Аналитическая механика является логическим развитием материала, знакомого читателю по курсу теоретической механики: здесь используются те же модели пространства, времени, тел и их взаимодействий (конечно, с некоторым развитием и добавлением новых понятий).
Опираясь на энергетические подходы, аналитическая механика позволяет единообразно составлять уравнения покоя и движения свободных и несвободных механических систем с любым числом степеней свободы, а так же приводить эти уравнения к виду, удобному для интегрирования.
На протяжении длительного существования аналитической механики в ней разработаны эффективные общие методы исследований, которые проникли в прикладную математику, теорию оптимального управления, термо- и электродинамику, статистическую физику и квантовую механику.
Классификация связей, число степеней свободы, независимые обобщенные координаты
Кратко напомним понятия, обсуждавшиеся ранее.
Тела и материальные точки, положение и скорость движения которых не ограничены другими телами, называются свободными; в противном случае они несвободные, а тела, ограничивающие их движение, называются связями.
Любую выделенную для анализа совокупность взаимодействующих тел и материальных точек называют механической (реже – материальной) системой.
Положения всех точек механической системы в выбранной системе отсчета могут быть определены некоторым набором скалярных величин. В случае покоя эти скалярные величины постоянны, а при движении они являются функциями времени. Такие величины называются обобщенными координатами. Поясним это понятие на системах, точки которых расположены в трехмерном пространстве.
За обобщенные координаты свободной точки могут быть приняты декартовы координатыx,y,z; за обобщенные координаты системы из двух свободных точек — x1,y1,z1,x2,y2,z2 и т.д.
Для абсолютно твердого тела в форме жесткого прямого стержня длины l (рис.4.а) достаточно задаться координатами двух его точек (например, концевых) и учесть, что расстояние между ними неизменно, т.е. шесть декартовых координат этих точек связаны соотношением
√(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2=l (11)
Равенства типа (11) характеризуют наложенные на систему связи и называются уравнениями связей. Связи, уравнения которых содержат только координаты и время, называются геометрическими, так как обычно им соответствуют простые геометрические образы (линия, плоскость и т.д.).
Рассмотрим механическую систему из двух шарнирно соединенных стержней с длинами a и b. Принимая за обобщенные координаты декартовы координаты концевых точек стержней (рис.4.б), следует иметь в виду, что эти координаты связаны двумя уравнениями связей:
(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2=a2; (x3−x2)2+(y3−y2)2+(z3−z2)2=b2. (12)
Если рассмотренная механическая система движется в плоскости, например Oxy, то уравнения связей (12) следует дополнить уравнениями z1=0;z2=0;z3=0. Однако если оговорено, что решается плоская задача, в литературе по механике обычно ограничиваются записью
(x2−x1)2+(y2−y1)2=a2;
(x3−x2)2+(y3−y2)2=b2.
Все перечисленные примеры обладают стационарными или склерономными геометрическими связями. В уравнениях таких связей время t не содержится в явном виде (хотя неявная зависимость от времени через координаты, конечно, имеется).
Пример системы с нестационарной или реономной связью показан на рис.4.в., где материальная точка M связана с началом координат нитью переменной длины; закон изменения во времени этой длины l=l(t) задан. Если нить натянута, уравнение связи имеет вид
x2+y2+z2−l2(t)=0. (13)
Кроме того, все оговоренные типы связей аналитически описываются равенствами. Такие связи в механике принято называть двусторонними или удерживающими. Односторонние или неудерживающие связи описываются неравенствами. Например, для случая ненатянутой нити будет справедлива запись
x2+y2+z2−l2(t)≤0. (14)
В приведенных выше уравнениях связей нет производных от координат. Такие связи называются голономными или интегрируемыми (выше мы их назвали геометрическими). Например, при изучении плоского движения для катящегося без скольжения колеса радиуса R было получено кинематическое соотношение V=ω⋅R, где V=dxdt — скорость центра О колеса, а ω=dϕdt — угловая скорость его вращения. Уравнения такого типа ранее назывались уравнениями кинематических связей. Не трудно заметить, что хотя в уравнении кинематической связи содержатся производные от координатx и ϕ, интегрированием их можно исключить. В частности, при нулевых начальных условиях, получится новое уравнение связи x=ϕ⋅R, не содержащее производных.
