65. Уравнение Лагранжа второго рода. Динамика

Рассмотрим механическую систему из n материальных точек $M_{k}$ ( $k = 1, 2, . . ., n$ ), ограниченную $l$ идеальными голономными связями. Ее положение в пространстве определим независимыми обобщенными координатами $q_{i}$ ( $i = 1, 2, . . ., s$ ), число которых соответствует числу степеней свободы $s$ механической системы. Обратимся к общему уравнению динамики (25) и запишем его в обобщенных координатах. Работа активных сил на возможных перемещениях, согласно (38) и (40), будет

$δ A = \sum_{i = 1}^{s} (\sum_{k = 1}^{n} {\to F}_{k} \frac{\partial {ˉ r}_{k}}{\partial q_{i}}) δ q_{i} = \sum_{i = 1}^{s} Q_{i} \cdot δ q_{i}$ . (46)

Преобразуем оставшиеся слагаемые

$n \sum k = 1 m_{k} {- \to W}_{k} \cdot δ {\to r}_{k} = n \sum k = 1 m_{k} \frac{d {\to V}_{k}}{d t} s \sum i = 1 \frac{\partial {\to r}_{k}}{\partial q_{i}} δ q_{i} =$

$= \sum_{i = 1}^{s} (\sum_{k = 1}^{n} m_{k} \frac{d {\to V}_{k}}{d t} \cdot \frac{\partial {\to r}_{k}}{\partial q_{i}}) δ q_{i}$ . (47)

Выражение в скобках представим так

$n \sum k = 1 m_{k} \frac{d {\to V}_{k}}{d t} \cdot \frac{\partial {\to r}_{k}}{\partial q_{i}} = \frac{d}{d t} n \sum k = 1 m_{k} {\to V}_{k} \frac{\partial {\to V}_{k}}{\partial {˙ q}_{i}} - n \sum k = 1 m_{k} {\to V}_{k} \frac{\partial {\to V}_{k}}{\partial q_{i}} =$

$= \frac{d}{d t} \cdot \frac{\partial}{\partial {˙ q}_{i}} \sum_{k = 1}^{n} \frac{m_{k} V_{k}^{2}}{2} - \frac{\partial}{\partial q_{i}} \sum_{k = 1}^{n} \frac{m_{k} V_{k}^{2}}{2} = \frac{d}{d t} (\frac{\partial T}{\partial {˙ q}_{i}}) - \frac{\partial T}{\partial q_{i}}$ , (48)

где $T = \sum_{k = 1}^{n} \frac{m_{k} V_{k}^{2}}{2}$ — кинетическая энергия системы, ${˙ q}_{i} = \frac{d q_{i}}{d t}$ — $i -$ ая обобщенная скорость.

Таким образом, общее уравнение динамики с учетом (48), (46) и (16) можно представить в виде

$\sum_{i = 1}^{s} (Q_{i} - \frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial {˙ q}_{i}} + \frac{\partial T}{\partial q_{i}}) δ q_{i} = 0$ .

Поскольку $δ q_{i}$ независимы, равенство выполняется, когда

$\frac{d}{d t} (\frac{\partial T}{\partial {˙ q}_{i}}) - \frac{\partial T}{\partial q_{i}} = Q_{i}$ ; $i = 1, 2, . . ., s$ . (49)

Мы получили систему обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно $s$ неизвестных функций $q_{i} (t)$ , определяющих закон движения механической системы. Число уравнений равно числу степеней свободы; форма их записи не зависит от конкретного выбора обобщенных координат; они не содержат реакций идеальных голономных связей. Уравнения (49) называются уравнениями Лагранжа второго рода.

ПРИМЕР 10. Используя Уравнения Лагранжа второго рода, составить дифференциальное уравнение движения первого груза механической системы из примера 7.

РЕШЕНИЕ. На рис.13 изображена механическая система с действующими на нее внешними силами.

