72. Элементарная теория удара. Динамика

Навигация

Основные допущения
Коэффициент восстановления при ударе
Косой удар материальной точки о неподвижную гладкую поверхность
Потеря кинетической энергии при ударе материальной точки о неподвижную поверхность
Теоремы об изменении количества движения и кинетического момента механической системы при ударе
Удар по телу, имеющему ось вращения. Условия отсутствия ударных реакций. Центр удара
Косой центральный удар двух шаров

Основные допущения

При контакте двух тел в точке соприкосновения возникают равные противоположно направленные силы действия и противодействия. Закон изменения этих сил приведен на рис.38. Импульс силы $F$ за время ее действия $τ$ определяется как

$S = \int_{0}^{τ} F d t$ . (102)

Поскольку при ударе время действия силы несоизмеримо меньше промежутков времени, для которых обычно рассматривается движение, величину $τ$ полагают равной нулю. В таком случае рассмотрение результата действия силы за промежуток времени заменяется рассмотрением приложения мгновенного импульса $S$ конечной величины (102). Мгновенное действие силы, при котором ее импульс имеет конечную величину, называется ударом, а соответствующая сила – ударной силой.

Найдем, как изменяется скорость и положение материальной точки при действии ударной силы (мгновенного импульса). Для этого запишем в интегральной форме теорему об изменении ее количества движения

$m \to V - m ⇀ v = \to S$ или $\to V - \to v = \frac{\to S}{m}$ , (103)

где $m$ — масса точки, а $\to V$ и $\to v$ — ее скорость в конце и в начале удара, соответственно. Так как импульс $\to S$ имеет конечную величину, то при ударе скорость точки мгновенно изменяется на конечную величину.

Перепишем (103) в виде $\to V ⎛ ⎜ ⎝ t ⎞ ⎟ ⎠ = \frac{d \to r}{d t} = \to v + \frac{\to S (t)}{m}$ . Разделив переменные и взяв интегралы от обеих частей равенства, получим (используя теорему о среднем из курса интегрального исчисления)

$Δ \to r = {\to r}_{k} - {\to r}_{0} = (\to v + \frac{{\to S}_{c p}}{m}) τ$ , (104)

где ${\to r}_{0}$ и ${\to r}_{k}$ — радиусы – векторы точки в начальный и конечный момент времени, а ${\to S}_{c p}$ — среднее значение импульса $\to S (t)$ на промежутке [0; $τ$ ]. Анализ (104) показывает, что при действии ударной силы перемещение точки отсутствует (при $τ \to 0$ перемещение точки $Δ \to r \to 0$ ).

Если на точку действует ударная сила $\to F (t)$ и обычная медленно меняющаяся во времени сила $\to P (t)$ , то их суммарный импульс ${\to S}_{*}$ за время $τ$ будет

${\to S}_{*} = \int_{0}^{τ} \to F (t) d t + \int_{0}^{τ} \to P (t) d t ≅ \to S + {\to P}_{c p} τ$ , где последний интеграл записан по теореме о среднем. Очевидно, что при $τ \to 0$ последнее слагаемое так же стремиться к нулю и ${\to S}_{*} ≅ \to S$ .

На этом основании при исследовании процессов, происходящих при ударе, медленно изменяющиеся ограниченные по модулю силы не учитываются.

Все сказанное справедливо для любых сил, изменение которых происходит по закону, изображенному на рис.38 (например, при взрыве).

Коэффициент восстановления при ударе

Процесс удара можно разбить на две фазы. В первой фазе тела сближаются по линии общей нормали, при этом проекция на нормаль относительной скорости точки контакта уменьшается до нуля, а тела деформируются. Во второй фазе тела восстанавливают свою форму, а проекция на нормаль относительной скорости начинает возрастать, изменив знак. Как правило, ее значение, достигнутое по окончании второй фазы, не превышает начального значения на первой фазе.

Как показывают опыты, в первом приближении можно принять гипотезу Ньютона: отношение модуля нормальной составляющей относительной скорости точки контакта после удара к ее величине до удара есть некоторая постоянная величина, называемая коэффициентом восстановления $ε$ . Эта величина характеризует физические свойства соударяющихся тел; она не зависит от их масс и относительных скоростей.

