Найдем проекции векторов скорости →V и ускорения −→W точки в естественном базисе.
Радиус-вектор точки M представляет собой сложную функцию времени →r=→r[s(t)], поэтому
→V=d→rds⋅dsdt=→τ⋅˙s. (32)
При выводе формулы учтено, что
limΔt→0Δ→rΔs=d→rds=→τ — является единичным ортом касательной к траектории движения точки M.
По определению ускорения имеем
−→W=d→τdt⋅˙s+→τ⋅¨s=d→τdϕ⋅dϕds⋅dsdt⋅˙s+→τ⋅¨s=→τ⋅¨s+→n⋅1ρ⋅˙s2. (33)
При выводе формулы учтено, что, во-первых,
d→τdϕ=→n — есть орт главной нормали, а, во-вторых, кривизна траектории k=dϕds=1ρ , где ρ — радиус кривизны траектории в точке M.
Для доказательства первого обстоятельства продифференцируем по углу смежности скалярное произведение
→τ⋅→τ=1. Получим, что 2→τ⋅d→τdϕ=0, т.е. скалярное произведение двух векторов, расположенных в соприкасающейся плоскости, равно нулю. Это возможно только в случае их ортогональности.
Величина проекции ускорения на касательную
Wτ=dVdt=˙V=¨s называется касательным ускорением, оно характеризует изменение вектора скорости по величине. Величина проекции ускорения на главную нормаль
Wn=V2ρ=˙s2ρ называется нормальным ускорением, оно характеризует изменение вектора скорости по направлению. Нормальное ускорение всегда направлено к центру кривизны траектории.
Полное ускорение точки M равно
W=√W2τ+W2n=√˙V2+(V2/ρ)2.
Заметим, что в выбранной координатной системе отсутствуют проекции скорости на главную нормаль и бинормаль, а так же проекция на бинормаль ускорения точки.
Рассмотрим несколько частных случаев движения точки.
- Равномерное движение точки по прямой. Скорость движения не изменяется, поэтому равно нулю касательное ускорение. Нормальное ускорение так же равно нулю (бесконечно большой радиус кривизны). Тогда V=V0=const; W=0.
- Равнопеременное движение по прямой (Wτ=const). Нормальное ускорение равно нулю. Тогда V=V0+Wτ⋅t; W=Wτ.
- Равномерное движение по окружности радиуса R. Вектор скорости направлен по касательной к окружности (к радиусу — под прямым углом). Скорость движения не изменяется по величине, поэтому равно нулю касательное ускорение. Полное ускорение равно нормальному, т.е. W=Wn=V2R. Ускорение направлено к центру окружности.
- Равнопеременное движение по окружности радиуса R. В этом случае скорость изменяется и по величине и по направлению, поэтому V=V0+Wτ⋅t; Wτ=const; Wn=V2R=(V0+Wτ⋅t)2R; W=√W2τ+(V0+Wτ⋅t)4R2 .
ПРИМЕР 15. Центр тяжести катера, разгоняющегося из состояния покоя, описывает дугу окружности радиуса R=75м. Его касательное ускорение изменяется по закону Wτ=0,3t(м/с2). Определить скорость и ускорение центра тяжести катера в момент, когда он пройдет путь 50 м.
РЕШЕНИЕ. Интегрируя условие Wτ=¨s=0,3t дважды по времени с учетом нулевых начальных условий, получим:
V=˙s=0,15t2 ; s=0,005t3.
Значение s=50м достигается в момент времени t1=3√500,05=10с. При этом скорость центра тяжести катера будет V=0,15t21=15м/с, а касательное ускорение — Wτ=3м/с2. Тогда полное ускорение равно
W=√W2τ+W2n=√W2τ+(V2/R)2=4,24м/с2.