55. Моменты инерции относительно параллельных осей. Момент инерции относительно оси, проходящей через начало координат

Приведем без доказательства формулы, позволяющие вычислять элементы тензора инерции при переходе от одних координатных осей к другим.

Связь между осевыми моментами инерции

Связь между осевыми моментами инерции, вычисленными относительно параллельных осей, одна из которых является центральной, дается теоремой Гюйгенса – Штейнера: момент инерции $I$тела, вычисленный относительно некоторой оси, равен сумме момента инерции $I_C$ тела относительно оси, проходящей через центр масс С параллельно данной, и произведения массы $m$ тела на квадрат расстояния между осями:

$I=I_C+m{d}^2$, (74)

где $d$ — кратчайшее расстояние между осями.

Связь между центробежными моментами инерции аналогична. Например, центробежный момент относительно координатных плоскостей $x_1{y}_1$ может быть рассчитан как

$I_{x1y1}=I_{xy}+m{x}_{1C}{y}_{1C}$ , (75)

где $I_{xy}$ — центробежный момент инерции относительно плоскостей $xy$, параллельных плоскостям $x_1{y}_1$, а $x_{1C}$ и $y_{1C}$ — соответствующие координаты центра масс тела.

Момент инерции относительно оси, проходящей через начало координат

Момент инерции относительно оси, проходящей через начало координат, и составляющей с осями $x,y,z$ углы $\alpha ;\beta ;\gamma$ соответственно, вычисляется как

$I=I_x{\cos }^2.\alpha +I_y{\cos }^2.\beta +I_z{\cos }^2.\gamma -2I_{xy}\cos .\alpha \cos .\beta -\text{.}$$-2I_{yz}\cos .\beta \cos .\gamma -2I_{xz}\cos .\alpha \cos .\gamma$ (76)

При этом углы $\alpha ;\beta ;\gamma$ связаны известным соотношением

${\cos }^2.\alpha +{\cos }^2.\beta +{\cos }^2.\gamma =1$.

Для случая, когда две координатные системы имеют общую координатную ось (например, координатная система $O{x}_1{y}_1{z}_1$ повернута вокруг совпадающих осей $O{z}_1$ и $Oz$ относительно координатной системы $Oxyz$ на угол $\alpha$), формула для вычисления центробежного момента инерции относительно плоскостей $x_1{y}_1$ будет иметь вид

$I_{x1y1}=I_{xy}\cos .2\alpha +\frac{1}{2}(I_x-I_y)\sin .2\alpha$. (77)

Вычисление моментов инерции относительно произвольной оси

Вычисление моментов инерции относительно произвольной оси осуществляется комбинированием формул (74) и (76).

ПРИМЕР 29. Для ротора в виде тонкого однородного диска массы $m$ и радиуса $R$ определить момент инерции относительно оси вращения $z$если

а) ось вращения $z_1$ перпендикулярна плоскости диска, но центр масс С находится на расстоянии $e$ от оси вращения (рис.37).

Из таблицы 9.1 для ротора в виде диска осевой момент инерции относительно центральной оси $zC$ будет $I_{zC}=\frac{m}{R^2}$ .

По (74) для этого случая имеем $I_{zO}=I_{zC}+m{e}^2=m(\frac{R^2}{2}+e^2)$.

б) ось вращения $z_1$ является центральной и составляет с осью $z$диска угол $\alpha$ (рис.38). При этом угол с осью $x$ будет ($\alpha +\frac{\pi }{2}$), а с осью $y$ будет $\frac{\pi }{2}$.

Тогда по (76) для этого случая имеем

$I_{zC}=I_{xC}{\cos }^2.(\alpha +\frac{\pi }{2})+I_{yC}{\cos }^2.\left(\frac{\pi }{2}\right)+I_{zC}{\cos }^2.\alpha =\text{.}=\frac{m}{R^2}{\sin }^2.\alpha +\frac{m}{R^2}{\cos }^2.\alpha =\frac{m}{R^2}(1+{\cos }^2.\alpha )$

в) ось вращения $z_1$ составляет с осью $z$диска угол $\alpha$; при этом центр масс С находится на расстоянии ОС=$e$ от оси вращения (рис.39).

Очевидно, что последний случай можно представить как совокупность двух предыдущих, т.е. $I_{zO}=I_{zC}+m(e\cos .\alpha {)}^2$,

где $I_{zC}$ — осевой момент относительно центральной оси $z_2$, вычисленный в предыдущем случае. Тогда

$I_{zO}=\frac{m}{R^2}(1+{\cos }^2.\alpha )+m{l}^2{\cos }^2.\alpha =\frac{m}{R^2}+m(l^2+\frac{R^2}{4}){\cos }^2.\alpha$