Если $ε = 1$ , удар называется абсолютно упругим, если $ε = 0$ , то удар абсолютно неупругий, если $0 < ε < 1$ — не вполне упругий, или просто упругий.

Заметим, что абсолютно неупругий удар не имеет второй фазы и после удара тела либо движутся вместе, либо одно тело скользит по поверхности другого.

Обозначим через $\to n$ единичный вектор общей нормали двух соударяющихся тел (она называется линией удара). Пренебрегая трением, будем считать, что ударные силы и их импульсы направлены по общей нормали $n$ к поверхностям соударяющихся тел.

Пусть скорости ${\to v}_{1}$ и ${\to v}_{2}$ точек контакта первого и второго тел в начале удара направлены по линии удара; по этой же линии будут направлены скорости ${\to V}_{1}$ и ${\to V}_{2}$ соответствующих точек в конце удара (рис.39).

Заметим, что в таком случае удар называется прямым (в противном случае удар оказывается косым). Если центры масс тел $C_{1}$ и $C_{2}$ будут расположены на линии удара — удар называется центральным. Если векторы скоростей совпадают с линией удара, проходящей через центры масс тел, удар называется прямым центральным.

По определению коэффициента восстановления можно записать

$∣ ∣.∣ ∣ \frac{({\to V}_{2} - {\to V}_{1}) \cdot \to n}{({\to v}_{2} - {\to v}_{1}) \cdot \to n} ∣ ∣.∣ ∣ = ε$ (105)

или, учитывая изменение направления относительной скорости,

$({\to V}_{2} - {⇀ V}_{1}) \cdot \to n = - ε ({\to v}_{2} - {\to v}_{1}) \cdot \to n$ . (106)

Если для каждого из тел ввести свой единичный вектор внутренней нормали ( $\to n = {\to n}_{2} = - {\to n}_{1}$ ), формулу (106) можно переписать в виде

${\to V}_{2} \cdot {\to n}_{2} + {\to V}_{1} \cdot {\to n}_{1} = - ε ({\to v}_{2} \cdot {\to n}_{2} + {\to v}_{1} \cdot {\to n}_{1})$ . (107)

Коэффициент восстановления может быть получен в результате достаточно простого эксперимента – падения шарика на неподвижную ( $v_{2} = V_{2} = 0$ ) плиту. Зная высоту $h_{0}$ , с которой без начальной скорости был отпущен шарик, и измерив высоту $h_{k}$ , на которую он поднимется после отскока, получим

$ε = \frac{V_{1}}{v_{1}} = \frac{\sqrt{2 g h_{k}}}{\sqrt{2 g h_{0}}} = \sqrt{\frac{h_{k}}{h_{0}}} \leq 1$ .

Значения коэффициента восстановления для различных пар соударяющихся тел приводятся в справочниках. Например, при соударении стекла со стеклом $ε = \frac{15}{16}$ ; стали со сталью $ε = \frac{5}{9}$ ; дерева с деревом $ε = \frac{1}{2}$ .

Косой удар материальной точки о неподвижную гладкую поверхность

В случае, когда неподвижная поверхность гладкая, ее реакция и ударный импульс $\to S$ направлены по нормали к ней (рис.40).

Тогда запись теоремы об изменении количества движения (103) примет вид

$m \to V - m \to v = S \cdot \to n$ . (108)

Проецируя (108) на касательную $τ$ и нормаль $n$ , получим

$V_{τ} - v_{τ} = 0;$

$V_{n} - v_{n} = \frac{S}{m}$ . (109)

Таким образом, касательная составляющая скорости сохраняет свою величину и направление; нормальная составляющая направление изменяет на противоположное, при этом изменение ее величины определяется величиной ударного импульса.

Если известен коэффициент восстановления $ε$ , можно найти скорость точки $\to V$ (ее модуль и угол отражения $β$ ), а также модуль ударного импульса $S$ .

Сначала воспользуемся первой формулой из (109): $v sin . α - V sin . β = 0$ .

Отсюда $\frac{V}{v} = \frac{sin . α}{sin . β}$ . Поскольку одно из соударяющихся тел неподвижно, (105) принимает вид

$ε = ∣ ∣ \frac{V_{n}}{v_{n}} ∣ ∣ = \frac{V cos . β}{v cos . α} = \frac{sin . α cos . β}{sin . β cos . α} = \frac{c t g β}{c t g α}$ .

