в общем случае $- \to W \neq {- \to W}_{e} + {- \to W}_{r}$ .

Рассмотрим круглую платформу радиуса R, вращающуюся вокруг своего центра О с постоянной угловой скоростью $ω$ (рис.81). По краю платформы пустим точку М так, чтобы она все время находилась напротив маяка А, установленного на неподвижном основании. Очевидно, что в неподвижной системе отсчета точка М покоится, т.е. ее абсолютные скорость и ускорение равны нулю.

Принимая движение точки М по платформе за относительное, а движение совпадающей с ней точки – за переносное, имеем

$\to V = 0 = {\to V}_{e} + {\to V}_{r}$ ; ${\to V}_{e} = - {\to V}_{r}$ ; $V_{e} = V_{r} = ω R$ .

Ускорения точки М в указанных движениях будут равны своим нормальным составляющим. Последние направлены от точки М к центру платформы и равны $W_{e}^{n} = W_{r}^{n} = ω^{2} R$ . Их сумма не равна нулю, что противоречит здравому смыслу (неподвижность точки М).

Появление ускорения Кориолиса объясняется взаимовлиянием переносного и относительного движений, которое отсутствует при независимом рассмотрении картин составляющих движений.

Задачи на сложное движение точки подразделяются на два типа: в первом по известным переносному и относительному движениям определяют абсолютное, во втором известное абсолютное движение раскладывают на интересующие составляющие.

ПРИМЕР 29 (продолжение решения ПРИМЕРА 27). Шайба М движется по горизонтальному стержню ОА так, что $O M = 0, 5 t^{2} с м$ . В то же время стержень вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через точку О, по закону $ϕ = t^{2} + t, р а д$ . Определить радиальную и трансверсальную составляющие абсолютного ускорения шайбы в момент времени $t = 2 c$ .

РЕШЕНИЕ. Примем за относительное движение шайбы ее движение вдоль стержня ОА по закону $O M = 0, 5 t^{2} с м$ ; картина этого движения (КОД) и его кинематические характеристики, вычисленные для момента времени $t = 2 c$ , изображены на рис.82.а.

$W_{r} = O ¨ M = 1 с м / c^{2}$ ;

Переносным движением шайбы М будет движение точки стержня, находящейся в рассматриваемый момент времени под шайбой. Тогда $W_{e}^{n} = ω^{2} O M = 50 с м / c^{2}$ ; $W_{e}^{τ} = ε O M = 4 с м / c^{2}$ .

Картина переносного движения (КПД) и вычисленные для него кинематические характеристики изображены на рис.82.б.

Ускорение Кориолиса равно $W_{c} = 2 ω V_{r} sin . 9 0^{0} = 20 с м / c^{2}$ , его направление см. на рис.82.а.

Теперь вычислим радиальную (проекции на ось Оx подвижной координатной системы) составляющую абсолютного ускорения:

$W_{x} = W_{r} - W_{e}^{n} = - 49 с м / c^{2}$ .

Трансверсальная (проекции на ось Oy подвижной координатной системы) составляющая абсолютного ускорения будет

$W_{y} = W_{e}^{τ} + W_{c} = 24 с м / c^{2}$ .

При необходимости можно найти величину абсолютного ускорения шайбы как геометрическую сумму ее составляющих. $W = \sqrt{W_{x}^{2} + W_{y}^{2}} = 54.56 с м / c^{2}$

ПРИМЕР 30. Кривошип $O A = R$ кривошипно-кулисного механизма вращается с постоянной угловой скоростью $ω_{0}$ вокруг оси $O$ . На расстоянии $a$ по вертикали вниз расположена ось вращения $O_{1}$ кулисы, длина которой $L$ . Найти скорость и ускорение точки В кулисы, когда кривошип занимает горизонтальное положение (рис 83.а).

РЕШЕНИЕ. Задание движения кривошипа позволяет рассчитать скорость и ускорение центра ползуна А, как

$V_{A} = ω_{o} R;$ $W_{A} = W_{A}^{n} = ω_{o}^{2} R$ .

Движение точки А по окружности представим как сложное движение, состоящее из относительного движения вдоль кулисы $O_{1} B$ и переносного движения вместе с точкой кулисы $A^{‘}$ , совпадающей в данный момент времени с точкой А.

Такой подход позволяет рассмотреть независимо картины относительного (рис.83.б) и переносного (рис.83.в) движений точки А, находя интересующие нас глобальные кинематические характеристики переносного движения.

Построим треугольник скоростей (см. рис.84.а) :

${\to V}_{A} = {\to V}_{e} + {\to V}_{r}$ .

Из треугольника находим, что

$V_{r} = V_{A} cos . α;$ $V_{e} = V_{A} sin . α;$ $ω_{e} = \frac{V_{e}}{O_{1} A} = \frac{V_{e}}{\sqrt{a^{2} + R^{2}}} = ω_{01}$ Построим многоугольник ускорений (см. рис.84.б):

${- \to W}_{A} = {- \to W}_{c} + {- \to W}_{e}^{n} + {- \to W}_{e}^{τ} + {- \to W}_{r}$ ;

при этом учтено, что

$W_{e}^{n} = ω_{e}^{2} O_{1} A;$ ${⇀ W}_{c} = 2 {\to ω}^{e} \times {\to V}_{r};$ $W_{c} = 2 ω^{e} V_{r} sin . 9 0^{0} = 2 ω^{e} V_{r}$ .

Направление ускорения Кориолиса указано на картине относительного движения (рис.83.б).

Проецируя многоугольник на оси выбранной координатной системы, получим два уравнения для вычисления неизвестных составляющих $W_{e}^{τ}$ и $W_{r}$ :

$W_{A} sin . α = W_{e}^{n} - W_{r};$ $W_{A} cos . α = W_{c} + W_{e}^{τ}$ .

Вычислив тангенциальную составляющую переносного ускорения

$W_{e}^{τ} = W_{A} cos . α - W_{c}$ ,

найдем угловое ускорение кулисы $ε_{e} = \frac{W_{e}^{τ}}{O_{1} A} = \frac{W_{A} cos . α}{\sqrt{a^{2} + R^{2}}} = ε_{01}$ .

Теперь вычислить кинематические характеристики точки В не представляет затруднений:

$V_{B} = ω_{01} L;$ $W_{B}^{n} = ω_{01}^{2} L;$ $W_{B}^{τ} = ε_{01} L;$ $W_{B} = \sqrt{(W_{B}^{n})^{2} + (W_{B}^{τ})^{2}} = L \sqrt{ω_{01}^{4} + ε_{01}^{2}}$ .