Вынужденные колебания
Предположим, что к точкам линейной механической системы, описываемой уравнениями (85), приложены гармонически изменяющиеся во времени с частотойω вынуждающие силы. Очевидно, что в таком случае дифференциальные уравнения движения будут иметь вид
a11¨q1+a12¨q2+c11q1+c12q2=Q1sinωt;
a21¨q1+a22¨q2+c21q1+c22q2=Q2sinωt (92)
а общее решение представлять сумму из решения (91) системы однородных уравнений (85) и частного решения q*i(t), i=1,2.
Будем искать частное решение в виде
q*i=Disinωt, (93)
где Di— неопределенные коэффициенты, подлежащие определению; при этом предполагается, что резонанс в системе отсутствует, т.е. частота вынуждающего воздействия не совпадает ни с одной из частот главных колебаний (ω≠ki; i=1,2). Продифференцируем искомые выражения для частного решения по времени дважды, подставим их в (92). Для удовлетворения этих равенств при любых t, должны быть равны коэффициенты при sinωt в правой и левой частях уравнений системы, т.е.
(c11−a11ω2)D1+(c12−a12ω2)D2=Q1;
(c21−a21ω2)D1+(c22−a22ω2)D2=Q2. (94)
Система линейных уравнений относительно D1 и D2 имеет решение
D1=1Δ[Q1(c22−a22ω2)−Q2(c12−a12ω2)];
D2=1Δ[Q2(c11−a11ω2)−Q1(c12−a12ω2)]; (95)
где Δ=(c11−a11ω2)(c22−a22ω2)−(c12−a12ω2)2 .
Динамический гаситель колебаний
В качестве примера 24 рассмотрим работу динамического гасителя колебаний. На рис.34.а схематично изображен механизм массой m1, установленный на упругих опорах суммарной жесткостью в вертикальном направлении c1.
Если частота ω возмущающей силы P=P0sinωt, создаваемой движущимися внутри механизма неуравновешенными частями, совпадает с частотой k=√c1m1свободных колебаний механизма на опорах, будет иметь место резонанс. Что бы этого избежать, установим на механизме массу m2 на пружине жесткостью c2. Новая механическая система, обладающая двумя степенями свободы, изображена на рис.34.б.
Выберем в качестве обобщенных координат y1 и y2 — абсолютные смещения по вертикали соответствующих масс от их положений статического равновесия. Мысленно отделим массы m1 и m2, приложим к ним действующие силы; запишем для каждой из масс дифференциальное уравнение вертикального движения:
m1¨y1=m1g−Fy1+Fy2+P0sinωt==m1g−c1(y1+Δ1)+c2(y2−y1+Δ2)+P0sinωt==−y1(c1+c2)+y2c2+P0sinωt;
m2¨y2=m2g−Fy2=m2g−c2(y2−y1+Δ2);
где Δi — удлинение i — ой пружины в положении статического равновесия.
Приведем уравнения системы к виду (92)
m1¨y1+(c1+c2)y1−c2y2=P0sinωt;
m2¨y2−c2y1+c2y2=0 .
Будем искать частное решение в виде
y*i=Disinωt.
Выполнив ряд действий, обсужденных выше, получим систему линейных уравнений (94) относительно D1 и D2
D1(c1+c2−m1ω2)−D2c2=P0;
D1c2−D2(c2−m2ω2)=0 .
Решение системы будет иметь вид:
D1=P0(c2−m2ω2)Δ; D2=P0c2Δ; Δ=(c1+c2−m1ω2)(c2−m2ω2)−c22 .
Для того, что бы амплитуда вынужденных колебаний механизма D1 была бы равна нулю, следует так подобрать массу m2 и жесткость c2 присоединяемого элемента, чтобы c2m2=ω2 .
В таком случае присоединяемый элемент оказывается для механизма динамическим гасителем колебаний. Собственные частоты основного механизма k*1 и присоединяемого элемента k*2 называются их парциальными частотами.
Вид зависимостей D1(ω2) и D2(ω2) приведен на рисунке 35.
На рисунке k1 и k2 — собственные частоты механической системы, состоящей из основного (c1 и m1) механизма и присоединяемого (c2 и m2) элемента; D*2 — амплитуда вибрации присоединяемого элемента при частоте вынуждающего воздействия, совпадающей с парциальной частотой основного механизма (а так же равной ей парциальной частоте присоединенного элемента).
Очевидно, что при ω=k*1=k*2 должно выполняться соотношение ω2=c1m1=c2m2.
Анализ соотношения показывает, что при очень малой массе гасителя (m2<<m1) его жесткость c2=m2ω2 так же должна быть очень малой; отмеченная особенность приводит к значительной амплитуде его колебаний D*2, что опасно либо технически нереализуемо.
В реальной механической системе всегда имеют место силы сопротивления, что приводит к невозможности полного гашения колебаний основного механизма.