44. Теорема о движении центра масс механической системы. Динамика

Центром масс С механической системы называется точка, радиус – вектор которой определяется из соотношения

${\to r}_{C} = \frac{\sum_{k = 1}^{n} m_{k} {\to r}_{k}}{\sum_{k = 1}^{n} m_{k}} = \frac{\sum_{k = 1}^{n} m_{k} {\to r}_{k}}{M}$ , (22.а)

где $m_{k}$ и ${\to r}_{k}$ — масса и радиус – вектор $k$ — ой материальной точки ( $k = 1, 2, . . ., n$ ) соответственно, а $M$ — масса механической системы.

В случае выбора декартовой координатной системы $x, y, z$ , векторное равенство (22-2.4.а) позволяет получить выражения для проекций радиуса – вектора центра масс С:

$x_{C} = \frac{\sum_{k = 1}^{n} m_{k} x_{k}}{M}$ ; $y_{C} = \frac{\sum_{k = 1}^{n} m_{k} y_{k}}{M}$ ; $z_{C} = \frac{\sum_{k = 1}^{n} m_{k} z_{k}}{M}$ . (22.б)

Формально для твердого тела центр тяжести и центр масс совпадают, хотя в принципе эти понятия различны. В основе понятия о центре тяжести лежит нахождение точки приложения равнодействующей параллельных сил тяжести.

При нахождении положения центра масс вообще не говорится о действующих силах. Это понятие представляет собой одну из характеристик распределения масс в механической системе.

В инерциальной системе отсчета для точек механической системы можно записать дифференциальные уравнения движения:

$m_{k} {- \to W}_{k} = {\to F}_{k}^{e} + \sum_{l = 1}^{n} {\to F}_{k l}^{i} = {\to F}_{k}^{e} + {\to F}_{k}^{i}$ ; $k, l = 1, 2, . . ., n$ (23)

здесь ${\to F}_{k}^{i} = \sum_{l = 1}^{n} {\to F}_{k l}^{i}$ — равнодействующая внутренних сил, действующих на $k$ — ую точку.

После суммирования этих уравнений для всех точек механической системы получим

$\sum_{k = 1}^{n} m_{k} {- \to W}_{k} = \sum_{k = 1}^{n} {\to F}_{k}^{e} + \sum_{l = 1}^{n} {\to F}_{k}^{i} = {\to V}^{e} + {\to V}^{i} = {\to V}^{e}$ ,

где ${\to V}^{e} = \sum_{k = 1}^{n} {\to F}_{k}^{e}$ и ${\to V}^{i} = \sum_{k = 1}^{n} \sum_{l = 1}^{n} {\to F}_{k l}^{i} = 0$ — главные векторы внешних и внутренних сил, действующих на точки механической системы.

Если теперь рассматривать только механические системы постоянного состава, состоящие из одних и тех же материальных точек с неизменными во времени массами $m_{k}$ , и дважды продифференцировать по времени формулы (22), то получим:

$\sum_{k = 1}^{n} m_{k} {- \to W}_{k} = M {- \to W}_{C}$ .

Окончательное выражение примет вид

$M {- \to W}_{C} = {\to V}^{e}$ ; (24.а)

При выборе декартовой координатной системы ему будут соответствовать три скалярных выражения:

$M W_{C x} = M {¨ x}_{C} = V_{x}^{e};$

$M W_{C y} = M {¨ y}_{C} = V_{y}^{e};$ (24.б)

$M W_{C z} = M {¨ z}_{C} = V_{z}^{e} .$

Формула (24) есть запись теоремы: центр масс механической системы движется как материальная точка, масса которой равна массе всей механической системы, под действием силы, равной главному вектору действующих на эту систему внешних сил.

Заметим, что формулы (24) не содержат внутренних сил, какими бы свойствами не обладала механическая система (жидкость, газ, упругое тело или твердое). Отмеченное обстоятельство существенно упрощает решение задач, так как позволяет исключить из рассмотрения обычно неизвестные внутренние силы.

С другой стороны, отсутствие влияния на движение механической системы внутренних сил вызывает у студентов недоумение – ведь момент от двигателя, вращающий колеса автомобиля, есть внутреннее усилие, и, по сформулированной теореме, не может оказывать влияние на его движение!

