10. Схема решения задач статики. Статика

10. Схема решения задач статики

Автор admin На чтение 6 мин Просмотров 3.5к.

Схема:

выделяем объект, равновесие которого будет рассмотрено (точка, тело или механическая система);
прикладываем к объекту активные (задаваемые) силы;
освобождаем объект от связей, заменяя их соответствующими реакциями;
составляем уравнения равновесия системы сил, приложенных к объекту (в векторном или аналитическом виде);
решаем уравнения, находя неизвестные (параметры равновесного положения и (или) реакции связей).

ПРИМЕР 4 (задача (4.6) из [ 2 ]). Однородная балка АВ веса Р опирается на две гладкие наклонные направляющие СД и ДЕ, находящиеся в вертикальной плоскости; угол наклона первой из них к горизонту равен $α$ , второй: 90- $α$ . Найти угол $θ$ наклона балки к горизонту в положении равновесия и давление ее на направляющие.

Реакции в точках касания балки и гладких направляющих направлены по нормали к поверхностям последних; тогда точка пересечения направлений реакций К является вершиной прямоугольника АКВД. В случае равновесия балки по теореме о трех силах вертикальная линия силы веса так же должна проходить через эту точку. Очевидно, что точка О приложения веса однородной балки делит ее пополам, т.е. АО=ОВ. В таком случае она является точкой пересечения диагоналей прямоугольника АКВД. Итог рассуждений отображен на рис. 24.

Из рисунка видно, что треугольник АОД равнобедренный. Тогда должны быть равны углы при его основании, т.е. угол ОАД равен углу ОДА. Это равенство позволяет записать уравнение для вычисления угла $θ$ как

$α + θ = 9 0^{0} - α$ ; отсюда $θ = 9 0^{0} - 2 α$ ,

Запишем уравнения равновесия для системы сил, действующих на балку АВ:

$\sum F_{x} = 0 = N_{A} cos . (9 0^{0} - α) - N_{B} cos . α;$

$\sum F_{y} = 0 = N_{A} sin . (9 0^{0} - α) + N_{B} sin . α - P$ .

Решив систему, получим, что $N_{A} = P cos . α,$ $N_{B} = P sin . α$ .

ПРИМЕР 5 (задача 4.16 из [ 2 ]). Шлюпка висит на двух шлюпбалках, причем вес ее, равный 9.6 кН, распределяется между ними поровну.

Шлюпбалка АВС нижним полушаровым концом опирается на подпятник А и на высоте 1.8 м над ним свободно проходит через подшипник В; вылет шлюпбалки равен 2.4 м. Пренебрегая весом шлюпбалки, определить силы ее давления на опоры А и В.

Схематично изобразим шлюпбалку с действующими на нее опорными реакциями (см. рис. 25) и запишем уравнения равновесия полученной плоской системы сил:

$\sum F_{X} = 0 = - X_{A} - X_{B};$

$\sum F_{Y} = 0 = Y_{A} - \frac{P}{2};$

$\sum M_{A} = 0 = X_{B} 1, 8 - \frac{P}{2} 2, 4$

Решив систему относительно неизвестных составляющих опорных реакций, получим:

$X_{A} = - 6, 4 к Н;$ $Y_{A} = 4, 8 к Н;$ $X_{B} = 6, 4 к Н$

Теперь вычислим силы давления в опорах А и В, как

$R_{A} = \sqrt{X_{A}^{2} + Y_{A}^{2}} = 8 к Н;$ $R_{B} = X_{B} = 6, 4 к Н$

ПРИМЕР 6. Плоская конструкция состоит из трех стержней, соединенных в точке В шарниром. Конец А стержня АВ жестко заделан в вертикальную стену, а концы С и Д стержней ВС и ВД опираются, соответственно, на вертикальную и горизонтальную шарнирно – подвижные опоры. Размеры элементов конструкции и приложенная к ней нагрузка указаны на рис. 26.
Составить систему уравнений для нахождения опорных реакций в точках А, Д и С.

Мысленно освободив конструкцию от опор, заменим их действие пятью неизвестными реакциями (две силы и момент в точке А и по одной силе в точках С и Д). Запись трех уравнений равновесия для плоской системы сил, действующей на конструкцию в целом, не позволяет вычислить искомые неизвестные.

Учтем следующее соображение: если конструкция в целом находится в равновесии, то и каждый из ее элементов должен так же находиться в равновесии (т.е. для системы сил, действующих на каждый элемент, можно записать уравнения равновесия).

Тогда либо к уравнениям равновесия конструкции в целом добавляют недостающее число уравнений равновесия для ее элементов, либо записывают уравнения равновесия для каждого из элементов, формирующих конструкцию. В рассматриваемом примере выбран второй путь; соответствующие силовые схемы приведены на рис. 27.а,б,в (при этом распределенная по линейному закону нагрузка заменена соответствующей равнодействующей).

Для каждого из элементов и узла сочленения (шарнир В), запишем уравнения равновесия:

Стержень АВ:

$\sum F_{X} = 0 = - X_{A} + X_{B 1};$

$\sum F_{Y} = 0 = Y_{A} - Q + Y_{B 1};$ $Q = 3 q;$

$\sum M_{A} = 0 = Y_{B 1} 6 - Q 2 + M_{3}$ .

Стержень ВС:

$\sum F_{X} = 0 = X_{B 2} + P sin . α + X_{C};$

$\sum F_{Y} = 0 = Y_{B 2} - P cos . α;$

$\sum M_{B} = 0 = - X_{C} 3 - P 3;$

где $t g α = \frac{3}{4}$ =0,75

Стержень ВД:

$\sum F_{X} = 0 = X_{B 3};$

$\sum F_{Y} = 0 = Y_{B 3} + Y_{D};$

$\sum M_{B} = 0 = M + Y_{D} 4;$

Шарнир В:
$\sum F_{X} = 0 = X_{B 1} + X_{B 2} + X_{B 3};$

$\sum F_{Y} = 0 = Y_{B 1} + Y_{B 2} + Y_{B 3}$ .

Решив систему уравнений, найдем искомые составляющие опорных реакций:

$X_{A} = - P (1 - sin . α),$ $Y_{A} = Q + \frac{M}{4} + P cos . α, M_{3} = 2 Q + 6 (\frac{M}{4} + P cos . α),$

$X_{C} = - P,$ $Y_{D} = - \frac{M}{4}$ .

Замечание:

— если в узле сочленения соединяются два элемента, то условия равновесия в узле обычно не записываются, а на силовых схемах элементов сразу учитывается 4-я аксиома (третий закон Ньютона) о силах действия и противодействия.