Выберем за обобщенную координату линейное перемещение первого груза. Уравнения кинематических связей останутся прежними:
$V_{1} = ω_{2} \cdot R$ или ${˙ s}_{1} = {˙ ϕ}_{2} \cdot R$ ;
$ω_{2} \cdot r = ω_{3} 2 r_{3}$ или ${˙ ϕ}_{2} \cdot r = 2 {˙ ϕ}_{3} r_{3}$ ;
$V_{3} = ω_{3} \cdot r_{3}$ или ${˙ s}_{3} = {˙ ϕ}_{3} \cdot r_{3}$ .
Составим выражение для кинетической энергии механической системы:
$T = T_{1}^{п о с т} + T_{2}^{в р} + T_{3}^{п о с т} + T_{3}^{в р} = \frac{P_{1} {˙ s}_{1}^{2}}{2 g} + \frac{I_{2} {˙ ϕ}_{2}^{2}}{2} + \frac{P_{3} {˙ s}_{3}^{2}}{2 g} + \frac{I_{3} {˙ ϕ}_{3}^{2}}{2}$ .
При записи учтено, что мгновенный центр скоростей диска, катящегося без скольжения, расположен в точке его соприкосновения с плоскостью.
Вынесем за скобки квадрат обобщенной скорости
$T = \frac{{˙ s}_{1}^{2}}{2} (\frac{P_{1}}{g} + \frac{I}{R^{2}} + \frac{3 P_{3} r^{2}}{8 g R^{2}})$ .
При получении результата учтено, что осевой момент инерции однородного диска $I_{3} = \frac{P_{3} r_{3}^{2}}{2 g}$ .
Частная производная от кинетической энергии по обобщенной координате будет равна нулю, так как полученное выражение от обобщенной координаты не зависит.
Частная производная от кинетической энергии по обобщенной скорости будет
$\frac{\partial T}{\partial {˙ s}_{1}} = {˙ s}_{1} (\frac{P_{1}}{g} + \frac{I}{R^{2}} + \frac{3 P_{3} r^{2}}{8 g R^{2}})$ . Производная по времени от частной производной кинетической энергии по обобщенной скорости будет
$\frac{d}{d t} (\frac{\partial T}{\partial {˙ s}_{1}}) = {¨ s}_{1} (\frac{P_{1}}{g} + \frac{I}{R^{2}} + \frac{3 P_{3} r^{2}}{8 g R^{2}})$ .
Для вычисления обобщенной силы дадим системе возможное перемещение. Составим сумму работ всех внешних сил на соответствующих возможных перемещениях и вынесем возможное перемещение по обобщенной координате $s_{1}$ за скобки:
$δ A = P_{1} δ s_{1} - F_{у} δ s_{1} - P_{3} sin . α δ s_{3} - F_{с о п р} δ s_{3} = . = δ s_{1} [P_{1} - c (s_{1} + Δ) - P_{3} \frac{r}{R} sin . α - b {˙ s}_{1} \frac{r^{2}}{R^{2}}]$
Выражение в квадратных скобках и есть обобщенная сила для возможного перемещения по выбранной обобщенной координате.
После подстановки в (49) выражений для частных производных и обобщенной силы, а так же учета условия равновесия (см. пример 17 из лекции 6), окончательно имеем ${¨ s}_{1} (\frac{P_{1}}{g} + \frac{I}{R^{2}} + \frac{3 P_{3} r^{2}}{8 g R^{2}}) + {˙ s}_{1} \frac{b r^{2}}{R^{2}} + s_{1} \cdot c = 0$
Полученное уравнение совпадает с результатом решения примера 7.

ПРИМЕР 11 (задача 48.26 из [2]). Решим задачу из примера 8 (см. рисунок 14), используя уравнения Лагранжа второго рода.

РЕШЕНИЕ. Рассматриваемая механическая система обладает двумя степенями свободы. Выберем, как и при решении примера 8, в качестве независимых обобщенных координат горизонтальное перемещение $x$ груза А и вертикальный подъем $y$ груза В. Тогда, в силу нерастяжимости нити, опускание по вертикали $z$ центра блока Д (и груза К) будет зависеть от выбранных обобщенных координат.