Для угла отражения окончательно имеем $β = a r c c t g (ε \cdot c t g α)$ .

Теперь определим модуль скорости после удара:

$V = v \frac{sin . α}{sin . β} = v sin . α \sqrt{1 + c t g^{2} β} = v sin . α \sqrt{1 + ε^{2} c t g^{2} α}$ .

Анализ полученных выражений показывает, что при любом не вполне упругом ударе модуль скорости отражения всегда меньше модуля скорости падения, а угол отражения больше угла падения. При абсолютно неупругом ударе точка «рикошетирует» от идеально гладкой поверхности, сохраняя лишь касательную составляющую. При абсолютно упругом ударе угол падения равен углу отражения, модуль скорости не изменяется.

Для нахождения ударного импульса воспользуемся второй формулой из (109) . Учтем, что $V_{n} = - ε v_{n}; v_{n} = - v cos . α$ . Тогда

$S = m (V_{n} - v_{n}) = m v_{n} (ε + 1) = m v (ε + 1) cos . α$ .

Из этого соотношения видно, что максимальный ударный импульс имеет место при прямом ударе ( $α = 0$ ).

Потеря кинетической энергии при ударе материальной точки о неподвижную поверхность

Изменение кинетической энергии при ударе определяется как разность ее значений до и после удара, т.е.

$Δ T = T_{k} - T_{0} = \frac{m}{2} (V^{2} - v^{2})$ .

Учтем, что $V_{τ} = v_{τ}; V_{n} = ε | v_{n} |$ . Тогда

$Δ T = T_{k} - T_{0} = - \frac{m}{2} (1 - ε^{2}) v_{n}^{2}$ . (110)

Из (110) следует, что при абсолютно упругом ударе ( $ε = 1$ ) потери кинетической энергии нет, при абсолютно неупругом ударе ( $ε = 0$ ) вся кинетическая энергия переходит в другие формы энергии (в частности, в тепловую). При не вполне упругом ударе переходит в другие формы энергии только часть кинетической энергии.

Формула (110) может быть записана через «потерянную скорость» $∣ ∣ ∣ \to V - \to v ∣ ∣ ∣$ . Если учесть равенство касательных составляющих скоростей падения и отражения, для потерянной скорости можно записать выражение

$∣ ∣ ∣ \to V - \to v ∣ ∣ ∣ = V_{n} + | v_{n} | = ε | v_{n} | + | v_{n} | = (1 + ε) | v_{n} |$ .

Тогда (110) примет вид

$Δ T = T_{k} - T_{0} = - \frac{m}{2} \cdot \frac{1 - ε}{1 + ε} \cdot (\to V - \to v)^{2}$ . (111)

Заметим, что при абсолютно неупругом ударе ( $ε = 0$ ) потеря кинетической энергии равна кинетической энергии потерянной скорости, т.е.

$Δ T = T_{k} - T_{0} = - \frac{m}{2} \cdot (\to V - \to v)^{2}$ .

Теоремы об изменении количества движения и кинетического момента механической системы при ударе

Рассуждения и действия, аналогичные выполненным в предыдущих параграфах для материальной точки, позволяют получит формулы для общих теорем механики при ударе для механической системы.

Так теоремы о движении центра масс и об изменении количества движения в интегральной форме можно записать в виде

$M ({\to V}_{C} - {\to v}_{C}) = {\to S}^{e}$ , (112)

где $M$ — масса всей механической системы, ${\to v}_{C}$ и ${\to V}_{C}$ — скорость центра масс до и после удара, а ${\to S}^{e}$ — главный импульс внешних ударных сил (импульс внешних неударных сил при ударе обращается в нуль). Поскольку перемещения точек, к которым приложены ударные силы, равны нулю, то центр масс при ударе не меняет своего положения. Скорость центра масс меняется мгновенно.

Интегральная форма теоремы об изменении кинетического момента, записанная для неподвижного центра, будет

${\to K}_{O 2} - {\to K}_{O 1} = \sum_{i = 1}^{n} {\to r}_{i} \times {\to S}_{i}^{e} = {\to L}_{O}^{e} ({\to S}_{i}^{e})$ , (113)

где ${\to K}_{O 1}$ и ${\to K}_{O 2}$ — кинетический момент точек механической системы относительно неподвижного центра О до и после удара, а ${\to L}_{O}^{e}$ — главный момент всех внешних импульсов ударных сил относительно точки О.

