67. Учет линейно – вязкого сопротивления

Силу, зависящую от скорости точки и противоположную ей по направлению, называют силой трения или сопротивления (демпфирования). Часто действующие на точки механической системы силы сопротивления ${\overrightarrow{F}}_i$ можно считать прямо пропорциональными скоростям ${\overrightarrow{V}}_i$ этих точек

${\overrightarrow{F}}_i=-{\beta }_i{\overrightarrow{V}}_i$. (67)

Здесь ${\beta }_i$— коэффициент пропорциональности. Энергетической характеристикой всей совокупности этих сил (аналог (55), (56)) является диссипативная функция Рэлея (функция рассеивания энергии)

$R={\sum }_{i=1}^{n=2}\frac{{\beta }_i}{V_i^2}=\frac{b_{11}}{2}{\dot{q}}_1^2+b_{12}{\dot{q}}_1{\dot{q}}_2+\frac{b_{22}}{2}{\dot{q}}_2^2$ , (68)

где ${\beta }_{ij}$ — обобщенные коэффициенты сопротивления.

Очевидно, что для системы с одной степенью свободы (68) примет вид

$R={\sum }_{i=1}^{n=1}\frac{{\beta }_i}{V_i^2}=\frac{b}{2}{\dot{q}}^2$ .

При известной функции Релея уравнения Лагранжа второго рода примут вид

$\frac{d}{d}\left(\frac{\partial }{T}\right)-\frac{\partial }{T}=-\frac{\partial }{П}-\frac{\partial }{R}$ ; $i=1,2,...,s$.     (69)

Тогда для системы с одной степенью свободы получается следующая математическая модель

$\ddot{q}+2n\dot{q}+k_{*}^{2}q=0$ . (70)

При $t=0;q\left(0\right)=q_0;\dot{q}\left(0\right)={\dot{q}}_0$.

Здесь $n=\frac{b}{2}$ и $k_{*}=\sqrt{k^2-n^2}$.

Для действительных значений параметра $k_{*}$, когда $k^2-n^2>0$ (малое сопротивление), получается следующее решение:

$q=e^{-nt}[\frac{{\dot{q}}_0}{+}\sin .(k_{*}t)+q_0\cos .(k_{*}t)]$ . (71)

Иная форма записи, содержащая амплитуду $A_0$ и начальную фазу $\alpha$, имеет вид

$q=A_0{e}^{-nt}\sin .(k_{*}t+\alpha )$; $A_0=\frac{1}{k_{*}}\sqrt{k_{*}^2{q}_0^2+({\dot{q}}_0+n{q}_0{)}^2}$ ;

$\alpha =arctg\frac{q_0}{k_{*}}$ .

Движение системы с линейным сопротивлением вообще не является периодическим и с течением времени затухает.

При малом трении локальные максимумы отклонений $q\left(t\right)$ повторяются через равные интервалы времени ${\tau }_{*}=\frac{2}{\pi }$ (см. рис.24).

Удобной характеристикой затухания является логарифмический декремент, представляющий собой натуральный логарифм отношения любых двух последовательных локальных максимумов $q\left(t\right)$ и $q(t+{\tau }_{*})$:

$\Lambda =n{\tau }_{*}=\frac{2}{\pi }$ .

Для критического значения демпфирования $b=2\sqrt{ac}$ (или $k_{*}=0$) решение уравнения (70) имеет вид

$q=e^{-kt}\left[\right(k{q}_0+{\dot{q}}_0)t+q_0]$.

При больших значениях коэффициента сопротивления, когда $k^2-n^2<0$, решение $q\left(t\right)$ представляется в виде

$q=\frac{-}{s_1}{e}^{s_{1}t}+\frac{{\dot{q}}_0}{-}{e}^{s_{2}t}$ ; (72)

$s_{1,2}=\frac{-}{b}$ .

Здесь $s_1<0$ и $s_2<0$, так что обобщенная координата $q\left(t\right)$ постепенно убывает, как и при $k^2-n^2>0$ (см.рис.25).

Результаты наблюдений показали, что отклонения модели от положения равновесия после каждого размаха уменьшаются, составляя геометрическую прогрессию, знаменатель которой равен 0.9, а продолжительность каждого размаха постоянна и равна ${\tau }_{*}$ = 0.5сек. Определить силу сопротивления $b$ воды, приходящуюся на каждый килограмм массы модели, при скорости ее равной 1 м/сек.