Уравнение кинематической связи были получены при решении примера 6:
$V_{K} = \frac{V_{A} + V_{B}}{2} = \frac{˙ x + ˙ y}{2} = ˙ z$ .
Составим выражение для кинетической энергии системы
$T = T_{A} + T_{B} + T_{K} = \frac{M V_{A}^{2}}{2} + \frac{M_{1} V_{K}^{2}}{2} + \frac{M V_{B}^{2}}{2} = .$ $= \frac{(M_{1} / 4 + M) {˙ x}^{2}}{2} + M_{1} ˙ x ˙ y / 4 + \frac{(M_{1} / 4 + M) {˙ y}^{2}}{2}$
и возьмем соответствующие производные:
$\frac{\partial T}{\partial x} = \frac{\partial T}{\partial y} = 0$ ; $\frac{\partial T}{\partial ˙ x} = (M_{1} / 4 + M) ˙ x + M_{1} ˙ y / 4$ ;
$\frac{d}{d t} (\frac{\partial T}{\partial ˙ x}) = (M_{1} / 4 + M) ¨ x + M_{1} ¨ y / 4$ ; $\frac{\partial T}{\partial ˙ y} = (M_{1} / 4 + M) ˙ y + M_{1} ˙ x / 4$ ;
$\frac{d}{d t} (\frac{\partial T}{\partial ˙ y}) = (M_{1} / 4 + M) ¨ y + M_{1} ¨ x / 4$ ;
Выражения для обобщенных сил были получены при решении примера 6. Изменив индексы масс, (так как в задачах 46.21 и 48.26 из [5] они не совпадают) имеем:
$Q_{x} = \frac{δ A_{x}}{δ x} = - f M g + M_{1} g / 2$ ;
$Q_{y} = \frac{δ A_{y}}{δ y} = - M g + M_{1} g / 2$ .
Теперь составим систему из двух дифференциальных уравнений второго порядка
$(M_{1} / 4 + M) ¨ x + M_{1} ¨ y / 4 = - f M g + M_{1} g / 2$ ;
$M_{1} ¨ x / 4 + (M_{1} / 4 + M) ¨ y = - M g + M_{1} g / 2$ .
Сложим полученные уравнения и учтем результат дифференцирования уравнения кинематических связей $¨ z = \frac{¨ x + ¨ y}{2}$ . Окончательно получим
$¨ z = g \frac{M_{1} - M (1 + f)}{2 M_{1} + M}$ .
Очевидно, что груз К будет двигаться вниз, если числитель полученного выражения положителен, т.е. при $M_{1} > M (1 + f)$ .

Уравнение Лагранжа второго рода для консервативных систем

В случае действия на систему потенциальных сил, обобщенные силы могут быть найдены как

$Q_{i} = - \frac{\partial П}{\partial q_{i}}$ , $i = 1, 2, . . ., s$ (50)

где $П = П (q_{1}, q_{2}, . . ., q_{s})$ — потенциальная энергия системы.

Тогда уравнения Лагранжа принимают вид

$\frac{d}{d t} (\frac{\partial T}{\partial {˙ q}_{i}}) - \frac{\partial T}{\partial q_{i}} = - \frac{\partial П}{\partial q_{i}}$ , $i = 1, 2, . . ., s$ (51)

Если на систему действуют силы, имеющие потенциал и неконсервативные силы, то получим уравнения Лагранжа в виде

$\frac{d}{d t} (\frac{\partial T}{\partial {˙ q}_{i}}) - \frac{\partial T}{\partial q_{i}} = - \frac{\partial П}{\partial q_{i}} + Q_{i}^{H K}$ , $i = 1, 2, . . ., s$ (52)

Уравнения (51) можно преобразовать путем введения функции Лагранжа $L = T - П$ , называемой кинетическим потенциалом.

