69. Вынужденные колебания системы с одной степенью свободы. Динамика

Навигация

Вынужденные колебания без сопротивления
Явление резонанса
Явление биений
Влияние линейно-вязкого сопротивления на вынужденные колебания

Вынужденные колебания без сопротивления

Можно выделить два типа возбуждения вынужденных колебаний:

— колебания вызываются вынуждающими силами (силовое возбуждение); при этом его частным, но достаточно распространенным случаем является силовое гармоническое возбуждение $P = P_{0} sin . ω t$ ;
— колебания вызываются заданным во времени перемещением (абсолютным или относительным) точки (или точек) механической системы (кинематическое возбуждение). Важным частным случаем такого возбуждения является гармоническое возбуждение $x = x_{0} sin . ω t$ .

На рисунке 29 для простейшей механической системы, состоящей из амортизированного груза, приведены различные типы возбуждения гармонических колебаний:

а — возбуждение силовое,
б – кинематическое, с заданным абсолютным смещением точки крепления пружины,
в — кинематическое, с заданным относительным смещением конца поршня демпфера,
г – кинематическое, с заданным относительным движением (вращением) несбалансированной части в виде математического маятника (инерционное возбуждение).

Независимо от типа возбуждения (силовое или кинематическое) при гармоническом воздействии уравнение Лагранжа приводится к виду

$¨ q + k^{2} q = \frac{Q_{0}}{a} sin . ω t$ . (76)

Здесь $Q_{0}$ — амплитуда возбуждения, которая может быть:

— постоянной – первый тип возбуждения (рис.29.а);
— пропорциональной частоте $ω$ — второй тип возбуждения (рис.29.в);
— пропорциональной квадрату частоты $ω$ — третий тип возбуждения (рис.29.б,г).

Решение неоднородного уравнения (76) представляет сумму решений однородного уравнения и частного решения. В случае несовпадения частоты вынуждающего воздействия $ω$ и частоты свободных колебаний $k$ решение имеет вид

$q = \frac{Q_{0}}{c (1 - \frac{ω^{2}}{k^{2}})} sin . ω t + C_{1} sin . k t + C_{2} cos . k t$ . (77)

Оно отличается от решения (65) наличием слагаемого

$q^{*} = \frac{Q_{0}}{c (1 - \frac{ω^{2}}{k^{2}})} sin . ω t$ (78)

которое в технике называется вибрацией. Очевидно, что вибрация представляет собой моногармонические колебания с частотой вынуждающего воздействия и амплитудой

$A = \frac{Q_{0}}{c ∣ ∣ 1 - \frac{ω^{2}}{k^{2}} ∣ ∣}$ .

Зависимость $A_{1} (ω)$ для первого типа возбуждения называется амплитудно-частотной характеристикой или динамической податливостью системы. Отнесенная к статической податливости $A_{C T} = \frac{Q_{0}}{c}$ эта величина называется коэффициентом динамичности $μ_{1} = \frac{1}{∣ ∣ 1 - \frac{ω^{2}}{k^{2}} ∣ ∣}$ .

Зависимость $μ_{1} (\frac{ω}{k})$ , одинаковая для всех систем с одной степенью свободы, приведена на рис.30.а.

Она показывает, во сколько раз смещение от динамического воздействия на систему с частотой $ω$ превышает статическое смещение, вызываемое силой $Q_{0}$ ( $ω \to 0$ ).

Графики аналогов коэффициента динамичности для возбуждений второго типа ( $μ_{2} = μ_{1} \frac{ω}{k}$ — когда $Q_{0}$ пропорциональна $ω$ и $μ_{3} = μ_{1} \frac{ω^{2}}{k^{2}}$ , когда $Q_{0}$ пропорциональна $ω^{2}$ ), приведены на рис.30.б и 30.в, соответственно.

Зависимость $ϕ_{1} (ω)$ для первого типа возбуждения называется фазово-частотной характеристикой механической системы; она отражает сдвиг фаз между вынуждающим воздействием и смещением механической системы. Отметим, что при $ω < k$ вынуждающая сила и смещение сонаправлены ( $ϕ_{1} = 0$ ), а при $ω > k$ – находятся в противофазе ( $ϕ_{1} = π$ ). Графики этих зависимостей для всех случаев одинаковы и, в силу их очевидности, не приводятся.

