Обсудим влияние сухого трения в ходе решения задачи о движении груза массы m по горизонтальной шероховатой поверхности (см. рис.27), коэффициент трения скольжения f для которой задан; груз присоединен к стене пружиной длины l и жесткости c.
Нанесем на рисунок силы, действующие на груз при его движении в положительном направлении оси q. Запишем дифференциальное уравнение движения груза
m¨q=−Fтр−Fупр=−fN−cx=−fmg−cq
и приведем его к виду ¨q+k2q=−fg. (73)
Это неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка, решение которого есть сумма решений однородного уравнения (64) и частного решения. Последнее находится достаточно просто, если предположить, что его величина постоянна и равна B. После подстановки B в неоднородное уравнение, получим B=−fgk2.
Тогда общее решение неоднородного уравнения запишется как q=Asin(kt+α)−fgk2.
Заметим, что полученное решение справедливо только при совпадении направлений перемещения и скорости точки (при q>0;˙q>0 либо q<0;˙q<0). При движении материальной точки в противоположном направлении (например, q>0;˙q<0), сила трения изменит направление на противоположное (F→‘тр на рис.27), что приведет к изменению знака правой части дифференциального уравнения и, как следствие, знака частного решения.
Окончательно имеем:
q=Asin(kt+α)−fgk2 при ˙q>0 ;
q=Asin(kt+α)+fgk2 при ˙q<0 . (74)
Зависимость перемещения груза от времени изображена на рис.28.
В настоящем конспекте ограничимся обсуждением приведенного результата (с подробным решением задачи можно ознакомиться, например, в [1]). Хотя движение, описываемое формулами (74), строго говоря, не является периодическим (так как с течением времени максимальные отклонения точки от положения равновесия уменьшаются), в механике такое движение принято называть затухающими колебаниями.
- Заметим, что, во-первых, анализируемое движение должно рассматриваться как последовательность этапов, в пределах каждого из которых величина скорости точки сохраняет свой знак; время, положение и скорость в конце предыдущего этапа оказываются начальными условиями для последующего этапа. В результате период затухающих колебаний τ=2πk равен периоду свободных колебаний, а амплитуды колебаний образуют арифметическую прогрессию, т.е. ai−ai+1=2fgk2. (75)
- Во-вторых, движение точки заканчивается в тот момент, когда ее максимальное отклонение (при этом скорость точки равна нулю) оказывается в зоне, называемой зоной нечувствительности или зоной застоя. Ширина зоны определяется величиной силы сухого трения (в этой зоне сила упругости пружины оказывается меньше силы сухого трения, т.е. Fупр=cai<Fтр=fmg, и точка не может продолжить свое движение).