Выразим кинетическую энергию через кинетический потенциал и возьмем соответствующие производные из (51). Тогда, с учетом зависимости потенциальной энергии только от обобщенных координат, получим:

$T = L + П$ ; $\frac{\partial T}{\partial q_{i}} = \frac{\partial L}{\partial q_{i}} + \frac{\partial П}{\partial q_{i}}$ ; $\frac{\partial T}{\partial {˙ q}_{i}} = \frac{\partial L}{\partial {˙ q}_{i}}$ .

Окончательно имеем $\frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial {˙ q}_{i}}) - \frac{\partial L}{\partial q_{i}} = 0$ , $i = 1, 2, . . ., s$ (53)

Уравнения (51) или (53) называются уравнениями Лагранжа для консервативных систем.

ПРИМЕР 12. Составить уравнения движения двойного математического маятника, изображенного на рис. 15.

РЕШЕНИЕ. Составим выражение для кинетической энергии двойного математического маятника:
$T = T_{1} + T_{2} = \frac{P_{1} V_{1}^{2}}{2 g} + \frac{P_{2} V_{2}^{2}}{2 g}$ .
Скорость второй тяжелой точки ${\to V}_{2} = {\to V}_{1} + {\to V}_{21}$ , где $V_{1} = {˙ ϕ}_{1} l_{1}$ — скорость переносного движения с первой тяжелой точкой, а $V_{21} = ({˙ ϕ}_{2} - {˙ ϕ}_{1}) l_{2}$ — относительного вращения вокруг первой точки. Тогда $V_{2}^{2} = V_{1}^{2} + V_{21}^{2} + 2 V_{1} V_{21} cos . (ϕ_{2} - ϕ_{1})$ .
Выбрав, как и ранее, в качестве независимых обобщенных координат углы с вертикалью $ϕ_{1}$ и $ϕ_{2}$ , выражение для кинетической энергии можно привести к виду:
$T = \frac{1}{2 g} [(P_{1} + P_{2}) l_{1}^{2} {˙ ϕ}_{1}^{2} + 2 P_{2} l_{1} l_{2} {˙ ϕ}_{1} {˙ ϕ}_{2} cos . (ϕ_{2} - ϕ_{1}) + P_{2} l_{2}^{2} {˙ ϕ}_{2}^{2}]$ .