Явление резонанса

Рассмотрим более подробно ситуацию, когда $ω = k$ . Частное решение уравнения (76) в этом случае следует искать в виде $q^{*} = t B sin . (ω t + γ)$ . Подставив это предположение в (76), получаем два соотношения

$2 B ω cos . (γ - β) = 0;$

$- 2 B ω sin . (γ - β) = h$ .

Отсюда $B = - \frac{h}{2 ω}$ , $γ = β + \frac{π}{2}$ . Окончательно получим

$q = A sin . (k t + α) - \frac{h t}{2 ω} cos . (ω t + β)$ . (79)

График этой зависимости (при нулевых начальных условиях) приведен на рис.31.

Как видно, при $ω = k$ происходит неограниченное возрастание амплитуды вибрации, причем рост амплитуды линейно зависит от времени. Из этого факта следует важный вывод: если рабочая частота механизма находится за частотой резонанса, последнюю следует проходить быстро (чтобы амплитуда вибрации не успела достигнуть опасных значений, вызывающих разрушение механизма).

Явление биений

В случае, когда частота $ω$ близка к собственной частоте $k$ , благодаря наложению колебаний наступает своеобразное явление, называемое биением.

Опуская выкладки (при желании с ними можно ознакомиться, например, в [1]), для вибрации получаем зависимость

$q ≅ 2 \frac{h}{k^{2} - ω^{2}} sin . (\frac{ω - k}{2} t) cos . (ω t + β)$ . (80)

График этого движения представлен на рис.32.

Показанные здесь биения представляют собой колебания, происходящие с частотой $ω$ вынуждающей силы, причем амплитуда этих колебаний медленно меняется, следуя также периодическому закону. Чем ближе величина $ω$ к собственной частоте $k$ , тем амплитуда биений больше; при $ω = k$ биения переходят в резонанс. После прохода резонанса вновь возникают биения, исчезающие с ростом частоты вынуждающего воздействия.

В системах с сопротивлением (см. следующий пункт) резонансный режим движения с конечной амплитудой существует.

Замечания: 1. При действии на линейную механическую систему полигармонического воздействия решение может быть получено в виде суммы решений, выполненных для каждого из гармонических воздействий.
При действии на линейную механическую систему воздействия, допускающего разложение в ряд Фурье, решение может быть получено как сумма решений для каждого из членов ряда. Очевидно, что такой подход удобен только в том случае, если ряд сходится достаточно быстро и для получения решения с удовлетворяющей нас точностью можно оставить сравнительно небольшое количество членов разложения.
При действии на линейную механическую систему произвольного воздействия можно воспользоваться, например, методом вариации произвольных постоянных, предложенного впервые Лагранжем. Его применение выходит за рамки настоящего конспекта, но с ним можно ознакомиться, например, в [1].

ПРИМЕР 22. Виброметр используется для определения амплитуд вертикальных колебаний одной из частей машины. В подвижной системе прибора демпфер отсутствует. Собственная частота колебаний виброметра – 6 Гц. В каком диапазоне должна находиться частота вибрации, чтобы погрешность измерения ее амплитуды не превышала 5%?