Если движение механической системы представить как сумму поступательного движения с кинематическими характеристиками центра масс и сферического движения относительно центра масс, то запись теоремы об изменении кинетического момента будет иметь структуру выражения (113), т.е.

${\to K}_{C 2}^{r} - {\to K}_{C 1}^{r} = \sum_{i = 1}^{n} {\to r}_{i} \times {\to S}_{i}^{e} = {\to L}_{C}^{e} ({\to S}_{i}^{e})$ , (114)

где ${\to K}_{C 1}^{r}$ и ${\to K}_{C 2}^{r}$ — кинетический момент точек механической системы до и после удара, вычисленные относительно движущегося центра масс С, а ${\to L}_{C}^{e}$ — вычисленный относительно точки С главный момент всех внешних импульсов ударных сил.

Для твердого тела удобно выбрать координатную систему, жестко связанную с телом; начало координат следует поместить в неподвижную точку (если она есть) либо в центр масс. Тогда, на основании (113) либо (114) и выражений для проекций кинетического момента механической системы на неподвижные оси (эти выражения были получены в прошлом семестре), можно записать систему скалярных уравнений

$I_{x} (Ω_{x} - ω_{x}) - I_{x y} (Ω_{y} - ω_{y}) - I_{x z} (Ω_{z} - ω_{z}) = L_{x}^{e};$

$- I_{y x} (Ω_{x} - ω_{x}) + I_{y} (Ω_{y} - ω_{y}) - I_{y z} (Ω_{z} - ω_{z}) = L_{y}^{e};$

$- I_{z x} (Ω_{x} - ω_{x}) - I_{z y} (Ω_{y} - ω_{y}) + I_{z} (Ω_{z} - ω_{z}) = L_{z}^{e}$ . (115)

В этих уравнениях $ω_{j}$ и $Ω_{j}$ — проекции вектора угловой скорости тела в начале и в конце удара на $j$ — ю координатную ось, $I_{i j}$ — соответствующий момент инерции, а $L_{j}^{e}$ — проекция момента внешних ударных сил на $j$ — ю координатную ось.

Если оси координат будут главными осями инерции, то при $i \neq j; I_{i j} = 0$ и выражения (115) существенно упростятся.

Если тело имеет плоскость материальной симметрии, параллельно которой происходит движение и все ударные силы лежат в этой плоскости, то из трех уравнений остается одно

$I_{j} (Ω_{j} - ω_{j}) = L_{j}^{e}$ , (116)

где ось $j$ — координатная ось, проходящая через центр масс тела перпендикулярно плоскости его материальной симметрии.

ПРИМЕР 27. Однородный стержень АО массы $M$ и длины $l$ , в точке О прикреплен к потолку цилиндрическим шарниром, а в точке А — нитью. В начальный момент времени стержень занимает горизонтальное положение (рис.41).
На горизонтальной гладкой плоскости на одной вертикали с шарниром О находится брусок массы $m$ ; расстояние от шарнира до плоскости $l$ . В некоторый момент времени нить была перерезана. Считая удар стержня по бруску абсолютно неупругим, определить скорость, которую будет иметь брусок после удара.

РЕШЕНИЕ. Определим скорость $v_{A}$ конца А стержня до удара, для чего воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии в интегральной форме $T_{1} - T_{0} = A^{e} + A^{i}$ , где конечная кинетическая энергия стержня $T_{1} = \frac{I ω^{2}}{2} = \frac{M l^{2} v_{A}^{2}}{6 l^{2}} = \frac{M v_{A}^{2}}{6}$ , начальная — $T_{0} = 0$ , а работа активных сил $A_{0 \to 1}^{e} = M g \frac{l}{2}$ .
Тогда $v_{A} = \sqrt{3 g l}$ .
Поскольку удар абсолютно неупругий ( $ε = 0$ ), то скорости соударяющихся тел после удара будут одинаковы, т.е. $V_{A} = V_{B} = V$ . Применим к механической системе из стержня и бруска теорему об изменении кинетического момента (113), спроецировав ее выражение на ось цилиндрического шарнира $z$ . Поскольку внешние импульсы ударных сил на эту механическую систему не действуют, $L_{z O}^{e} = 0$ . В таком случае кинетический момент системы до удара $K_{z 1}$ (когда брусок покоился), должен быть равен кинетическому моменту $K_{z 2}$ после удара, когда конец стержня и брусок обладают равными скоростями, т.е. $K_{z 1} = K_{z 2}$ , где $K_{z 1} = I ω_{1} = \frac{M l^{2}}{3} \frac{v_{A}}{l} = \frac{M l}{3} \sqrt{3 g l}$ ;
$K_{z 2} = I ω_{2} + m V l = \frac{M l^{2}}{3} \frac{V}{l} + m V l = V (\frac{M}{3} + m) l$ .
Тогда окончательно имеем
$V = \frac{M \sqrt{3 g l}}{M + 3 m}$ .