Вычислим соответствующие производные:
$\frac{\partial T}{\partial ϕ_{1}} = \frac{1}{g} P_{2} l_{1} l_{2} {˙ ϕ}_{1} {˙ ϕ}_{2} sin . (ϕ_{2} - ϕ_{1})$ ; $\frac{\partial T}{\partial ϕ_{2}} = - \frac{1}{g} P_{2} l_{1} l_{2} {˙ ϕ}_{1} {˙ ϕ}_{2} sin . (ϕ_{2} - ϕ_{1})$ ;
$\frac{\partial T}{\partial {˙ ϕ}_{1}} = \frac{1}{g} [(P_{1} + P_{2}) l_{1}^{2} {˙ ϕ}_{1} + P_{2} l_{1} l_{2} {˙ ϕ}_{2} cos . (ϕ_{2} - ϕ_{1})]$ ;
$\frac{\partial T}{\partial {˙ ϕ}_{2}} = \frac{1}{g} [P_{2} l_{1} l_{2} {˙ ϕ}_{1} cos . (ϕ_{2} - ϕ_{1}) + P_{2} l_{2}^{2} {˙ ϕ}_{2}]$ ;
$\frac{d}{d t} (\frac{\partial T}{\partial {˙ ϕ}_{1}}) = \frac{1}{g} [(P_{1} + P_{2}) l_{1}^{2} {¨ ϕ}_{1} + P_{2} l_{1} l_{2} {¨ ϕ}_{2} cos . (ϕ_{2} - ϕ_{1}) - . - P_{2} l_{1} l_{2} {˙ ϕ}_{2} ({˙ ϕ}_{2} - {˙ ϕ}_{1}) sin . (ϕ_{2} - ϕ_{1})]$
$\frac{d}{d t} (\frac{\partial T}{\partial {˙ ϕ}_{2}}) = \frac{1}{g} [P_{2} l_{1} l_{2} {¨ ϕ}_{1} cos . (ϕ_{2} - ϕ_{1}) - . - P_{2} l_{1} l_{2} {˙ ϕ}_{1} ({˙ ϕ}_{2} - {˙ ϕ}_{1}) sin . (ϕ_{2} - ϕ_{1}) + P_{2} l_{2}^{2} {¨ ϕ}_{2}]$
Для системы, изображенной на рис.15, ранее (см. пример 9) было составлено выражение для потенциальной энергии и найдены обобщенные силы, соответствующие обобщенным координатам $ϕ_{1}$ и $ϕ_{2}$ :
$П = - P_{1} l_{1} cos . ϕ_{1} - P_{2} (l_{1} cos . ϕ_{1} + l_{2} cos . ϕ_{2}) =$
$= - (P_{1} + P_{2}) l_{1} cos . ϕ_{1} - P_{2} l_{2} cos . ϕ_{2}$ ;
$Q_{1} = - \frac{\partial П}{\partial ϕ_{1}} = - (P_{1} + P_{2}) l_{1} sin . ϕ_{1}$ ;
$Q_{2} = - \frac{\partial П}{\partial ϕ_{2}} = - P_{2} l_{2} sin . ϕ_{2}$ .
Подставив полученные выражения в (51), получим систему из двух дифференциальных уравнений второго порядка, описывающих движение двойного математического маятника:
$(P_{1} + P_{2}) l_{1}^{2} {¨ ϕ}_{1} + P_{2} l_{1} l_{2} {¨ ϕ}_{2} cos . (ϕ_{2} - ϕ_{1}) + P_{2} l_{1} l_{2} {˙ ϕ}_{2}^{2} sin . (ϕ_{2} - ϕ_{1}) = . = - g (P_{1} + P_{2}) l_{1} sin . ϕ_{1}$
$P_{2} l_{1} l_{2} {¨ ϕ}_{1} cos . (ϕ_{2} - ϕ_{1}) + P_{2} l_{1} l_{2} {˙ ϕ}_{1}^{2} sin . (ϕ_{2} - ϕ_{1}) + P_{2} l_{2}^{2} {¨ ϕ}_{2} = . = - g P_{2} l_{2} sin . ϕ_{2}$

Циклические координаты, циклические интегралы

Обобщенные координаты, не входящие в явном виде в кинетический потенциал $L$ , называются циклическими координатами.

Предположим, что среди $s$ обобщенных координат $q_{1}; q_{2}; . . .; q_{k}; k < s$ являются циклическими.

Тогда, в соответствии с определением циклических координат, производные от кинетического потенциала по этим координатам равны нулю:

$\frac{\partial L}{\partial q_{j}} = 0$ ; $j = 1, 2, . . ., k$ .

В этом случае уравнения (53) принимают вид

$\frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial {˙ q}_{j}}) = 0$ ; $j = 1, 2, . . ., k$ .

Откуда $\frac{\partial L}{\partial {˙ q}_{j}} = C_{j} = c o n s t$ ; $j = 1, 2, . . ., k$ . (54)

Равенства (54) называются циклическими интегралами.

Как видно, циклические координаты позволяют сразу записывать первые интегралы, что значительно упрощает решение уравнений Лагранжа. По существу уравнения (54) представляют собой соотношения между кинематическими характеристиками движения, а учет каждого такого соотношения позволяет понизить на единицу порядок системы дифференциальных уравнений Лагранжа. В итоге вместо решения системы дифференциальных уравнений порядка 2 $s$ при $k$ циклических координатах требуется решать систему дифференциальных уравнений порядка $2 s - k$ . Поэтому обобщенные координаты следует выбирать так, чтобы возможно большее их число было циклическими.

ПРИМЕР 13 (задача 48.28 из [5]). Призма А массы $m$ скользит по гладкой боковой грани призмы В массы $m_{1}$ , образующей угол $α$ с горизонтом (см. рис.16.а).
Определить ускорение призмы В. Трением между призмой В и горизонтальной плоскостью пренебречь.