РЕШЕНИЕ. Очевидно, что в рассматриваемом примере имеет место кинематическое возбуждение колебаний, при котором $Q_{0} = a A ω^{2};$ где $a$ — инерционная характеристика виброметра, $A$ — амплитуда его кинематического возбуждения, а $ω$ — частота . Из рис.30.в и формулы (78) видно, что при $\frac{ω}{k} > > 1$ амплитуда вибрации $B = \frac{Q_{0}}{c (1 - \frac{ω^{2}}{k^{2}})}$ стремиться к амплитуде кинематического возбуждения $A$ (так как $μ_{3} = \frac{B}{A}$ стремиться к единице).
Очевидно, что в таком случае показания виброметра будут наиболее точно регистрировать колебания объекта, на котором он установлен; при этом кинематическое возбуждение и относительное движение груза в виброметре будут в противофазе (т.е. $ϕ = π$ ).
Воспользуемся формулой (78) для расчета отношения $\frac{B}{A}$ . Потребуем, чтобы величина этого отношения отличалась от 1 (их точное совпадение) не более, чем на 5%, т.е. была бы равна 1.05.
Тогда на границе искомого диапазона должно выполняться равенство
$\frac{B}{A} = 1.05 = ∣ ∣ \frac{ω^{2}}{k^{2} - ω^{2}} ∣ ∣$ .
Выполнив расчет, получим, что
$ω \geq k \sqrt{\frac{1, 05}{1, 05 - 1}} = k \sqrt{21} = 27, 5 Г ц$ .
Из графика 30.в видно, что и в дорезонансной области существуют частоты вибрации, где соотношение
$0, 95 \leq ∣ ∣ ∣ \frac{p^{2}}{k^{2} - p^{2}} ∣ ∣ ∣ \leq 1, 05$
выполняется, однако конструировать виброметр для работы в столь узком диапазоне частот не имеет смысла.

Влияние линейно-вязкого сопротивления на вынужденные колебания

В случае гармонического возбуждения при учете сил сопротивления дифференциальное уравнение имеет вид

$¨ q + 2 n ˙ q + k^{2} q = \frac{Q_{0}}{a} sin . ω t$ (81)

при $t = 0; q (0) = q_{0}; ˙ q (0) = {˙ q}_{0}$ .

Полностью с учетом начальных условий колебательный процесс $q (t)$ описывается системой соотношений

$q = e^{- n t} (C_{1} sin . k_{*} t + C_{2} cos . k_{*} t) + \frac{Q_{0} sin . (ω t - γ)}{a \sqrt{(k^{2} - ω^{2})^{2} + 4 n^{2} ω^{2}}}$ (82)

где $γ$ — угол фазового отставания силы от смещения $q$ , подчиняющийся условию

$c t g γ = \frac{k^{2} - ω^{2}}{2 n ω}$ .

Из (82) видно, что при любых числах $C_{1}$ и $C_{2}$ , т.е. при любых начальных условиях, решение $q (t)$ с течением времени приближается к виду

$q^{*} = \frac{Q_{0}}{a \sqrt{(k^{2} - ω^{2})^{2} + 4 n^{2} ω^{2}}} sin . (ω t - γ)$ . (83)

Вводя, как в предыдущем параграфе, понятие коэффициента динамичности $μ_{1}$ , получим для первого типа возбуждения (постоянная амплитуда вынуждающей силы) выражение

$μ_{1} = \frac{1}{\sqrt{[1 - \frac{ω^{2}}{k^{2}}]^{2} + 4 n^{2} \frac{ω^{2}}{k^{4}}}}$ . (84)

Для возбуждений второго типа соответствующие коэффициенты будут связаны прежними зависимостями:

$μ_{2} = μ_{1} \frac{ω}{k}$ ; $μ_{3} = μ_{1} \frac{ω^{2}}{k^{2}}$ .

Амплитудно-частотная и фазово-частотная характеристики для этого случая (графики зависимостей $μ_{1} (\frac{ω}{k}; n)$ и $ϕ (\frac{ω}{k}; n)$ ) приведены на рис.33.

Заметим, что с ростом сопротивления максимальные значения амплитуд вынужденных колебаний уменьшаются, а при значениях $n_{3} \geq \frac{\sqrt{2}}{2}$ коэффициент динамичности монотонно убывает. Хотя максимумы коэффициентов динамичности несколько смещены влево относительно резонансной частоты $ω_{*} = k$ , такие смещения настолько малы, что принято считать максимальными (резонансными) значения $μ_{i}^{*} = μ_{i} (ω_{*}); i = 1, 2, 3 .$ Эту величину в некоторых источниках называют добротностью механической системы; чем она больше, тем больше резонансные амплитуды.

Отметим, что величина сдвига фаз между вынуждающим воздействием и смещением механической системы имеет различные значения при различных частотах вынуждающего воздействия и коэффициентах сопротивления среды (без учета сопротивления до резонанса сдвиг фаз отсутствовал, после резонанса он был равен $π$ ).