Рассуждения, вносящие ясность в этот вопрос, достаточно просты – на абсолютно гладкой поверхности (например, на льду) отсутствует сила сцепления и независимо от создаваемого мотором момента, вращающего ведущие колеса, автомобиль остается на месте. Если поверхность шероховатая, в выражение (24) должны войти силы сцепления, которые для автомобиля являются внешними.

Очевидно, что при отсутствии момента, стремящегося вращать колеса автомобиля (двигатель не работает либо нажата педаль сцепления), эти силы возникать не будут и автомобиль никуда не уедет. Таким образом, хотя внутренние силы непосредственно в формулы (24) не входят, они могут вызвать внешние силы, которые в эти формулы должны войти.

Из формулы (24.а) следует, что если главный вектор внешних сил окажется равным нулю, то должно быть равно нулю ускорение точки С. В этом случае в процессе движения механической системы скорость ее центра масс будет сохранять величину и направление.

Если окажется, что равна нулю проекция на какую-либо координатную ось главного вектора внешних сил, то проекция на эту ось скорости центра масс будет постоянной.

ПРИМЕР 9. На судне водоизмещением $D$ груз А весом $P_{1}$ судовой грузовой стрелой перемещен в корму на расстояние $l_{1}$ . Затем для частичного устранения возникшего дифферента жидкий балласт В весом $P_{2}$ перемещен из кормовой цистерны в носовую на расстояние $l_{2}$ . Определить продольное перемещение $l$ судна из состояния покоя, считая сопротивление воды пренебрежимо малым.

РЕШЕНИЕ. На рис.14 изобразим механическую систему (судно, груз А и балласт В) в исходном положении, а так же внешние силы, на нее действующие.

При отсутствии сопротивления воды проекция на горизонтальную ось $x$ главного вектора внешних сил равна нулю, следовательно равна нулю горизонтальная составляющая ускорения центра масс. В этом случае горизонтальная составляющая скорости центра масс механической системы должна быть неизменной в процессе грузовой операции.
Поскольку в начальный момент времени судно находилось в покое (т.е. $V_{C} = 0$ ), то абсцисса $x_{C}$ центра масс механической системы в процессе грузовой операции должна сохранять свою величину. Приравняв абсциссы центра масс для начального и конечного момента грузовой операции, получим уравнение для определения перемещения $l$ судна.
Для начального положения механической системы
$x_{C} = \frac{(D - P_{1} - P_{2}) x_{0} + P_{1} (a + l_{1}) + P_{2} b}{D}$ ,
где $x_{0}$ — абсцисса центра масс судна в начальный момент времени.
Для конечного состояния системы
$x_{C} = \frac{(D - P_{1} - P_{2}) (x_{0} + l) + P_{1} (a + l) + P_{2} (b + l_{2} + l)}{D}$ .
Приравнивая полученные выражения, найдем
$l = \frac{P_{1} l_{1} - P_{2} l_{2}}{D}$ .

ПРИМЕР 10. Электрический мотор массы $m_{1}$ установлен без креплений на гладкой горизонтальной плоскости; на валу мотора под прямым углом закреплен одним концом стержень $O M = l$ , на другой конец стержня насажен точечный груз массы $m_{2}$ ; угловая скорость вращения вала равна $ω$ .
Определить закон изменения во времени горизонтального смещения мотора, если до включения мотор был неподвижен. Массой стержня ОМ пренебречь.