РЕШЕНИЕ. Система обладает двумя степенями свободы, так как для остановки всех тел системы необходимо зафиксировать две координаты, например перемещение $s$ призмы А относительно призмы В и горизонтальное перемещение $x$ самой призмы В.

Именно эти перемещения выберем в качестве независимых обобщенных координат. Составляя выражение для кинетической энергии учтем, что призма А участвует в двух движениях – переносном с призмой В и движении относительно нее (см. рис.16.б).

Тогда
$T = T_{B} + T_{A} = \frac{1}{2} m {˙ x}^{2} + \frac{1}{2} m_{1} ({˙ x}^{2} + {˙ s}^{2} - 2 ˙ x ˙ s cos . α) =$
$= \frac{1}{2} (m_{1} + m) {˙ x}^{2} + \frac{1}{2} m_{1} {˙ s}^{2} - m_{1} ˙ x ˙ s cos . α$ .
Составим выражение для потенциальной энергии (ее значение в начальном положении принято за нулевое):
$П = - m_{1} g s sin . α$ .
Подставим выражения энергий в функцию Лагранжа
$L = T - П = \frac{1}{2} (m_{1} + m) {˙ x}^{2} + \frac{1}{2} m_{1} {˙ s}^{2} - m_{1} ˙ x ˙ s cos . α + m_{1} g s sin . α$ .
Выполнив ряд формальных действий, довольно легко получить систему из двух дифференциальных уравнений Лагранжа, описывающих движение тел механической системы
$(m + m_{1}) ¨ x - m_{1} ¨ s cos . α = 0$ ;
$¨ s - ¨ x cos . α = g sin . α$ .
Решив систему уравнений, найдем ускорение призмы В:
$¨ x = \frac{m g sin . 2 α}{2 (m_{1} + m {sin}^{2} . α)}$ .
Заметим, что обобщенная координата $x$ является циклической, так как отсутствует в выражении кинетического потенциала. В таком случае мы могли без составления уравнений Лагранжа сразу записать выражение
$\frac{\partial L}{\partial ˙ x} = (m_{1} + m) ˙ x - m_{1} ˙ s cos . α = c o n s t$ ,
совпадающее с первым интегралом первого дифференциального уравнения. Полученное соотношение показывает, что абсцисса центра масс механической системы, в зависимости от начальных условий, либо сохраняет свою величину, либо изменяется пропорционально времени.

Особенности применения уравнений Лагранжа второго рода для систем с неидеальными связями

Уравнения Лагранжа получены для механической системы с идеальными, удерживающими и голономными связями. Это не означает, что их нельзя использовать для систем с неидеальными неудерживающими связями.

Например, если связи, наложенные на механическую систему неидеальны, их неизвестные реакции будут входить в выражения обобщенных сил. Очевидно, что наличие дополнительных неизвестных требует составления соответствующего числа дополнительных уравнений.

Именно так и было сделано при решении примера 6, где сила сухого трения вычислялась предварительно как произведение коэффициента трения на силу нормального давления; в свою очередь, сила нормального давления определялась из равенства нулю проекции на вертикаль главного вектора сил, действующих на груз А , то есть $F = f N = f M g$ .

В более сложных случаях в процессе движения реакции неидеальных связей могут изменяться. Для составления дополнительных уравнений обычно используют общие теоремы механики. Сказанное проиллюстрируем примером.

ПРИМЕР 14 (пример из [1], п.19.4). Ползун А линейки эллипсографа АВ скользит по шероховатой вертикальной стене, а ползун В – по гладкой горизонтальной поверхности (рис.17).

