Силу, зависящую от скорости точки и противоположную ей по направлению, называют силой трения или сопротивления (демпфирования). Часто действующие на точки механической системы силы сопротивления →Fi можно считать прямо пропорциональными скоростям →Vi этих точек
→Fi=−βi→Vi. (67)
Здесь βi— коэффициент пропорциональности. Энергетической характеристикой всей совокупности этих сил (аналог (55), (56)) является диссипативная функция Рэлея (функция рассеивания энергии)
R=∑n=2i=1βiV2i2=b112˙q21+b12˙q1˙q2+b222˙q22 , (68)
где βij — обобщенные коэффициенты сопротивления.
Очевидно, что для системы с одной степенью свободы (68) примет вид
R=∑n=1i=1βiV2i2=b2˙q2 .
При известной функции Релея уравнения Лагранжа второго рода примут вид
ddt(∂T∂˙qi)−∂T∂qi=−∂П∂qi−∂R∂˙qi ; i=1,2,...,s. (69)
Тогда для системы с одной степенью свободы получается следующая математическая модель
¨q+2n˙q+k2*q=0 . (70)
При t=0;q(0)=q0;˙q(0)=˙q0.
Здесь n=b2a и k*=√k2−n2.
Для действительных значений параметра k*, когда k2−n2>0 (малое сопротивление), получается следующее решение:
q=e−nt[˙q0+nq0k*sin(k*t)+q0cos(k*t)] . (71)
Иная форма записи, содержащая амплитуду A0 и начальную фазу α, имеет вид
q=A0e−ntsin(k*t+α); A0=1k*√k2*q20+(˙q0+nq0)2 ;
α=arctgq0k*˙q0+nq0 .
Движение системы с линейным сопротивлением вообще не является периодическим и с течением времени затухает.
При малом трении локальные максимумы отклонений q(t) повторяются через равные интервалы времени τ*=2πk* (см. рис.24).
Удобной характеристикой затухания является логарифмический декремент, представляющий собой натуральный логарифм отношения любых двух последовательных локальных максимумов q(t) и q(t+τ*):
Λ=nτ*=2πb√4ac−b2 .
Для критического значения демпфирования b=2√ac (или k*=0) решение уравнения (70) имеет вид
q=e−kt[(kq0+˙q0)t+q0].
При больших значениях коэффициента сопротивления, когда k2−n2<0, решение q(t) представляется в виде
q=−s1q0+˙q0s1−s2es1t+˙q0−s2q0s2−s1es2t ; (72)
s1,2=−b±√b2−4ac2a .
Здесь s1<0 и s2<0, так что обобщенная координата q(t) постепенно убывает, как и при k2−n2>0 (см.рис.25).
ПРИМЕР 21 (задача 32.62 из [2]). Для определения сопротивления воды движению модели судна при малых скоростях модель М пустили плавать в бассейн, прикрепив нос и корму посредством двух одинаковых пружин А и В, силы натяжения которых пропорциональны удлинениям (рис.26).
Результаты наблюдений показали, что отклонения модели от положения равновесия после каждого размаха уменьшаются, составляя геометрическую прогрессию, знаменатель которой равен 0.9, а продолжительность каждого размаха постоянна и равна τ* = 0.5сек. Определить силу сопротивления b воды, приходящуюся на каждый килограмм массы модели, при скорости ее равной 1 м/сек.
РЕШЕНИЕ. Поскольку амплитуды размахов составляют геометрическую прогрессию, а продолжительности размахов одинаковы, сила сопротивления жидкости пропорциональна скорости движения, т.е. Fc=mbV, где m — масса модели в килограммах, а V=˙x — скорость горизонтального движения модели в м/сек. Составим дифференциальное уравнение горизонтального движения модели
m¨x=−Fc−Fy=−mb˙x−cx , где c — суммарная жесткость пружин А и В.
Приведем уравнение к виду (5.15)
¨x+2n˙x+k2x=0 , где 2n=b, а k2=cm.
Воспользуемся формулой, связывающей декремент затухания с продолжительностью размахов
enτ*=e0.25b=0.9.
Прологарифмируем полученное выражение и найдем
b=4ln0.9=0.42[н⋅секкг⋅м] .