Если в уравнениях связей присутствуют производные координат, от которых невозможно избавиться интегрированием, такие связи называются неголономными или неинтегрируемыми. В качестве примера можно рассмотреть качение шара по горизонтальной поверхности без проскальзывания.
Наличие уравнений связей означает, что выбранные координаты зависимы. Однако в большинстве случаев (если механическая система голономна) можно, изменив выбор, указать независимые обобщенные координаты, т.е. такие, между которыми не существует уравнений связей.
Так, для системы, изображенной на рис.5.а, за одну из
возможных совокупностей обобщенных координат можно принять декартовы координаты первой точки x1,y1,z1 и углы α;β между направлением стержня и осями абсцисс и ординат, соответственно (см. рис.5.а), а для системы, изображенной на
рис.4.б, — координаты первой точки x1,y1,z1 и углы α1 и α2 между направлениями стержней и осью абсцисс, и углы β1 и β2 между направлениями стержней и осью ординат (см. рис.5.б).
Ясно, что при таком выборе обобщенных координат однозначно определены положения всех точек каждой из рассматриваемых механических систем.
Важной количественной характеристикой общих структурных свойств механической системы служит число степеней свободы. Если за обобщенные координаты выбраны такие, что между ними существуют уравнения связей, то число степеней свободы можно найти как разность числа этих координат и числа уравнений связей.
Например, если на механическую систему из n точек в трехмерном пространстве наложено l голономных связей, то число независимых обобщенных координат совпадает с числом степеней свободы s1, которое может быть рассчитано, в этом случае, как 
Если на механическую систему из n точек в трехмерном пространстве наложено l голономных связей и dнеголономных связей, то число степеней свободы 
Разумеется, на число степеней свободы влияют не только внутренние, но и внешние связи.
Все последующие рассуждения и выводы будут относиться только к голономным, стационарным и удерживающим связям (если связи неголономные, нестационарные либо неудерживающие, то это будет оговариваться особо).
При анализе движения несвободных систем действующие силы удобно разделять на активные (задаваемые) и реакции связей. Ранее, при изучении теоремы об изменении кинетической энергии механической системы, было введено понятие идеальной связи (реакции такой связи не совершает работу в процессе движения механической системы; примеры – скольжение по гладкой поверхности, качение без проскальзывания и т.д.). Заметим, что в литературе по аналитической механике (и ниже в настоящем конспекте) используется несколько иное определение этого понятия.
Элементарные и возможные перемещения
Рассмотрим систему из n материальных точек с координатами Mk(xk;yk;zk); k=1,2,...,n, на которую действуют силы →Fk(k=1,2,...,n), и движение которой ограничено геометрическими связями:
fi=fi(x1,y1,z1,...,xn,yn,zn,t)=0; i=1,2,...,l.
Перемещение любой точки Mk зависит от вида и характера связей, действующих сил и начального состояния. Будем различать два вида бесконечно малых перемещений – элементарное действительное и возможное (виртуальное).
Элементарными действительными называют те бесконечно малые перемещения d→rk точек системы, которые согласуются со связями и реально возникают в системе под влиянием внешних сил и начальных условий. Например в декартовой координатной системе, где радиус-вектор k -ой точки →rk=xk→i+yk→j+zk→k, а xk;yk;zk — ее координаты, эти перемещения могут быть записаны в следующей форме:
d→rk=∂→rk∂xkdxk+∂→rk∂ykdyk+∂→rk∂zkdzk+∂→rk∂tdt; k=1,2,...,n (15)
Напомним, что в курсе кинематики для элементарного перемещения использовалось выражение d→rk=→Vkdt, имеющее достаточно ясный физический смысл (здесь 
Возможными (или виртуальными) перемещениями δ→rk называют любые (иногда и действительные) бесконечно малые перемещения точек системы, допускаемые связями в рассматриваемый момент времени t.
