66. Свободные колебания системы с одной степенью свободы. Динамика

66. Свободные колебания системы с одной степенью свободы

Автор admin На чтение 4 мин Просмотров 3.2к.

Рассмотрим консервативную систему с голономными и стационарными связями, имеющую одну степень свободы. В этом случае выражение для кинетической энергии имеет вид

$T = \frac{1}{2} a (q) {˙ q}^{2}$ , (63)

где всегда положительный обобщенный коэффициент инерции может зависеть от обобщенной координаты $q$ .

Для получения линейной математической модели разложим $a (q)$ в ряд Маклорена по степеням $q$ и отбросим все слагаемые, начиная со второго порядка малости (т.е. рассмотрим только малые колебания около положения устойчивого равновесия).

Тогда $a (q) \approx a (0) = a$ и выражение (63) будет иметь вид $T = \frac{1}{2} a {˙ q}^{2}$ .

Рассуждая аналогично, для потенциальной энергии можно получить выражение $П = \frac{1}{2} c q^{2}$ , где обобщенный коэффициент жесткости $c (q) \approx c (0) = c$ .

При таких колебаниях механической системы (линейной изначально либо линеаризованной, как это сделано нами выше) дифференциальное уравнение движения может быть получено, например, способом Лагранжа (49).

Тогда $a ¨ q = - c q$ ; (64.а)

либо $¨ q + k^{2} q = 0$ ; где $k = \sqrt{\frac{c}{a}}$ . (64.б)

Дополняя это уравнение начальными условиями $t = 0; q (0) = q_{0}; ˙ q (0) = {˙ q}_{0}$ , будем иметь полную математическую модель для отыскания закона движения $q (t)$ .

Виды решения этого дифференциального уравнения общеизвестны:

$q = C_{1} e^{i k t} + C_{2} e^{- i k t} = A sin . (k t) + B cos . (k t) = A_{0} sin . (k t + α)$ , (65)

здесь $C_{1}; C_{2}$ , либо $A; B$ , либо $A_{0}; α$ — постоянные интегрирования.

При заданных начальных условиях $t = 0; q (0) = q_{0}; ˙ q (0) = {˙ q}_{0}$ второй вид (65) будет

$q = q_{0} sin . (k t) + \frac{{˙ q}_{0}}{k} cos . (k t)$ , (66)

для третьего вида амплитуда колебаний $A_{0} = \sqrt{q_{0}^{2} + (\frac{{˙ q}_{0}}{k})^{2}}$ ,

начальная фаза колебаний $α = a r c t g α = \frac{q_{0} k}{{˙ q}_{0}}$ .

Как видно, величина $k$ имеет смысл частоты свободных колебаний (число колебаний за $2 π$ единиц времени); она связана с периодом $τ$ этих колебаний соотношением $τ = \frac{2 π}{k}$ .

ПРИМЕР 20. Воздушный взрыв дал кораблю начальную скорость в вертикальном направлении $V_{0}$ . Зная площадь его ватерлинии $S$ , водоизмещение $D$ и присоединенную массу жидкости в вертикальном направлении $λ$ , найти для корабля период и амплитуду вертикальных колебаний. Развалом бортов и сопротивлением воды пренебречь.

РЕШЕНИЕ. Обозначим вертикальное перемещение корабля $y$ . Запишем дифференциальное уравнение вертикальных колебаний корабля, спроецировав на вертикаль силы, на него действующие (см.рис.23).
Тогда $(\frac{D}{g} + λ) ¨ y = - F^{а р х} + D = - γ S y$ ,
где $γ$ — удельный вес воды.
Приведем уравнение к виду (64.б)
$¨ y + k^{2} y = 0$ , здесь $k^{2} = \frac{γ S g}{D + g λ}$ .
Период вертикальных колебаний будет $τ = \frac{2 π}{k} = 2 π \sqrt{\frac{D + g λ}{γ S g}}$ .
Запишем начальные условия: $t = 0; y_{0} = 0; {˙ y}_{0} = V_{0}$ . Подставив их в (66), получим:
$y = \frac{V_{0}}{k} cos . (k t)$ , где $k = \sqrt{\frac{γ S g}{D + g λ}}$ .