Удар по телу, имеющему ось вращения. Условия отсутствия ударных реакций. Центр удара

Пусть на тело, ось вращения которого в точке А имеет сферический шарнир либо подпятник, а в точке В – цилиндрический шарнир, действует ударный импульс $\to S$ . При этом в точках А и В должны возникнуть дополнительные опорные реакции, имеющие характер ударных сил. Определим эти реакции, полагая известными величины инерционных характеристик тела и ударного импульса.

Пусть ударный импульс $\to S$ приложен в точке М тела. Совместим плоскость $y A z$ с плоскостью, походящей через точку С — центр масс тела (см. рис. 42).

Спроецируем выражение (112) теоремы об изменении количества движения на оси выбранной координатной системы:

$S_{x} + S_{A x} + S_{B x} = M y_{C} (ω_{z} - Ω_{z});$

$S_{y} + S_{A y} + S_{B y} = 0;$ $S_{z} + S_{A z} = 0 .$ (117)

При записи учтено, что скорость центра масс параллельна оси $x$ и равна ${\to V}_{C} = \to ω \times {\to r}_{C} = - ω_{z} y_{C} \to i$ .

Для получения соответствующих проекций выражения (114) теоремы об изменении кинетического момента, запишем сначала соответствующие проекции момента ударного импульса как

${\to r}_{M} \times \to S = ∣ ∣.∣.∣ ∣ \begin{matrix} \to i & \to j & \to k x_{M} & y_{M} & z_{M} S_{x} & S_{y} & S_{z} \end{matrix} ∣ ∣.∣.∣ ∣ = \to i ⎛ ⎜.⎜ ⎝ y_{M} S_{z} - z_{M} S_{y} ⎞ ⎟.⎟ ⎠ + .$ $+ \to j (z_{M} S_{x} - x_{M} S_{z}) + \to k (x_{M} S_{y} - y_{M} S_{x});$

где $x_{M}, y_{M}, z_{M}$ — координаты точки приложения ударного импульса. Учитывая, что $ω_{x} = ω_{y} = 0$ , формулы (115) примут вид:

$- I_{x z} (Ω_{z} - ω_{z}) = y_{M} S_{z} - z_{M} S_{y} - z_{B} S_{B y};$

$- I_{y z} (Ω_{z} - ω_{z}) = z_{M} S_{x} - x_{M} S_{z} + z_{B} S_{B x};$ (118)

$I_{z} (Ω_{z} - ω_{z}) = x_{M} S_{y} - y_{M} S_{x} .$

Из последнего уравнения (118) определяется приращение угловой скорости вращения; после этого оставшиеся уравнения (118) и (117) позволяют рассчитать проекции ударных импульсов, действующих на опоры.

Что бы сформулировать условия отсутствия ударных реакций, положим в формулах (117) и (118) проекции ударных импульсов равными нулю. Тогда

$S_{x} = M y_{C} (ω_{z} - Ω_{z});$ $S_{y} = 0;$ $S_{z} = 0;$

$- I_{x z} (Ω_{z} - ω_{z}) = y_{M} S_{z} - z_{M} S_{y};$

$- I_{y z} (Ω_{z} - ω_{z}) = z_{M} S_{x} - x_{M} S_{z};$ (119)

$I_{z} (Ω_{z} - ω_{z}) = x_{M} S_{y} - y_{M} S_{x} .$

Из второго и третьего уравнений вытекает первое условие отсутствия ударных реакций — ударный импульс должен быть перпендикулярен плоскости, проходящей через центр масс и ось вращения.

