62. Силовое поле. Потенциальная энергия. Динамика

62. Силовое поле. Потенциальная энергия

Автор admin На чтение 5 мин Просмотров 2.9к.

Будем называть силовым полем область пространства, в каждой геометрической точке которого на помещенную в него материальную точку действует сила, однозначно определенная по величине и направлению в любой момент времени [1].

Таким образом, в силовом поле должны быть известны три функции – проекции силы на оси координат. Например, для декартовой системы это

$F_{x} = F_{x} (x, y, z, t),$ $F_{y} = F_{y} (x, y, z, t),$ $F_{z} = F_{z} (x, y, z, t)$ .

Силовое поле называется нестационарным, если проекции силы в явном виде зависят от времени; если проекции силы от времени не зависят, то поле стационарное и

$F_{x} = F_{x} (x, y, z),$ $F_{y} = F_{y} (x, y, z),$ $F_{z} = F_{z} (x, y, z)$ . (26)

Ниже ограничимся рассмотрением только стационарных силовых полей. Среди них важное место занимают поля, у которых работа сил, приложенных к материальной точке, не зависит от вида траектории и закона движения по ней; величина работы определяется только начальным и конечным положениями точки в пространстве.

Силовое поле называется консервативным, если существует такая функция координат $П (x, y, z)$ , называемая потенциальной энергией, что проекции силы могут быть представлены через нее следующим образом:

$F_{x} = - \frac{\partial П}{\partial x},$ $F_{y} = - \frac{\partial П}{\partial y},$ $F_{z} = - \frac{\partial П}{\partial z}$ . (27)

Покажем, что для консервативных сил работа зависит только от начального и конечного положений точки и не зависит от вида траектории и закона движения по ней.

Заметим, что элементарная работа консервативных сил равна полному дифференциалу потенциальной энергии, взятому с обратным знаком:

$d^{‘} A = \to F \cdot d \to r = F_{x} d x + F_{y} d y + F_{z} d z =$

$= - (\frac{\partial П}{\partial x} d x + \frac{\partial П}{\partial y} d y + \frac{\partial П}{\partial z} d z) = - d П$ (28)

Тогда, пользуясь формулой для вычисления работы, получим

$A_{1 - 2} = \int_{l 12} \to F d \to r = \int_{l 12} (F_{x} d x + F_{y} d y + F_{z} d z) =$

$= - \int_{l 12} (\frac{\partial П}{\partial x} d x + \frac{\partial П}{\partial y} d y + \frac{\partial П}{\partial z} d z)$ . (29)

Под знаком интеграла по кривой $l$ от точки 1 до точки 2 стоит полный дифференциал от функции $П (x, y, z)$ , поэтому выражение для работы принимает вид

$A_{1 - 2} = - \int_{l 12} d П = П (x_{1}, y_{1}, z_{1}) - П (x_{2}, y_{2}, z_{2})$ . (30)

Как видно из формул (27), (28) и (30), потенциальная энергия определяется с точностью до постоянного слагаемого. Этим обстоятельством можно воспользоваться, назначив в некоторой точке нулевое значение потенциальной энергии. Выбрав, например, в качестве такой точки начало координат, получим

$A_{1 - 0} = - \int_{l 10} d П = П (x_{1}, y_{1}, z_{1}) - П (x_{0}, y_{0}, z_{0}) = П (x, y, z)$ . (31)

В этом случае потенциальная энергия в данной точке равна работе, производимой силами поля при перемещении точки из заданного положения в начало координат.

В некоторых источниках независимость работы от вида траектории принимают за определение консервативности силового поля. С доказательством тождественности обоих утверждений можно ознакомиться, например, в [1].

Независимость работы от вида траектории определяет еще одно свойство консервативности поля: — работа по любому замкнутому контуру в консервативном силовом поле равна нулю (см.(30)).

