70. Вынужденные колебания системы с двумя степенями свободы. Динамика

70. Вынужденные колебания системы с двумя степенями свободы

Автор admin На чтение 4 мин Просмотров 11.6к.

Вынужденные колебания

Предположим, что к точкам линейной механической системы, описываемой уравнениями (85), приложены гармонически изменяющиеся во времени с частотой $ω$ вынуждающие силы. Очевидно, что в таком случае дифференциальные уравнения движения будут иметь вид

$a_{11} {¨ q}_{1} + a_{12} {¨ q}_{2} + c_{11} q_{1} + c_{12} q_{2} = Q_{1} sin . ω t$ ;

$a_{21} {¨ q}_{1} + a_{22} {¨ q}_{2} + c_{21} q_{1} + c_{22} q_{2} = Q_{2} sin . ω t$ (92)

а общее решение представлять сумму из решения (91) системы однородных уравнений (85) и частного решения $q_{i}^{*} (t)$ , $i = 1, 2$ .

Будем искать частное решение в виде

$q_{i}^{*} = D_{i} sin . ω t$ , (93)

где $D_{i}$ — неопределенные коэффициенты, подлежащие определению; при этом предполагается, что резонанс в системе отсутствует, т.е. частота вынуждающего воздействия не совпадает ни с одной из частот главных колебаний ( $ω \neq k_{i}$ ; $i = 1, 2$ ). Продифференцируем искомые выражения для частного решения по времени дважды, подставим их в (92). Для удовлетворения этих равенств при любых $t$ , должны быть равны коэффициенты при $sin . ω t$ в правой и левой частях уравнений системы, т.е.

$(c_{11} - a_{11} ω^{2}) D_{1} + (c_{12} - a_{12} ω^{2}) D_{2} = Q_{1};$

$(c_{21} - a_{21} ω^{2}) D_{1} + (c_{22} - a_{22} ω^{2}) D_{2} = Q_{2}$ . (94)

Система линейных уравнений относительно $D_{1}$ и $D_{2}$ имеет решение

$D_{1} = \frac{1}{Δ} [Q_{1} (c_{22} - a_{22} ω^{2}) - Q_{2} (c_{12} - a_{12} ω^{2})];$

$D_{2} = \frac{1}{Δ} [Q_{2} (c_{11} - a_{11} ω^{2}) - Q_{1} (c_{12} - a_{12} ω^{2})];$ (95)

где $Δ = (c_{11} - a_{11} ω^{2}) (c_{22} - a_{22} ω^{2}) - (c_{12} - a_{12} ω^{2})^{2}$ .

Динамический гаситель колебаний

В качестве примера 24 рассмотрим работу динамического гасителя колебаний. На рис.34.а схематично изображен механизм массой $m_{1}$ , установленный на упругих опорах суммарной жесткостью в вертикальном направлении $c_{1}$ .

Если частота $ω$ возмущающей силы $P = P_{0} sin . ω t$ , создаваемой движущимися внутри механизма неуравновешенными частями, совпадает с частотой $k = \sqrt{\frac{c_{1}}{m_{1}}}$ свободных колебаний механизма на опорах, будет иметь место резонанс. Что бы этого избежать, установим на механизме массу $m_{2}$ на пружине жесткостью $c_{2}$ . Новая механическая система, обладающая двумя степенями свободы, изображена на рис.34.б.

Выберем в качестве обобщенных координат $y_{1}$ и $y_{2}$ — абсолютные смещения по вертикали соответствующих масс от их положений статического равновесия. Мысленно отделим массы $m_{1}$ и $m_{2}$ , приложим к ним действующие силы; запишем для каждой из масс дифференциальное уравнение вертикального движения:

$m_{1} {¨ y}_{1} = m_{1} g - F_{1}^{y} + F_{2}^{y} + P_{0} sin . ω t = . = m_{1} g - c_{1} (y_{1} + Δ_{1}) + c_{2} (y_{2} - y_{1} + Δ_{2}) + P_{0} sin . ω t = . = - y_{1} (c_{1} + c_{2}) + y_{2} c_{2} + P_{0} sin . ω t;$

$m_{2} {¨ y}_{2} = m_{2} g - F_{2}^{y} = m_{2} g - c_{2} (y_{2} - y_{1} + Δ_{2});$

где $Δ_{i}$ — удлинение $i$ — ой пружины в положении статического равновесия.

Приведем уравнения системы к виду (92)

$m_{1} {¨ y}_{1} + (c_{1} + c_{2}) y_{1} - c_{2} y_{2} = P_{0} sin . ω t;$

$m_{2} {¨ y}_{2} - c_{2} y_{1} + c_{2} y_{2} = 0$ .

Будем искать частное решение в виде

$y_{i}^{*} = D_{i} sin . ω t$ .

Выполнив ряд действий, обсужденных выше, получим систему линейных уравнений (94) относительно $D_{1}$ и $D_{2}$

$D_{1} (c_{1} + c_{2} - m_{1} ω^{2}) - D_{2} c_{2} = P_{0};$

$D_{1} c_{2} - D_{2} (c_{2} - m_{2} ω^{2}) = 0$ .

Решение системы будет иметь вид:

$D_{1} = \frac{P_{0} (c_{2} - m_{2} ω^{2})}{Δ};$ $D_{2} = \frac{P_{0} c_{2}}{Δ};$ $Δ = (c_{1} + c_{2} - m_{1} ω^{2}) (c_{2} - m_{2} ω^{2}) - c_{2}^{2}$ .

Для того, что бы амплитуда вынужденных колебаний механизма $D_{1}$ была бы равна нулю, следует так подобрать массу $m_{2}$ и жесткость $c_{2}$ присоединяемого элемента, чтобы $\frac{c_{2}}{m_{2}} = ω^{2}$ .

В таком случае присоединяемый элемент оказывается для механизма динамическим гасителем колебаний. Собственные частоты основного механизма $k_{1}^{*}$ и присоединяемого элемента $k_{2}^{*}$ называются их парциальными частотами.

Вид зависимостей $D_{1} (ω^{2})$ и $D_{2} (ω^{2})$ приведен на рисунке 35.

На рисунке $k_{1}$ и $k_{2}$ — собственные частоты механической системы, состоящей из основного ( $c_{1}$ и $m_{1}$ ) механизма и присоединяемого ( $c_{2}$ и $m_{2}$ ) элемента; $D_{2}^{*}$ — амплитуда вибрации присоединяемого элемента при частоте вынуждающего воздействия, совпадающей с парциальной частотой основного механизма (а так же равной ей парциальной частоте присоединенного элемента).

Очевидно, что при $ω = k_{1}^{*} = k_{2}^{*}$ должно выполняться соотношение $ω^{2} = \frac{c_{1}}{m_{1}} = \frac{c_{2}}{m_{2}}$ .

Анализ соотношения показывает, что при очень малой массе гасителя ( $m_{2} < < m_{1}$ ) его жесткость $c_{2} = m_{2} ω^{2}$ так же должна быть очень малой; отмеченная особенность приводит к значительной амплитуде его колебаний $D_{2}^{*}$ , что опасно либо технически нереализуемо.

В реальной механической системе всегда имеют место силы сопротивления, что приводит к невозможности полного гашения колебаний основного механизма.