71. Элементарная теория гироскопов. Динамика

71. Элементарная теория гироскопов

Автор admin На чтение 8 мин Просмотров 3.1к.

Навигация

Допущения элементарной теории гироскопов. Свойства гироскопа
Прецессия оси гироскопа
Гироскопический момент

Допущения элементарной теории гироскопов. Свойства гироскопа

Гироскопом называется симметричное твердое тело, быстро вращающееся вокруг оси симметрии (собственное вращение). Эта ось может менять свою ориентацию в пространстве. Примерами таких тел могут служить волчок с неподвижной точкой О (рис.36.а), гироскоп с двумя (рис.36.б) и тремя (рис.36.в) степенями свободы.

Благодаря ряду специфических свойств гироскопические устройства широко применяются в технике. Эти свойства можно достаточно полно объяснить с помощью элементарной (приближенной) теории гироскопов.

Пусть однородное тело совершает быстрое вращение вокруг собственной оси симметрии с угловой скоростью ${\to ω}_{1}$ , а эта ось, в свою очередь, вращается с угловой скоростью ${\to ω}_{2}$ вокруг неподвижной оси (см. рис. 36.а). Для абсолютной угловой скорости $\to ω$ справедлива формула $\to ω = {\to ω}_{1} + {\to ω}_{2}$ .

Свяжем с телом координатную систему Оxyz так, чтобы ось $z$ совпадала с осью собственного вращения; оси этой системы являются главными осями инерции тела.

Выражения для проекций кинетического момента тела на оси $x, y$ и $z$ имеют вид

$K_{x} = I_{x} ω_{x} = I_{x} ω_{2 x};$ $K_{y} = I_{y} ω_{y} = I_{y} ω_{2 y};$

$K_{z} = I_{z} ω_{z} = I_{z} (ω_{1} + ω_{2 z})$ , (96)

где $I_{x}; I_{y}; I_{z}$ — соответствующие осевые моменты инерции тела.

В общем случае направления векторов ${\to ω}_{1}; \to ω$ и ${\to K}_{O}$ не совпадают. Однако, если $ω_{1} > > ω_{2}$ , то $K_{z} > > K_{x}; K_{z} > > K_{y}$ и можно приближенно записать

${\to K}_{O} ≅ I_{z} ω ≅ I_{z} {\to ω}_{1}$ . (97)

Равенство (97) выражает основное допущение элементарной теории гироскопов: кинетический момент гироскопа направлен по собственной оси симметрии.

Для изучения движения гироскопа (точнее – его оси) воспользуемся теоремой об изменении кинетического момента в интерпретации Резаля: скорость конца вектора кинетического момента $\to U = \frac{d {\to K}_{O}}{d t}$ равна главному моменту внешних сил относительно неподвижной точки О, т.е.

$\to U = {- \to M}_{O}^{e}$ . (98)

Соотношение (98) позволяет найти закон движения оси гироскопа по заданному моменту внешних сил либо по заданному движению гироскопа определить момент сил, вызывающий такое движение.

Рассмотрим основные свойства гироскопа с тремя степенями свободы, изображенного на рис.36.в. Если гироскоп уравновешен, то ${- \to M}_{O} = 0$ и согласно (98) $\to U = 0$ . В таком случае ось гироскопа сохраняет неизменным свое направление в инерциальной координатной системе отсчета при любых движениях основания гироскопа. Отмеченное свойство оказывается полезным при конструировании гирогоризонталей и горовертикалей, а так же указателей направлений на условно неподвижные звезды.

Отметим, что если подобрать специальным образом ${- \to M}_{O} \neq 0$ , можно добиться сохранения гироскопом неизменности направления своей оси и в неинерциальной системе отсчета (например, в системе отсчета, связанной с Землей). Последнее свойство используется при конструировании гирокомпасов.

Другим важным свойством оказывается нечувствительность быстро вращающегося гироскопа к действию кратковременных сил. Причина — $\to U = {- \to M}_{O}^{e} \neq 0$ только во время действия таких сил (в действительности после кратковременного действия сил ось гироскопа совершает затухающие малые нутационные колебания, которыми в элементарной теории гироскопов пренебрегают).

Все эти свойства гироскопов широко используются в системах навигации.