В отличие от действительных, возможные перемещения рассматриваются вне зависимости от действующих сил и начальных условий. Эти перемещения можно понимать как некоторый геометрический образ, отражающий не действительное движение системы, а в принципе возможный ее переход в смежную конфигурацию, зависящую от наложенных на систему связей; при этом изменение связей во времени отсутствует.
В таком случае возможные перемещения представляют собой приращения радиусов-векторов →rk точек, не зависящие от времени t, т.е. неполный «дифференциал»:
δ→rk=∂→rk∂xkδxk+∂→rk∂ykδyk+∂→rk∂zkδzk; k=1,2,...,n (16)
Сравнивая (15) и (16), можно сделать вывод, что элементарные действительные перемещения системы d→rk (k=1,2,...,n) совпадают с одним из ее возможных перемещений δ→rk (k=1,2,...,n) в том случае, если на механическую систему наложены геометрические стационарные связи.
Заметим, что в этом случае возможные перемещения относятся между собой как соответствующие элементарные перемещения; в свою очередь элементарные перемещения относятся друг к другу как соответствующие скорости (т.к. скорость есть частное от деления элементарного перемещения на dt). Таким образом, в системах с геометрическими (голономными) стационарными связями возможные перемещения относятся между собой, как соответствующие скорости; умению находить соотношения между скоростями точек механической системы был посвящен курс кинематики.
Посмотрим теперь, какие ограничения накладывают связи на возможные перемещения механической системы. Пусть система состоит из n материальных точек Mk. При условии, что все точки системы свободны, мы имеем 3n произвольных перемещения. В случае выбора декартовой координатной системы им будут соответствовать возможные перемещения δxk;δyk;δzk; (k=1,2,...,n).
Если система подчинена l стационарным голономным связям
fi=fi(xk;yk;zk)=0, i=1,2,..,l; k=1,2,...,n; l<k (17)
то, найдя дифференциалы от уравнений связей, получим l ограничений, которым должны удовлетворять элементарные перемещения точек механической системы:
dfi=∂fi∂xkdxk+∂fi∂ykdyk+∂fi∂zkdzk=0; i=1,2,...,l
Как указывалось выше, у таких механических систем элементарные перемещения входят в число возможных; в этом случае выражения для возможных перемещений будут иметь аналогичную структуру:
δfi=∂fi∂xkδxk+∂fi∂ykδyk+∂fi∂zkδzk=0; i=1,2,...,l (18)
Отсюда следует, что произвольными остаются (3n−l) перемещений. Это число совпадает с числом степеней свободы s=3n−l рассматриваемой механической системы. Заметим, что в курсах кинематики и динамики число степеней свободы определялось по числу независимых координат, необходимых для описания положения тел механической системы. Для голономных систем оба эти определения эквивалентны.
Если система подчинена голономным нестационарным связям
fi=fi(xk;yk;zk;t)=0, i=1,2,..,l;k=1,2,...,n (19)
то, полагая t=const, получим такие же ограничения (17), как и в случае стационарных связей. Иначе будет с действительными перемещениями. В выражениях ограничений, налагаемых связями, войдут дополнительные слагаемые ∂fi∂tdt (см. формулу(15)). Поэтому для случая нестационарных связей действительные перемещения точек системы не входят в число возможных перемещений.
ПРИМЕР 3. Рассмотрим математический маятник постоянной длины l, движущийся в плоскости Oxy (рис.4.а).
Точка M под влиянием стационарной голономной связи x2+y2=l2 движется по дуге окружности радиусом l. Маятник постоянной длины в плоскости имеет одну степень свободы.
Из некоторого положения M1, которое занимает точка в фиксированный момент времени, мысленно дадим малые приращения δ→r. Они направлены по касательной к окружности, их бесчисленное множество (можно менять модуль и направление вдоль касательной) и все они являются возможными (или виртуальными) перемещениями. Если под действием внешней силы и (или) начальных условий маятник отклониться, например вправо, то действительное перемещение d→r будет направлено по касательной к траектории и будет совпадать с одним из виртуальных перемещений (см.рис.4.а).
