23. Вращение тела вокруг неподвижной оси. Простейшие движения твердого тела

Для определения скорости и ускорения точки (локальные кинематические характеристики) тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, могут быть использованы формулы (32) и (33), полученные при рассмотрении естественного способа задания положения точки. В частном случае – при движении точки по окружности постоянного радиуса $h$ (см. рис. 54), элемент длины дуги окружности будет $ds=h\cdot d\varphi$. Тогда:

$V=\frac{d}{s}=h\frac{d}{\varphi }=h\omega ;$  $W_{\tau }=\frac{d}{V}=h\frac{d}{\omega }=h\epsilon ;$

$W_n=\frac{V^2}{\rho }=\frac{h^2}{{\omega }^2}=h{\omega }^2$. (43)

Заметим, что полученное для скорости выражение может быть представлено как результат векторного произведения

$\overrightarrow{V}=\overrightarrow{\omega }\times \overrightarrow{r}=\left|\begin{array}{ccc}\overrightarrow{i}& \overrightarrow{j}& \overrightarrow{k}\\ 0& 0& {\omega }_z\\ x& y& z\end{array}\right|={\omega }_z(-\overrightarrow{i}y+\overrightarrow{j}x)$. (44.а)

Оба выражения для скорости точки M дают один и тот же результат, так как при вращении вокруг неподвижной оси z $\omega ={\omega }_z$.

Окончательно для проекций вектора скорости точки М на оси подвижной координатной системы и его величины имеем:

$V_x=-y\omega ;$  $V_y=x\omega ;$  $V_z=0;$  $V=\omega \sqrt{x^2+y^2}=\omega \cdot h$ . (44.б)

Заметим, что вычисление модуля векторного произведения дает тот же результат:

$V=\omega \cdot r\cdot \sin .(\overrightarrow{\omega }\widehat{;}\overrightarrow{r})=\omega \cdot h$ . (44.в)

Для получения ускорения точки М продифференцируем по времени выражение (44.а):

$\overrightarrow{W}=\frac{d}{\overrightarrow{V}}=\frac{d}{d}(\overrightarrow{\omega }\times \overrightarrow{r})=\frac{d}{\overrightarrow{\omega }}\times \overrightarrow{r}+\overrightarrow{\omega }\times \frac{d}{\overrightarrow{r}}=\overrightarrow{\epsilon }\times \overrightarrow{r}+\overrightarrow{\omega }\times \overrightarrow{V}$. (45)

Первое слагаемое в (45) называют вращательным ускорением, а второе – осестремительным. Модули этих составляющих и модуль ускорения точки определяются выражениями

$W_{ВР}=\epsilon \cdot r\cdot sin\left(\overrightarrow{\epsilon }\widehat{;}\overrightarrow{r}\right)=\epsilon \cdot h;$    $W_{ОС}=\omega \cdot V={\omega }^{2}h;$

$W=\sqrt{W_{ВР}^2+W_{ОС}^2}=h\sqrt{{\epsilon }^2+{\omega }^4}$. (46)

Если рассматривать движение точки по окружности, то первая составляющая является касательной составляющей ускорения, а вторая – нормальной (сравните выражения (43) и (46)).

На рис.54 изображены скорость и составляющие ускорения точки М при ускоренном вращении тела.

Необходимо отметить, что использование векторных соотношений особенно удобно при выполнении расчетов на ЭВМ, при этом векторы представляются в виде матриц, операции с которыми для ЭВМ являются стандартными.

РЕШЕНИЕ. Получим выражения для глобальных кинематических характеристик антенны:

$\varphi =0,5[t-(1-e^{-t}\left)\right]$;

$\omega =\dot{\varphi }=0,5[1-e^{-t}]$;

$\epsilon =\dot{\omega }=\ddot{\varphi }=0,5e^{-t}$ .

Мгновенные значения этих величин для трех моментов времени сведем в таблицу 3.1.

В формулах (3.6) и (3.8) для определения скоростей и ускорений точки А, а так же ее осестремительной и вращательной составляющих, расстояние от точки А до оси вращения будет $h=\sqrt{0,2^2+0,8^2}=0,82м$

Результаты вычислений так же занесем в таблицу.

Из полученных данных следует, что антенна начинает разгоняться с довольно большим угловым ускорением, которое впоследствии уменьшается. Вскоре (хотя формально при $t\to \infty$) антенна выходит на режим установившегося вращения. Начальное ускорение точки А состоит только из вращательной составляющей (рис.56.а).

Скорость и ускорение точки А, а так же его составляющие, имеющие место на этапе разгона ($t=1c$), изображены на рис.56.б.

Скорость и ускорение на заключительном этапе движения изображены на рис.56.в.