42. Динамика относительного движения материальной точки. Динамика

Навигация

Дифференциальное уравнение динамики относительного движения точки
Частные случаи
Условие относительного покоя.

Дифференциальное уравнение динамики относительного движения точки

Запишем сначала дифференциальное уравнение динамики точки в инерциальной системе отсчета

$m - \to W = \to F + \to N$ (11)

где $\to F$ — равнодействующая всех задаваемых сил, $\to N$ — равнодействующая сил реакций.

Формула, связывающая ускорения точки в неподвижной и подвижной системах отсчета, была получена в курсе кинематики:

$- \to W = {- \to W}_{c} + {- \to W}_{e} + {- \to W}_{r}$ , (12)

где ${- \to W}_{c} = 2 {\to ω}_{e} \times {\to V}_{r}$ — ускорение Кориолиса; ${\to ω}_{e}$ — угловая скорость вращения подвижной системы относительно неподвижной; ${- \to W}_{e}$ — ускорение точки подвижной системы отсчета, с которой в данный момент совпадает рассматриваемая точка (переносное ускорение); ${\to V}_{r}; {- \to W}_{r}$ — скорость и ускорение точки в подвижной системе отсчета (относительные скорость и ускорение).

Поскольку неподвижная система отсчета инерциальная, подставим (12) в (11) и запишем дифференциальное уравнение в виде

$m {- \to W}_{r} = \to F + \to N + {\to F}_{e} + {\to F}_{c}$ . (13)

Слагаемые ${\to F}_{e} = - m {- \to W}_{e}$ и ${\to F}_{c} = - m {- \to W}_{c}$ называются, соответственно, переносной силой инерции и силой инерции Кориолиса. Уравнение (13) представляет собой основное уравнение динамики материальной точки, записанное в системе отсчета, движение которой по отношению к неподвижной (инерциальной) системе отсчета известно.

Ниже такие системы отсчета будем называть неинерциальными.

Сопоставление уравнений (11) и (13) показывает, что в инерциальной системе отсчета ускорение материальной точки является результатом действия приложенных к ней сил, т.е. взаимодействия с другими материальными телами; в неинерциальной системе ускорение материальной точки является как результатом действия на нее сил, так и результатом движения самой системы. Если действие сил является динамической причиной движения точки с некоторым ускорением, то движение системы отсчета по отношению к инерциальной системе можно назвать кинематической причиной появления ускорения.

Силы инерции ${\to F}_{e}$ и ${\to F}_{c}$ можно рассматривать как поправки к закону Ньютона на неинерциальность подвижной системы отсчета. Если в рамках конкретной задачи их величинами можно пренебречь по сравнению с остальными действующими на материальную точку силами, то рассматриваемую подвижную систему отсчета полагают инерциальной. Так, например, поступают при изучении движения тел с малыми скоростями относительно Земли. Но при скорости 1000м/с и выше (с которыми движутся снаряды, самолеты и ракеты) введение в основное уравнение динамики слагаемых ${\to F}_{e}$ и ${\to F}_{c}$ является обязательным.

Если движение происходит длительное время, то влияние сил инерции ${\to F}_{e}$ и ${\to F}_{c}$ (особенно силы инерции Кориолиса) становится так же заметным и их следует учитывать. В частности, действием силы инерции Кориолиса объясняются следующие явления в северном полушарии Земли:

— размывание реками правых берегов (закон Бэра);
— отклонение вправо морских течений и дрейфующих льдов;
— отклонение вправо ветров постоянного направления;
— отклонение снарядов и ракет вправо от плоскости стрельбы;
— больший износ правого рельса по сравнению с левым на двухколейных железных дорогах;
— отклонение падающих тел к востоку.

Частные случаи

Движение подвижной системы отсчета (переносное движение материальной точки) определяет вид основного уравнения динамики относительного движения материальной точки.

Так, если переносное движение – поступательное (в общем случае – криволинейное), то $W_{c} = 0$ (т.к. $ω_{e} = 0$ ), а

${- \to W}_{e} = {- \to W}_{e}^{n} + {- \to W}_{e}^{τ}$ , где $W_{e}^{n} = \frac{V_{e}^{2}}{ρ};$ $W_{e}^{τ} = \frac{d V_{e}}{d t}$ .