В этом случае связь, наложенная на конец А линейки эллипсографа — удерживающая неидеальная, а связь, наложенная на конец В – удерживающая идеальная. Линейка имеет одну степень свободы, ее положение может быть задано, например, углом $ϕ$ с вертикалью. Требуется получить дифференциальное уравнение движения линейки эллипсографа.
Составим выражение для кинетической энергии линейки:
$T = \frac{1}{2} m V_{C}^{2} + \frac{1}{2} I_{C} {˙ ϕ}^{2} = \frac{1}{6} m l^{2} {˙ ϕ}^{2}$ .
При выводе учтено, что точка С – центр масс линейки эллипсографа; скорость центра масс $V_{C}^{2} = {˙ x}_{C}^{2} + {˙ y}_{C}^{2}$ ,
где $x_{C} = \frac{1}{2} l sin . ϕ$ ; $y_{C} = \frac{1}{2} l cos . ϕ$ , а осевой момент инерции линейки при вращении вокруг центра масс $I_{C} = \frac{1}{12} m l^{2}$ ,
Составим выражение для потенциальной энергии силы веса, приняв горизонтальное положение линейки за нулевое:
$П = \frac{1}{2} m g l cos . ϕ$ .
Непотенциальная сила трения $F_{A} = f N_{A}$ , где $f$ — коэффициент трения скольжения (предполагается, что ползун А движется вниз, поэтому на рисунке сила трения направлена вверх). Для составления уравнения Лагранжа нужно определить обобщенную силу, соответствующую углу поворота, с учетом непотенциальной силы трения $F_{A}$ :
$δ A = δ A^{П О Т} + δ A^{Н Е П О Т} = δ A^{П О Т} - F_{A} δ y_{A}$ .
Поскольку $y_{A} = l cos . ϕ$ , то $δ y_{A} = - l sin . ϕ \cdot δ ϕ$ .
В таком случае $Q_{ϕ} = - \frac{\partial П}{\partial ϕ} - F_{A} l sin . ϕ = l (\frac{1}{2} m g - f N_{A}) sin . ϕ$ .
Возьмем соответствующие производные от кинетической энергии, выражение для обобщенной силы и составим уравнение Лагранжа второго рода:
$\frac{1}{3} m l ¨ ϕ = (\frac{1}{2} m g - f N_{A}) sin . ϕ$ .
Это уравнение не может быть проинтегрировано, так как величина $N_{A}$ неизвестна. Для ее определения используем теорему о движении центра масс механической системы, спроецировав соответствующее векторное уравнение на ось абсцисс: $m {¨ x}_{C} = N_{A}$ .
Поскольку $x_{C} = \frac{1}{2} l sin . ϕ$ , то ${¨ x}_{C} = \frac{l}{2} (¨ ϕ cos . ϕ - {˙ ϕ}^{2} sin . ϕ)$ .
Отсюда $N_{A} = \frac{m l}{2} (¨ ϕ cos . ϕ - {˙ ϕ}^{2} sin . ϕ)$ .
Внесем это выражение в уравнение Лагранжа. После преобразований, получим:
$(1 + \frac{3}{4} f sin . 2 ϕ) ¨ ϕ = \frac{3}{2} (\frac{g}{l} + f {˙ ϕ}^{2} sin . ϕ) sin . ϕ$ .

Это уравнение может быть проинтегрировано приближенными методами, однако дальнейшее решение выходит за рамки настоящего пособия.

Особенности применения уравнений Лагранжа второго рода для систем с неудерживающими связями

Ели связи, наложенные на механическую систему неудерживающие, может иметь место ситуация, когда связь в некоторый момент перестает действовать (либо наоборот – накладывается). Силовые схемы на этапах движения с действующей связью и без нее, различны и, как следствие, различны на этих этапах дифференциальные уравнения, описывающие движение механической системы.

Характерным примером является спуск с горы лыжника, который может оторваться от поверхности горы вследствие резкого изменения ее профиля (трамплин) либо достаточно высокой скорости на выпуклости. В последнем случае точка отрыва от связи (начало этапа полета) определяется равенством нулю силы нормального давления лыжника. Конечные положение и скорость на этапе скольжения есть начальные положение и скорость для этапа полета.