Пусть нить математического маятника удлиняется по известному закону l=l(t).
В этом случае имеет место нестационарная голономная связь x2+y2=l2(t).
Фиксируя время t1, построим в данном положении M1 траекторию маятника – окружность радиуса l=l(t1) (рис.4.б).
Возможные перемещения δ→rнаправлены по касательной к этой окружности. Однако, в отличие от предыдущего случая, в рассматриваемом положении за время dt изменяется не только угол ϕ, но и длина l. Учитывая это обстоятельство, получим, что действительное элементарное перемещение d→rмаятника не будет совпадать ни с одним из возможных перемещений δ→r (см. рис.4.б).
Введение понятия числа степеней свободы механической системы позволяет лучше понять физический смысл аксиомы об освобождении от связей: при освобождении системы от связей у нее появляются дополнительные степени свободы; для того, что бы движение освобожденной от связей системы совпадало с движением системы при наличии связей, вводятся дополнительные усилия – реакции связей. Таким образом, принцип освобождения от связей приводит к новой системе (свободной, но с дополнительными реакциями связей), которая должна двигаться так же, как и исходная (несвободная) система. Обе системы должны быть динамически эквивалентны (движение их точек одинаково), но кинематическая эквивалентность систем отсутствует, так как освобожденная система обладает большим числом степеней свободы.
Заметим, что для механической системы число независимых возможных перемещений равно числу степеней свободы.
Если связи, наложенные на систему, геометрические, то число независимых возможных перемещений будет совпадать с числом независимых обобщенных координат.
Если на систему наложены неголономные связи, то число независимых возможных перемещений (равное числу степеней свободы) оказывается меньше числа независимых обобщенных координат на количество уравнений неголономных связей.
Работа силы на элементарном и возможном перемещении
Напомним понятие элементарной работы, введенное нами при выводе теоремы об изменении кинетической энергии как скалярное произведение силы на элементарное перемещение точки ее приложения
dA‘=→F⋅d→r.
При естественном задании движения материальной точки d→r=→τ⋅ds и dA‘=→F⋅d→r=→F⋅→τ⋅ds=Fds⋅cos(→Fˆ;→τ)=Fsds=→F⋅→V=Ndt
где Fs — проекция силы на касательную к траектории, N — мощность силы, а →V— скорость точки.
В случае задания силы и радиуса – вектора точки в декартовой координатной системе, выражение для элементарной работы принимает вид: dA‘=→F⋅d→r=Fx⋅dx+Fy⋅dy+Fz⋅dz.
Если скорость движения точки рассматривается как сумма скоростей в относительном и переносном движениях (справедлива формула →V=→VОТН+→VПЕР), выражение для элементарной работы будет
dA‘=→F⋅d→r=→F⋅→V⋅dt=dAOTH+dAПЕР.
Элементарной работой системы сил, приложенных к точкам механической системы, называют сумму элементарных работ вида
dA‘СИСТ=∑nk=1dA‘k=∑nk=1→Fk⋅d→rk, где n — число материальных точек, формирующих механическую систему.
Если силы, действующие на точки механической системы, разделить на внешние и внутренние, то их элементарная работа может быть представлена в виде суммы:
dA‘СИСТ=∑nk=1→FВНЕШk⋅d→rk+∑nk=1→FВНУТРk⋅d→rk=dAВНЕШ+dAВНУТР.
Напомним, что в системе с геометрически неизменяемыми связями dAВНУТР=0.
По аналогии с элементарной работой может быть введено понятие работы силы на возможном перемещении (в некоторых источниках – виртуальной работы) как δA‘=→F⋅δ→r.
Очевидно, что для систем со стационарными голономными связями все формулы для вычисления элементарной работы будут справедливы при замене знака d на δ (так как в этом случае элементарное перемещение является одним из возможных).
Заметим, что в литературе по аналитической механике под идеальными связями принято понимать связи, работа реакций которых на возможных перемещениях равна нулю.