По определению, силовое поле консервативно, если справедливы формулы (1.13). Отсюда вытекают простые критерии консервативности силового поля. Дифференцируя (27), получим

$\frac{\partial F_{x}}{\partial y} = - \frac{\partial^{2} П}{\partial x \partial y};$ $\frac{\partial F_{y}}{\partial x} = - \frac{\partial^{2} П}{\partial y \partial x};$ и т.д.

Используя свойство независимости смешанных производных от порядка дифференцирования, окончательно имеем

$\frac{\partial F_{x}}{\partial y} = \frac{\partial F_{y}}{\partial x};$ $\frac{\partial F_{y}}{\partial z} = \frac{\partial F_{z}}{\partial y};$ $\frac{\partial F_{z}}{\partial x} = \frac{\partial F_{x}}{\partial z}$ . (32)

Условия (32) вытекают из консервативности силового поля и являются необходимыми.

Покажем, как вычисляется потенциальная энергия для некоторых часто встречающихся силовых полей.

Навигация

Потенциальная энергия поля силы тяжести
Потенциальная энергия поля центральных сил
Потенциальная энергия восстанавливающей силы пружины

Потенциальная энергия поля силы тяжести

Совмещая плоскость $O x y$ с горизонтальной плоскостью, для проекций силы тяжести будем иметь $F_{x} = F_{y} = 0; F_{z} = - m g$ .

Нетрудно проверить, что условия (32) выполняются. Используя (31), получим

$П = A_{M - O} = \int_{z}^{0} (- m g) d z = m g z$ . (33)

Потенциальная энергия поля центральных сил

Центральной будем называть силу $\to F$ , которая в любой точке пространства направлена по прямой, соединяющей рассматриваемую точку с точкой, называемой центром; при этом модуль силы зависит только от расстояния $r$ между точкой и центром.

Если центр выбрать в начале координат, то $\to F (r) = F (r) \frac{\to r}{r}$ , где $\to r$ — радиус-вектор точки.

Учитывая, что $r = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}$ , а проекции силы на оси декартовой координатной системы есть

$F_{x} = F (r) \frac{x}{r};$ $F_{y} = F (r) \frac{y}{r};$ $F_{z} = F (r) \frac{z}{r}$ ,

можно, выполнив проверку условий консервативности (32) для центральной силы, убедиться в их выполнимости.

Теперь получим выражение для потенциальной энергии, полагая, что точка переходит из произвольного положения $M$ в некоторое фиксированное $M_{0}$ . Тогда

$П (r) = A_{M - M_{0}} = \int_{0}^{r_{0}} F (r) d r$ (34)

В частности, когда центральной силой является гравитационная сила, выражение для потенциальной энергии примет вид

$П (r) = - \int_{r}^{\infty} f \frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}} d r = - \frac{f m_{1} m_{2}}{r}$ , где $f$ — постоянная тяготения, $m_{1}; m_{2}$ — массы притягивающихся материальных точек, $r$ — расстояние между ними. При выводе за $M_{0}$ была принята бесконечно удаленная точка.

Потенциальная энергия восстанавливающей силы пружины

Примем за фиксированную точку $M_{0}$ , в которой равна нулю потенциальная энергия, положение конца недеформированной пружины. Пусть длина пружины в недеформированном состоянии равна $r_{0}$ , а в положении $M$ равна $r$ . Тогда $F (r) = - c (r - r_{0})$ . Знак « — » означает, что направление радиуса — вектора точки и восстанавливающей силы пружины (силы упругости) противоположны. Подставив выражение силы в (34), получим

$П (r) = - c \int_{0}^{r_{0}} (r - r_{0}) d r = \frac{c (r - r_{0})^{2}}{2}$ ,

или $П (r) = \frac{c λ^{2}}{2}$ , где $λ = | r - r_{0} |$ — модуль приращения длины пружины.

Из полученных формул следует, что работа восстанавливающей силы пружины при перемещении ее конца из положения $M_{1}$ в положение $M_{2}$ равна

$A_{1 - 2} = \frac{c}{2} (λ_{1}^{2} - λ_{2}^{2})$ . (35)