41. Численное моделирование процесса движения материальной точки методом Эйлера. Динамика

41. Численное моделирование процесса движения материальной точки методом Эйлера

Автор admin На чтение 2 мин Просмотров 2.4к.

При достаточно простой структуре силы $\to F$ уравнения (6) или (7) могут быть проинтегрированы в квадратурах и получено аналитическое решение задачи (см. примеры 3 и 4). В более сложных случаях следует воспользоваться средствами вычислительной техники.

В качестве примера рассмотрим применение метода численного интегрирования Эйлера для решения указанной задачи.

41. Численное моделирование процесса движения материальной точки методом Эйлера

Более подробно о методе численного интегрирования Эйлера и особенностях его применения для моделирования процесса движения можно прочитать, например, в [4].

Перепишем уравнение основного закона динамики материальной точки (1.5) в виде

$d \to V = \frac{1}{m} \to F d t$ ; $d \to r = \to V d t$ . (9)

Из (9) следует, что основной закон определяет приращения $d \to V$ и $d \to r$ величин $\to V$ и $\to r$ за промежуток времени $d t$ , т.е. характеризует изменение во времени параметров состояния движения (положение и скорость) материальной точки под действием приложенной к ней силы $\to F = \to F (t; \to r; \to V; . . .;)$ . Естественно, что начальные условия ${\to r}_{0} = \to r (t_{0})$ и ${\to V}_{0} = \to V (t_{0})$ должны быть заданы.

Заменив в (9) бесконечно малые приращения $d \to r$ , $d \to V$ и $d t$ на малые, но конечные приращения $Δ \to r$ , $Δ \to V$ и $Δ t$ , получим соотношения

$\to V (t_{i + 1}) = \to V (t_{i}) + Δ \to V (t_{i}) = \to V (t_{i}) + \frac{1}{m} \to F [t_{i}; \to r (t_{i}); \to V (t_{i}); . . .;] Δ t$ ;

$\to r (t_{i + 1}) = \to r (t_{i}) + Δ \to r (t_{i}) = \to r (t_{i}) + \to V (t_{i}) Δ t$ ; (10)

$t_{i + 1} = t_{i} + Δ t$ .

Зависимости (10) носят рекуррентный характер и позволяют последовательно находить (разумеется, приближенно) положение и скорость точки, идя от ее начального положения.

Точность решения повышается с уменьшением шага $Δ t$ по времени. Расчет целесообразно повторять с уменьшением шага до тех пор, пока различие результатов двух последовательных расчетов не окажется в пределах требуемой точности.