63. Обобщенные силы

Наряду с введенными ранее понятиями обобщенных координат, обобщенных скоростей и ускорений, введем понятие обобщенных сил.

Рассмотрим систему из n материальных точек, на которую действуют внешние силы Fk; k=1,2,...,n. Вычислим работу внешних сил на возможных перемещениях δrk (k=1,2,...,n) как

δA=nk=1Fkδrk. (36)

Определим из (1.2) возможное перемещение δrk, введя независимые обобщенные координаты qi; i=1,2,...,s. Поскольку связи, наложенные на систему, голономны,

xk=xk(t,q1,q2,...,qs);  yk=yk(t,q1,q2,...,qs);  zk=zk(t,q1,q2,...,qs) имеем δrk=si=1rkqi..δqi ; i=1,2,..,s;k=1,2,...,n . (37)

Подставив (37) в (36), получим

δA=nk=1Fksi=1ˉrkqi..δqi .

Изменив порядок суммирования по индексам k и i, будем иметь

δA=si=1(nk=1Fkˉrkqi..)δqi . (38)

Величины

Qi=nk=1Fkˉrkqi..=nk=1(Fkxxkqi..+Fkyykqi..+Fkzzkqi..) (39)

называют обобщенными силами, соответствующими возможным перемещениям δqi;

при выводе учтено разложение векторов Fk=Fkxi+Fkyj+Fkzk и rk=xki+ykj+zkk на оси неподвижной декартовой координатной системы.

Подставляя (39) в (38), получим

δA=si=1Qiδqi . (40)

В случае, когда возможные перемещения δqi независимы, можно сообщить системе только одно возможное перемещение δqi0, полагая остальные равными нулю, т.е. δqj=0;ji;j=1,2,...,i1,i+1,...,s;. Далее следует вычислить δAi всех действующих сил на возможных перемещениях точек их приложения δrk,k=1,2,...,n. Выразив последние через δqi (используя уравнения связей), вынесем его за скобки. Выражение в скобках и будет обобщенной силой, соответствующей возможному перемещению δqi механической системы, т.е.:

Qi=δAiδqi.. . (41)

Последовательно вычисляя работу на каждом из независимых возможных перемещений δqi, можно определить соответствующие им обобщенные силы Qi.

Заметим, во-первых, что размерность обобщенной силы, определяемой из (41), может быть любой. Например, при выборе в качестве обобщенной координаты угла поворота, обобщенная сила имеет размерность момента силы. Во-вторых, согласно (39), обобщенную силу формируют силы, приложенные в различных точках механической системы. Оба отмеченных обстоятельства подчеркивают удачность предложенного названия.

Для вычисления обобщенных сил в консервативных системах следует проекции сил (27) внести в уравнения (39). Тогда

Qi=nk=1(Пxk..xkqi..+Пyk..ykqi..+Пzk..zkqi..)=Пqi.. . (42)

При выводе учтено, что первоначально выражение для потенциальной энергии было записано через декартовы координаты точек механической системы, которые позже были записаны через выбранные обобщенные координаты.

ПРИМЕР 9. Выбрать обобщенные координаты и определить обобщенные силы для двойного математического маятника, изображенного на рис.12.

РЕШЕНИЕ. Положение двойного маятника можно определить двумя углами ϕ1 и ϕ2, которые и примем за обобщенные координаты (система имеет две степени свободы). Отсчет углов происходит от вертикальных линий (поскольку направление вертикалей не изменяется, выбранные координаты называются абсолютными).
Сначала воспользуемся подходом, использующим формулу (39).
Составим выражения для действующих сил и радиусов — векторов точек их приложения, выразив последние через выбранные обобщенные координаты:
P1=0i+P1j ; P2=0i+P2j
r1=(l1sin.ϕ1)i+(l1cos.ϕ1)j; r2=(l1sin.ϕ1+l2sin.ϕ2)i+(l1cos.ϕ1+l2cos.ϕ2)j .
Для нашего случая формула (1.9) будет иметь вид
Ql=P1xx1ϕl..+P1yy1ϕl..+P2xx2ϕl..+P2yy2ϕl.. ; l=1,2
Взяв соответствующие производные и выполнив действия формального характера, получим
Q1=(P1+P2)l1sin.ϕ1; Q2=P2l2sin.ϕ2.
Теперь воспользуемся подходом, использующим формулу (41).
Для определения обобщенной силы Q1, соответствующей первой обобщенной координате ϕ1, дадим механической системе возможное перемещение δϕ10, оставляя вторую обобщенную координату ϕ2 без изменения, т.е. δϕ2=0. Составим сумму работ сил P1 и P2 на заданном возможном перемещении : δA1=P1δy1+P2δy2. Вертикальные смещения δy1 и δy2 точек приложения сил, вызванные изменением угла ϕ1 (при сохранении неизменным угла ϕ2), найдутся из соотношений δy1=l1sin.ϕ1δϕ1=δy2 . Подставляя эти значения в выражение для работы на возможном перемещении, получим
δA1=(P1+P2)l1sin.ϕ1δϕ1=Q1δϕ1 .
Откуда Q1=(P1+P2)l1sin.ϕ1.
Для нахождения обобщенной силы Q2, соответствующей обобщенной координате ϕ2, придадим углу ϕ2 приращение δϕ20, но угол ϕ1 оставим без изменения, т.е. δϕ1=0.
Для работы силы P2 на заданном возможном перемещении получим выражение
δA2=P10+P2δy2=P2l2sin.ϕ2δϕ2=Q2δϕ2 .
Тогда обобщенная сила будет
Q2=P2l2sin.ϕ2 .
Для реализации третьего подхода составим выражение для потенциальной энергии и найдем обобщенные силы, соответствующие обобщенным координатам ϕ1 и ϕ2.
Для этого вычислим работу сил P1 и P2 при перемещении системы из отклоненного положения в горизонтальное (принятое за положение с нулевой потенциальной энергией):
П= P1l1cos.ϕ1P2(l1cos.ϕ1+l2cos.ϕ2)=
= (P1+P2)l1cos.ϕ1P2l2cos.ϕ2) .
Выполнив дифференцирование (1.22), получим
Q1=Пϕ1..=(P1+P2)l1sin.ϕ1 ;
Q2=Пϕ2..=P2l2sin.ϕ2 .
Естественно, что найденные разными приемами обобщенные силы одинаковы.

Оцените
Добавить комментарий