63. Обобщенные силы. Динамика

63. Обобщенные силы

Автор admin На чтение 6 мин Просмотров 1.5к.

Наряду с введенными ранее понятиями обобщенных координат, обобщенных скоростей и ускорений, введем понятие обобщенных сил.

Рассмотрим систему из $n$ материальных точек, на которую действуют внешние силы ${\to F}_{k}$ ; $k = 1, 2, . . ., n$ . Вычислим работу внешних сил на возможных перемещениях $δ {\to r}_{k}$ ( $k = 1, 2, . . ., n$ ) как

$δ A = \sum_{k = 1}^{n} {\to F}_{k} \cdot δ {\to r}_{k}$ . (36)

Определим из (1.2) возможное перемещение $δ {\to r}_{k}$ , введя независимые обобщенные координаты $q_{i};$ $i = 1, 2, . . ., s$ . Поскольку связи, наложенные на систему, голономны,

$x_{k} = x_{k} (t, q_{1}, q_{2}, . . ., q_{s});$ $y_{k} = y_{k} (t, q_{1}, q_{2}, . . ., q_{s});$ $z_{k} = z_{k} (t, q_{1}, q_{2}, . . ., q_{s})$ имеем $δ {\to r}_{k} = \sum_{i = 1}^{s} \frac{\partial {\to r}_{k}}{\partial q_{i}} δ q_{i}$ ; $i = 1, 2, . ., s; k = 1, 2, . . ., n$ . (37)

Подставив (37) в (36), получим

$δ A = \sum_{k = 1}^{n} {\to F}_{k} \sum_{i = 1}^{s} \frac{\partial {ˉ r}_{k}}{\partial q_{i}} δ q_{i}$ .

Изменив порядок суммирования по индексам $k$ и $i$ , будем иметь

$δ A = \sum_{i = 1}^{s} (\sum_{k = 1}^{n} {\to F}_{k} \frac{\partial {ˉ r}_{k}}{\partial q_{i}}) δ q_{i}$ . (38)

Величины

$Q_{i} = \sum_{k = 1}^{n} {\to F}_{k} \frac{\partial {ˉ r}_{k}}{\partial q_{i}} = \sum_{k = 1}^{n} (F_{k x} \frac{\partial x_{k}}{\partial q_{i}} + F_{k y} \frac{\partial y_{k}}{\partial q_{i}} + F_{k z} \frac{\partial z_{k}}{\partial q_{i}})$ (39)

называют обобщенными силами, соответствующими возможным перемещениям $δ q_{i}$ ;

при выводе учтено разложение векторов ${\to F}_{k} = F_{k x} \to i + F_{k y} \to j + F_{k z} \to k$ и ${\to r}_{k} = x_{k} \to i + y_{k} \to j + z_{k} \to k$ на оси неподвижной декартовой координатной системы.

Подставляя (39) в (38), получим

$δ A = \sum_{i = 1}^{s} Q_{i} \cdot δ q_{i}$ . (40)

В случае, когда возможные перемещения $δ q_{i}$ независимы, можно сообщить системе только одно возможное перемещение $δ q_{i} \neq 0$ , полагая остальные равными нулю, т.е. $δ q_{j} = 0; j \neq i; j = 1, 2, . . ., i - 1, i + 1, . . ., s;$ . Далее следует вычислить $δ A_{i}$ всех действующих сил на возможных перемещениях точек их приложения $δ {\to r}_{k}, k = 1, 2, . . ., n$ . Выразив последние через $δ q_{i}$ (используя уравнения связей), вынесем его за скобки. Выражение в скобках и будет обобщенной силой, соответствующей возможному перемещению $δ q_{i}$ механической системы, т.е.:

$Q_{i} = \frac{δ A_{i}}{δ q_{i}}$ . (41)

Последовательно вычисляя работу на каждом из независимых возможных перемещений $δ q_{i}$ , можно определить соответствующие им обобщенные силы $Q_{i}$ .

Заметим, во-первых, что размерность обобщенной силы, определяемой из (41), может быть любой. Например, при выборе в качестве обобщенной координаты угла поворота, обобщенная сила имеет размерность момента силы. Во-вторых, согласно (39), обобщенную силу формируют силы, приложенные в различных точках механической системы. Оба отмеченных обстоятельства подчеркивают удачность предложенного названия.