РЕШЕНИЕ. На рисунке 15 изображена механическая система (мотор и груз) в отклоненном положении. Нанесем внешние силы – силы веса и реакцию гладкой опоры, действующие на точки механической системы. Спроецируем векторное уравнение теоремы о движении центра масс на горизонталь:
$(m_{1} + m_{2}) W_{C x} = V_{x}^{в н е ш} = 0$ .
В таком случае горизонтальная составляющая ускорения центра масс так же равняется нулю, что говорит о постоянстве горизонтальной составляющей скорости центра масс. Поскольку в начальный момент времени мотор был неподвижен, эта составляющая оказывается равной нулю, что свидетельствует о постоянстве горизонтального отстояния центра масс от начала отсчета.
Пусть в начальный момент стержень ОМ занимал верхнее вертикальное положения. Очевидно, что в этом положении центр масс механической системы так же расположен на этой вертикали. Приняв ее за ось $y$ , получаем, что горизонтальное смещение центра масс в начальный момент равно нулю (а так же и во все последующие моменты времени).
Найдем это смещение, воспользовавшись формулой (22.б):
$x_{C} = 0 = \frac{m_{1} x_{1} + m_{2} (x_{1} + l sin . ϕ)}{m_{1} + m_{2}}$ .
Отсюда $x_{1} = - \frac{m_{2} l}{m_{1} + m_{2}} sin . ω t$ . Найденное выражение показывает, что корпус мотора, установленный на гладком полу, после включения совершает горизонтальные гармонические колебания.

ПРИМЕР 11. В рамках предыдущей задачи найти силу давления мотора на горизонтальную поверхность.

РЕШЕНИЕ. Спроецируем векторное уравнение теоремы о движении центра масс на вертикаль:
$(m_{1} + m_{2}) W_{C y} = V_{y}^{в н е ш} = N - m_{1} g - m_{2} g$ .
Найдем вертикальное смещение центра масс, воспользовавшись формулой (22.б):
$y_{C} = \frac{m_{1} y_{1} + m_{2} (y_{0} + l cos . ω t)}{m_{1} + m_{2}}$ .
Дважды продифференцировав это выражение, найдем вертикальную составляющую ускорения центра масс:
$W_{C y} = {¨ y}_{C} = - \frac{m_{2} l ω^{2}}{m_{1} + m_{2}} cos . ω t$ .
(при дифференцировании учтено постоянство величин $y_{0}$ и $y_{1}$ ).
Теперь запишем выражение для расчета силы нормального давления
$N = m_{1} g + m_{2} g - m_{2} l ω^{2} cos . ω t$ .
Анализ выражения показывает, что максимальная величина силы нормального давления будет иметь место при прохождении груза через нижнее положение, а минимальная – через верхнее; при этом
$\begin{matrix} . . m a x . . m i n . {_{1}}_{1}^{2} \end{matrix} N$ .
Полученное выражение позволяет найти величину критической угловой скорости, при которой мотор начинает «подпрыгивать». В этом случае мотор теряет контакт с поверхностью, а сила нормального давления обращается в нуль. Тогда
$ω_{к р} = \sqrt{\frac{g (m_{1} + m_{2})}{m_{2} l}}$ .
В том случае, когда мотор стоит на шероховатой поверхности, в системе дополнительно действует сила сухого трения, равная $F = f N$ . Ее действие не только уменьшает амплитуду горизонтальных колебаний, но и, при движении груза вниз (силы нормального давления и трения возрастают), уменьшает амплитуду колебаний, а при движении груза вверх – увеличивает. В результате работающий мотор будет вибрируя смещаться в направлении вращения.

ПРИМЕР 12. В условиях предыдущей задачи определить наибольшее горизонтальное усилие $R_{x}$ , действующее на болты, если ими мотор будет прикреплен к основанию (см. рис.16).

РЕШЕНИЕ. Спроецируем векторное уравнение теоремы о движении центра масс на горизонталь:
$(m_{1} + m_{2}) W_{C x} = V_{x}^{в н е ш} = R_{x}$ .
Найдем горизонтальное смещение центра масс, воспользовавшись формулой (22.б):
$x_{C} = \frac{m_{1} \cdot 0 + m_{2} l sin . ω t}{m_{1} + m_{2}} = \frac{m_{2} l}{m_{1} + m_{2}} sin . ω t$ .
Дважды продифференцировав это выражение, найдем горизонтальную составляющую ускорения центра масс:
$W_{C x} = {¨ x}_{C} = - \frac{m_{2} l ω^{2}}{m_{1} + m_{2}} sin . ω t$ .
Теперь запишем выражение для расчета горизонтального усилия
$R_{x} = - m_{2} l ω^{2} sin . ω t$ .