В ряде случаев приходится устанавливать соотношения между кинематическими характеристиками точки в двух различных системах отсчета, движущихся друг относительно друга.
Такова, например, задача об определении скорости и ускорения конца лопасти гребного винта в неподвижной системе отсчета через те же характеристики, но в системе отсчета, связанной с судном.
Будем называть сложным или абсолютным движением точки ее движение по отношению к неподвижной системе отсчета. Движение по отношению к подвижной системе отсчета будем называть относительным. Движение той точки подвижной системы отсчета, с которой в данный момент времени совпадает рассматриваемая точка, называется переносным движением.
Аналогичные названия имеют кинематические характеристики точки в указанных движениях.
Переносное и относительное движения предполагаются нами происходящими независимо, т.е. при рассмотрении картины переносного движения (КПД) относительное движение как бы «замораживается», а при рассмотрении картины относительного движения (КОД) «замораживается» переносное.
В зависимости от постановки задачи искомым может оказаться любое из трех названных движений.
Примечание: в силу произвольности выбора подвижной системы отсчета одно и то же абсолютное движение, в принципе, можно представить бесконечным множеством вариантов выделения составляющих движений; в каждом случае рациональный выбор варианта определяется реальной ситуацией. Например, за летящим в небе самолетом можно наблюдать из поступательно двигающегося автомобиля либо из вращающейся радиолокационной станции; очевидно, что относительные и переносные движения в этих случаях будут существенно отличаться.
Возьмем неподвижную координатную систему Ox1y1z1 и движущуюся по отношению к ней известным образом подвижную систему Axyz (рис.78).
Радиус-вектор точки М в координатной системе Ox1y1z1 (кинематическая характеристика абсолютного движения) обозначим →r=→r(t), радиус-вектор точки А (начала подвижной системы отсчета) — →rA=→rA(t).
Положение точки М в подвижной координатной системе Axyz (кинематическая характеристика относительного движения) определяется вектором →ρ=→ρ(t), так что
→r=ˉrA+→ρ . (64)
Особенность выражения (64) заключается в том, что входящие в него векторы задаются в различных системах отсчета. При проецировании (64) на оси любой системы отсчета следует учесть движение систем отсчета по отношению друг к другу.
Естественно, что дифференцирование векторных величин в подвижных системах отсчета обладает некоторыми особенностями вследствие переменности направлений ортов координатных осей.
Возьмем радиус-вектор точки →ρ=→ρ(t), заданный в подвижной координатной системе проекциями ρx;ρy;ρz. Обозначим орты подвижной системы соответственно →i;→j;→k. Тогда →ρ может быть представлен в виде →ρ=→iρx+→jρy+→kρz.
Вследствие того, что оси подвижной координатной системы меняют свое направление, производная по времени от →ρ будет
d→ρdt=dρxdt→i+dρydt→j+dρzdt→k+d→idtρx+d→jdtρy+d→kdtρz. (65)
Сумма первых трех слагаемых представляет собой производную в подвижной системе осей и называется относительной или локальной производной (обозначим ее ˜d→ρdt ), т.е.
˜d→ρdt=dρxdt→i+dρydt→j+dρzdt→k.
Ее физический смысл – скорость точки в подвижной системе отсчета, т.е. относительная скорость. Для того, чтобы выяснить смысл трех последних слагаемых в (63-7.2), вспомним, что в главе 4 была получена формула
d→rdt=→ω×→r, если ∣∣→r∣∣=const.
где →ω — угловая скорость подвижной координатной системы.
Заменяя в этой формуле радиус-вектор →r последовательно на →i;→j;→k, получим
d→idt=→ω×→i; d→jdt=→ω×→j; d→kdt=→ω×→k;
С учетом сказанного сумма последних трех слагаемых в выражении (63-7.2) примет вид
d→idtρx+d→jdtρy+d→kdtρz=→ω×→iρx+→ω×→jρy+→ω×→kρz=→ω×→ρ.
Итак, абсолютная производная радиуса-вектора равна сумме его относительной производной и векторного произведения угловой скорости подвижной системы на этот радиус-вектор, т.е.
d→ρdt=˜d→ρdt+→ω×→ρ . (66)