Для большей ясности последующих рассуждений, перенесем начало координатной системы в точку О. Заметим, что хотя структура формул (119) при этом не изменяется, величина $z_{1 M} = 0$ . В таком случае четвертое и пятое уравнения в (119) могут выполняться только при $I_{x 1 z 1} = I_{y 1 z 1} = 0$ ; этот вывод позволяет сформулировать второе условие отсутствия ударных реакций — ось вращения должна быть главной осью инерции тела для точки О.

Из первого и последнего уравнений (119) находим величину

$y_{M} = \frac{I_{z}}{M y_{C}}$ . (120)

Таким образом получаем последнее, третье, условие – расстояние от точки приложения ударного импульса до оси вращения должно удовлетворять (120).

Косой центральный удар двух шаров

Для двух шаров, изображенных на рис.43, известны массы $m_{1}$ и $m_{2}$ , скорости их движения $v_{1}$ и $v_{2}$ , а так же их направления (углы $α$ и $β$ с линией общей нормали) до удара, найти величины и направления соответствующих скоростей после удара.

Из определения центрального удара $\sum_{i = 1}^{n} {\to r}_{i} \times {\to S}_{i}^{e} = 0$ , так как центры масс шаров (и, следовательно, центр масс механической системы) лежат на линии общей нормали. Тогда по (114) $Δ {\to K}_{C}^{r} = 0$ и $Δ \to ω = 0$ , т.е. при центральном ударе угловые скорости шаров не изменяются.

Воспользуемся теоремой об изменении количества движения (112). В отсутствии импульсов внешних сил имеем ${\to V}_{C} = {\to v}_{C}$ . Вычислим проекцию этой скорости на ось $n$ как

$V_{C n} = v_{C n} = \frac{m_{1} v_{1} cos . α - m_{2} v_{2} cos . β}{m_{1} + m_{2}}$ .

Теперь для каждого из шаров составим выражение для коэффициента восстановления при ударе как отношение проекций на ось $n$ относительных скоростей до и после удара:

$ε = \frac{V_{1 n}^{r}}{v_{1 n}^{r}} = \frac{V_{1 n} - V_{C n}}{v_{1 n} - v_{C n}} = \frac{V_{1 n} - v_{C n}}{v_{1} cos . α - v_{C n}};$

$ε = \frac{V_{2 n}^{r}}{v_{2 n}^{r}} = \frac{V_{2 n} - V_{C n}}{v_{2 n} - v_{C n}} = \frac{V_{2 n} - v_{C n}}{v_{2} cos . β - v_{C n}}$ .

Полученные выражения позволяют вычислить проекции на ось $n$ скоростей центров шаров после удара как

$V_{1 n} = ε v_{1} cos . α + (1 - ε) v_{C n};$

$V_{2 n} = ε v_{2} cos . β + (1 - ε) v_{C n};$

Условие сохранения проекций на ось $τ$ скоростей центов шаров позволяет записать соотношения

$v_{1 τ} = v_{1} sin . α = V_{1} sin . α_{*}$ и $v_{2 τ} = v_{2} sin . β = V_{2} sin . β_{*}$ , где $α_{*}$ и $β_{*}$ — значения углов $α$ и $β$ после удара.

Учтем, что $V_{1} = \frac{V_{1 n}}{cos . α_{*}}$ а $V_{2} = \frac{V_{2 n}}{cos . β_{*}}$ . Перепишем проекции на ось $τ$ скоростей центров шаров после удара

$v_{1 τ} = v_{1} sin . α = \frac{V_{1 n}}{cos . α_{*}} sin . α_{*} = V_{1 n} t g α_{*}$ ;

$v_{2 τ} = v_{2} sin . β = \frac{V_{2 n}}{cos . β_{*}} sin . β_{*} = V_{2 n} t g β_{*}$ .

Теперь для вычисления соответствующих углов получим выражения

$α_{*} = a r c t g ∣ ∣ \frac{v_{1} sin . α}{V_{1 n}} ∣ ∣;$ $β_{*} = a r c t g ∣ ∣ \frac{v_{2} sin . β}{V_{2 n}} ∣ ∣$ .

Для нахождения численных значений скоростей центров шаров после удара можно воспользоваться записанными формулами

$V_{1} = \frac{V_{1 n}}{cos . α_{*}}$ ; $V_{2} = \frac{V_{2 n}}{cos . β_{*}}$ .