Положение системы отсчета в пространстве может быть определено совокупностью трех линейно-независимых векторов→ei(i=1,2,3) не обязательно взаимно ортогональных и не обязательно единичной длины (рис.41). Эта совокупность представляет собой базис пространства.
Положение точки М можно задать радиусом-вектором →r=O−→M, проведенным из точки О базиса в данную точку М. Каждому вектору →r базиса →ei соответствует упорядоченная последовательность действительных чисел α1,α2,α3:
→r=α1→e1+α2→e2+α3→e3.
При движении точки радиус-вектор изменяется по модулю и направлению, т.е. является функцией времени t:
→r=→r(t).
В курсе математики существует полезное для наших целей понятие о годографе вектора как линии, описываемой концом этого переменного вектора, если его начало находится все время в одной и той же точке. С учетом сказанного траектория движущейся точки представляет собой годограф ее радиуса-вектора.
Пусть в некоторый момент времени t положение движущейся точки определяется радиусом-вектором →r=O−→M, а через весьма малый промежуток времени Δt — радиусом-вектором →r1=O−→M1 (см. рис.42). Перемещение точки за время Δt определяется вектором M−→M1=Δ→r. Отношение этого вектора к соответствующему промежутку времени Δt является средней скоростью точки →VСР=Δ→r/Δt; направление →VCP совпадает с Δ→r.
Предел, к которому стремиться средняя скорость, когда Δt→0, задает скорость точки в момент времени t:
→V=limΔt→0Δ→r/Δt=d→r/dt=˙→r. (23)
Направление вектора →V(t) совпадает с предельным положением вектора Δ→r, т.е. с касательной к траектории в точке M.
Аналогичные рассуждения позволяют определить ускорение точки в момент времени t как:
−→W=limΔt→0Δ→V/Δt=d→V/dt=˙→V=¨→r. (24)
Формулы (23) и (24) лаконичны, имеют ясный физический смысл и удобны при выводе кинематических соотношений, однако не позволяют производить вычисления, что является результатом любой инженерной деятельности.