Тогда уравнение (1.23) принимает вид

$m {- \to W}_{r} = \to F + \to N + {\to F}_{e}^{τ} + {\to F}_{e}^{n}$ . (14)

В том случае, когда переносное движение поступательное ( $ω_{e} = 0$ ) и прямолинейное ( $ρ = \infty$ ), в полученном уравнении будет отсутствовать последнее слагаемое, т.е.

$m {- \to W}_{r} = \to F + \to N + {\to F}_{e}^{τ}$ . (15)

Если переносное движение будет поступательным, прямолинейным и равномерным ( $\frac{d V_{e}}{d t} = 0$ ), будут равны нулю все силы инерции; при этом вид уравнения аналогичен (11), т.е.

$m {- \to W}_{r} = \to F + \to N$ (16)

В этом случае подвижная система отсчета так же, как и неподвижная, будет инерциальной. Очевидно, что сделанный вывод позволяет в предыдущих рассуждениях заменить термин неподвижная система отсчета на более общий термин инерциальная.

Отсутствие принципиальной возможности каким-либо механическим опытом, основанным на наблюдении за движением материальных тел, отличить одну инерциальную систему отсчета от другой лежит в основе принципа относительности классической механики. Этот принцип утверждает: все механические явления в различных инерциальных системах отсчета протекают одинаково; либо — никаким механическим опытом нельзя обнаружить инерциальное движение системы отсчета, участвуя вместе с ней в этом движении.

Если переносно движение – вращение вокруг неподвижной оси, то ${\to F}_{e} = {\to F}_{e}^{o c} + {\to F}_{e}^{b p}$ ; где ${\to F}_{e}^{o c} = - m {\to ω}_{e} \times ({\to ω}_{e} \times \to r)$ ; ${\to F}_{e}^{b p} = - m {\to ε}_{e} \times \to r$ ; ${\to F}_{c} = - 2 m {\to ω}_{e} \times {\to V}_{r}$ , а уравнение (13) принимает вид

$m {- \to W}_{r} = \to F + \to N - m {\to ω}_{e} \times ({\to ω}_{e} \times \to r) - m {\to ε}_{e} \times \to r - 2 m {\to ω}_{e} \times {\to V}_{r}$ (17)

Если вращение происходит с постоянной угловой скоростью ${\to ω}_{e}$ , то четвертое слагаемое в правой части (17) будет равно нулю.

Условие относительного покоя.

В этом случае относительная скорость и относительное ускорение точки равны нулю, следовательно, равна нулю и сила инерции Кориолиса. Тогда уравнение относительного покоя будет иметь вид

$0 = \to F + \to N + {\to F}_{e}$ . (18)

ПРИМЕР 6. Призма движется по плоскости с постоянным ускорением $- \to W$ . На гладкой наклонной плоскости призмы находится груз М. Найти угол $α$ , при котором груз будет неподвижен относительно призмы.

РЕШЕНИЕ. Свяжем с плоскостью неподвижную координатную систему $O_{1} x_{1} y_{1}$ , а подвижную координатную систему $O x y$ — с призмой. Тогда движение груза по призме будет его относительным движением, а поступательное вместе с призмой (с ускорением $- \to W$ ) – переносным.
На рис.10 изобразим призму, груз и силы, на него действующие ( вес $m \to g$ , реакция гладкой поверхности $\to N$ и сила инерции переносного поступательного прямолинейного движения ${\to F}_{e} = - m - \to W$ ).
Спроецировав слагаемые уравнения относительного покоя (18) на ось $x$ , получим
$0 = m g sin . α - F_{e} cos . α = m (g sin . α - W cos . α)$ .
Отсюда величина искомого угла будет
$α = a r c t g (\frac{W}{g})$ .

ПРИМЕР 7 (задача 33.4 из [2]). Железнодорожный поезд идет со скоростью 15 м/сек по рельсам, проложенным по меридиану с юга на север. Масса поезда 2000 т.
Определить боковое давление поезда на рельсы, если он пересекает в данный момент северную широту $6 0^{0}$ .
Определить боковое давление поезда на рельсы, если он идет в том же месте с севера на юг.