Прецессия оси гироскопа

Если на ось быстро вращающегося гироскопа подействовать постоянной силой $\to F$ (см. рис.36.в), то согласно (98) конец вектора ${\to K}_{O}$ приобретает скорость $\to U = {\to ω}_{2} \times {\to K}_{O}$ в направлении момента ${- \to M}_{O} (\to F)$ , т.е. ось гироскопа начнет двигаться перпендикулярно линии действия приложенной силы (возникает прецессия гироскопа). Угловая скорость прецессии $ω_{2}$ может быть найдена, если приравнять следующие выражения для $\to U$ :

$\to U = {\to ω}_{2} \times {\to K}_{O} = {\to ω}_{2} \times (I_{z} {\to ω}_{1});$ и $\to U = {- \to M}_{O}^{e}$ . (99)

Таким образом, получим

$ω_{2} = \frac{M_{O}^{e}}{I_{z} ω_{1} sin . θ}$ , (100)

где $θ$ — угол нутации, т.е. угол между векторами ${\to ω}_{1}$ и ${\to ω}_{2}$ (см. рис.36. а). Для гироскопа с двумя степенями свободы, изображенного на рис. 36.б, угол нутации равен $\frac{π}{2}$ .

ПРИМЕР 25. На какое расстояние ОС= $l$ следует сместить центр тяжести гирокомпаса, чтобы ось его вращения всегда указывала на географический полюс Земли?

РЕШЕНИЕ. Поскольку Земля вращается вокруг своей оси с угловой скоростью $ω_{*} = \frac{2 π}{24 \cdot 3600} = \frac{π}{43200} \frac{р а д}{с е к}$ , необходимо, чтобы ось гирокомпаса совершала прецессию с $ω_{2} = ω_{*}$ (конечно, если при раскручивании гирокомпаса его ось направить на географический полюс Земли). Из рис.36.а следует, что момент силы веса $M_{O}^{e} = P l sin . θ$ . Подставим полученное выражение в (100) и найдем интересующее нас расстояние
$l = \frac{I_{z} ω_{1} ω_{*}}{P}$ .

Заметим, что в рассмотренном случае угловая скорость прецессии не зависит от угла нутации $θ$ , который сохраняет свое значение с начала движения гирокомпаса.

Гироскопический момент

Перейдем к рассмотрению обратной задачи динамики гироскопа.

Пусть гироскоп с двумя степенями свободы (см. рис.36.б) вращается с угловой скоростью ${\to ω}_{1}$ вокруг собственной оси симметрии АВ, а ось, в свою очередь, вращается с угловой скоростью ${\to ω}_{2}$ вокруг вертикальной оси. Момент внешних сил, под действием которого гироскоп прецессирует, создается силами, приложенными к оси гироскопа со стороны подшипников А и В. По третьему закону Ньютона на подшипники со стороны оси гироскопа действуют равные и противоположно направленные силы $\to F$ и ${\to F}^{‘}$ . Главный момент этих сил относительно неподвижной точки О называется гироскопическим моментом. Он может быть вычислен на основании (98) и (99):

${- \to M}_{O}^{г и р} = - {- \to M}_{O}^{e} = I_{z} ({\to ω}_{1} \times {\to ω}_{2})$ . (101)

Отсюда следует правило Грюэ – Жуковского: при сообщении оси быстро вращающегося гироскопа принудительной прецессии его ось стремиться кратчайшим путем установиться таким образом, чтобы направления векторов ${\to ω}_{1}$ и ${\to ω}_{2}$ совпадали.

ПРИМЕР 26. Определить усилия гироскопической природы, действующие на опоры ротора турбины, при циркуляции катера (см. рис.37). Осевой момент инерции ротора турбины $I_{z}$ , угловая скорость его вращения ${\to ω}_{1}$ , расстояние между опорами АВ= $l$ , радиус циркуляции $R$ и скорость движения катера $V$ известны.

РЕШЕНИЕ. Подставляя в (101) значение гироскопического момента $M_{O}^{г и р} = N l$ (здесь $N$ — модуль сил $N_{1}; N_{2}$ ) и $ω_{2} = \frac{V}{R}$ , находим: $N = \frac{I_{z} ω_{1} V}{l R}$ .

Заметим, что найденные реакции могут существенно превышать реакции от силы веса турбины. Действуя через подшипники на корпус катера, они могут вызвать его дифферент. Подобный эффект наблюдается и у винтовых самолетов на виражах.