Точкой окончания этапа полета является точка пересечения траектории полета и профиля поверхности горы. Если в этой точке касательные к траектории движения и к профилю поверхности окажутся достаточно близкими, лыжник приземлится «мягко» (иногда говорят, что он хорошо «вписался»), если нет – будет иметь место механический удар.

Таким образом, решение задачи о движении механической системы с неудерживающими связями может представлять собой ряд этапов, для каждого из которых составляется своя силовая схема и выводятся свои дифференциальные уравнения; при этом конечные кинематические характеристики предыдущего этапа являются начальными для последующего.

На протяжении рассматриваемого этапа осуществляется контроль величины параметра, определяющего переход к следующему этапу движения, на котором либо какие–то связи прекращают действовать либо начинают действовать дополнительные связи. Сказанное проиллюстрируем примером.

ПРИМЕР 15 (пример из [1], п.19.4). Стержень АВ скользит без трения по сторонам прямого угла (рис. 18).

До тех пор, пока стержень опирается на стороны угла, связи не нарушены и уравнение движения стержня может быть получено из уравнения движения линейки эллипсографа при $f = 0$ , т.е.
$¨ ϕ = \frac{3}{2} \frac{g}{l} sin . ϕ$ . Это уравнение может быть представлено в виде
$d (\frac{{˙ ϕ}^{2}}{2}) = - \frac{3 g}{2 l} d (cos . ϕ)$ и проинтегрировано при начальных условиях $ϕ = ϕ_{0}$ , $˙ ϕ = 0$ (движение наклоненного стержня из состояния покоя).
Тогда первый интеграл будет ${˙ ϕ}^{2} = 3 \frac{g}{l} (cos . ϕ_{0} - cos . ϕ)$ .
Однако сразу использовать эти уравнения нельзя, так как не известно, произойдет или нет отрыв стержня от вертикальной стенки. Если отрыв может иметь место, то надо определить угол $ϕ_{1}$ , соответствующий этому моменту. Очевидно, что сила $N_{A}$ нормального давления на стену в момент отрыва должна стать равной нулю, то есть
$N_{A} = \frac{m l}{2} ({¨ ϕ}_{1} cos . ϕ_{1} - {˙ ϕ}_{1}^{2} sin . ϕ_{1}) = 0$ .
Выразим $¨ ϕ$ и ${˙ ϕ}^{2}$ из дифференциального уравнения движения и его первого интеграла и подставим в выражение для силы нормального давления. Тогда
$N_{A} = \frac{3}{4} m g sin . ϕ_{1} (3 cos . ϕ_{1} - 2 cos . ϕ_{0}) = 0$ ,
Отсюда $cos . ϕ_{1} = \frac{2}{3} cos . ϕ_{0}$ . Таким образом, полученное уравнение Лагранжа определяет движение не при всех $ϕ$ , как это было в случае удерживающих связей, а только если $ϕ_{0} \leq ϕ \leq ϕ_{1}$ .

С момента отрыва точки А от вертикальной стены стержень будет иметь не одну, а две степени свободы (по предположению движение происходит в вертикальной плоскости). Если нас интересует дальнейшее движение стержня, то, как уже говорилось выше, для второго этапа движения следует изобразить стержень АВ с действующими на него силами (см. рис.18 при отсутствии реакции ${\to N}_{A}$ ), получить каким-либо методом дифференциальные уравнения движения стержня и проинтегрировать их. При этом начальными условиями для второго этапа будут найденный угол $ϕ_{1}$ , при котором происходит отрыв точки А стержня от вертикальной стены, и угловая скорость ${˙ ϕ}_{1}$ , которой обладал стержень в этот момент времени.

Следует отметить, что единообразие в составлении уравнений Лагранжа, с одной стороны являясь его достоинством, с другой стороны не позволяет, в некоторых случаях, произвести анализ действия сил, и, как следствие, поведения механической системы, что для инженера оказывается серьезным недостатком. Избежать этого позволяет комбинирование уравнений Лагранжа с общими теоремами механики (как это было сделано выше).