РЕШЕНИЕ. Для определения бокового давления поезда на рельсы необходимо учесть вращение Земли вокруг своей оси с угловой скоростью $ω = \frac{2 π}{24 \cdot 3600} = 7.27 \cdot 1 0^{- 5} р а д / с е к$ .
На рисунке 11.а нанесены естественная координатная система $M τ n b$ и кинематические характеристики, необходимые для вычисления действующих сил. Здесь $V^{r} = 15 м / с е к$ — скорость относительного движения поезда, $W_{e} = W_{e}^{n} = ω^{2} R cos . 6 0^{0}$ — нормальное ускорение в переносном движении, $W_{c} = 2 ω V^{r} sin . 6 0^{0}$ — ускорение Кориолиса.

На рисунке 11.б — изображена схема сил, действующих на поезд.
42. Динамика относительного движения материальной точки
Здесь ${\to F}_{т}$ и ${\to F}_{т р}$ — сила тяги и сила трения, ${\to F}_{п р}$ — сила притяжения, ${\to Ф}_{е}$ и ${\to Ф}_{с}$ — силы инерции переносного движения и Кориолиса, ${\to N}_{в}$ и ${\to N}_{б о к}$ -вертикальная и боковая составляющие силы нормального давления на рельсы.
Проецируя силы на бинормаль к траектории, получим
$0 = N_{б о к} - Ф_{с}$ .
Откуда $N_{б о к} = Ф_{с} = m W_{c} = m 2 ω V^{r} sin . 6 0^{0} = 3778.7 (н)$
Боковое давление поезда на правый рельс обусловлено силой инерции Кориолиса (см. рис.11.б).

ПРИМЕР 8 (задача 33.10 из [2]). Горизонтальная трубка СD равномерно вращается вокруг вертикальной оси АВ с угловой скоростью $ω$ . Внутри трубки находится шар М. Определить скорость $V_{r}^{*}$ шара относительно трубки в момент его вылета, если в начальный момент $V_{r 0} = 0; y = y_{0}$ , длина трубки $L$ . Трением пренебречь.

РЕШЕНИЕ. Свяжем с неподвижными опорами и землей неподвижную инерциальную систему $A x_{1} y_{1} z_{1}$ . С трубкой свяжем подвижную координатную систему $C x y z$ и для некоторого промежуточного момента времени изобразим (см. рис.12) трубку и шарик с действующими на него силами (включая силы инерции).

Движение шарика по трубке примем за относительное движение, а вращение вместе с трубкой – за переносное.
Воспользовавшись формулами кинематики, будем иметь
$W_{e}^{n} = ω^{2} y$ ; $W_{e}^{τ} = 0$ ; $W_{c} = 2 ω V_{r}$ .
Вычислим соответствующие силы инерции ${\to F}_{e}^{n}$ и ${\to F}_{c}$ и приложим их к шарику. Добавим вертикальную ${\to N}_{1}$ и горизонтальную ${\to N}_{2}$ составляющие силы нормального давления со стороны трубки. Спроецировав соответствующие члены уравнения (1.23) на ось $y$ , получим дифференциальное уравнение:
$m \frac{d V_{r}}{d t} = F_{e}^{n} = m ω^{2} y$ .
Воспользуемся заменой $\frac{d V_{r}}{d t} = \frac{d V_{r}}{d y} \frac{d y}{d t} = \frac{d V_{r}}{d y} V_{r}$ и разделим переменные. Возьмем определенные интегралы от левой и правой частей уравнения:
$\int_{r}^{V * r} V_{r} d V_{r} = m ω^{2} \int_{y_{0}}^{L} y d y$ .
Окончательно имеем: $V_{r}^{*} = ω \sqrt{m (L^{2} - y_{0}^{2}})$ .
Заметим, что проецирование действующих сил на ось $z$ позволяет определить вертикальную составляющую реакции $N_{1} = m g$ , а проецирование на ось $x$ — горизонтальную как $N_{2} = 2 m ω V_{r}$ .