Для вычисления обобщенных сил в консервативных системах следует проекции сил (27) внести в уравнения (39). Тогда

$Q_{i} = - \sum_{k = 1}^{n} (\frac{\partial П}{\partial x_{k}} \frac{\partial x_{k}}{\partial q_{i}} + \frac{\partial П}{\partial y_{k}} \frac{\partial y_{k}}{\partial q_{i}} + \frac{\partial П}{\partial z_{k}} \frac{\partial z_{k}}{\partial q_{i}}) = - \frac{\partial П}{\partial q_{i}}$ . (42)

При выводе учтено, что первоначально выражение для потенциальной энергии было записано через декартовы координаты точек механической системы, которые позже были записаны через выбранные обобщенные координаты.

ПРИМЕР 9. Выбрать обобщенные координаты и определить обобщенные силы для двойного математического маятника, изображенного на рис.12.

РЕШЕНИЕ. Положение двойного маятника можно определить двумя углами $ϕ_{1}$ и $ϕ_{2}$ , которые и примем за обобщенные координаты (система имеет две степени свободы). Отсчет углов происходит от вертикальных линий (поскольку направление вертикалей не изменяется, выбранные координаты называются абсолютными).
Сначала воспользуемся подходом, использующим формулу (39).
Составим выражения для действующих сил и радиусов — векторов точек их приложения, выразив последние через выбранные обобщенные координаты:
${\to P}_{1} = 0 \to i + P_{1} \to j$ ; ${\to P}_{2} = 0 \to i + P_{2} \to j$
${\to r}_{1} = (l_{1} sin . ϕ_{1}) \to i + (l_{1} cos . ϕ_{1}) \to j$ ; ${\to r}_{2} = (l_{1} sin . ϕ_{1} + l_{2} sin . ϕ_{2}) \to i + (l_{1} cos . ϕ_{1} + l_{2} cos . ϕ_{2}) \to j$ .
Для нашего случая формула (1.9) будет иметь вид
$Q_{l} = P_{1 x} \frac{\partial x_{1}}{\partial ϕ_{l}} + P_{1 y} \frac{\partial y_{1}}{\partial ϕ_{l}} + P_{2 x} \frac{\partial x_{2}}{\partial ϕ_{l}} + P_{2 y} \frac{\partial y_{2}}{\partial ϕ_{l}}$ ; $l = 1, 2$
Взяв соответствующие производные и выполнив действия формального характера, получим
$Q_{1} = - (P_{1} + P_{2}) l_{1} sin . ϕ_{1}$ ; $Q_{2} = - P_{2} l_{2} sin . ϕ_{2}$ .
Теперь воспользуемся подходом, использующим формулу (41).
Для определения обобщенной силы $Q_{1}$ , соответствующей первой обобщенной координате $ϕ_{1}$ , дадим механической системе возможное перемещение $δ ϕ_{1} \neq 0$ , оставляя вторую обобщенную координату $ϕ_{2}$ без изменения, т.е. $δ ϕ_{2} = 0$ . Составим сумму работ сил ${\to P}_{1}$ и ${\to P}_{2}$ на заданном возможном перемещении : $δ A_{1} = P_{1} δ y_{1} + P_{2} δ y_{2}$ . Вертикальные смещения $δ y_{1}$ и $δ y_{2}$ точек приложения сил, вызванные изменением угла $ϕ_{1}$ (при сохранении неизменным угла $ϕ_{2}$ ), найдутся из соотношений $δ y_{1} = - l_{1} sin . ϕ_{1} \cdot δ ϕ_{1} = δ y_{2}$ . Подставляя эти значения в выражение для работы на возможном перемещении, получим
$δ A_{1} = - (P_{1} + P_{2}) l_{1} sin . ϕ_{1} δ ϕ_{1} = Q_{1} δ ϕ_{1}$ .
Откуда $Q_{1} = - (P_{1} + P_{2}) l_{1} sin . ϕ_{1}$ .
Для нахождения обобщенной силы $Q_{2}$ , соответствующей обобщенной координате $ϕ_{2}$ , придадим углу $ϕ_{2}$ приращение $δ ϕ_{2} \neq 0$ , но угол $ϕ_{1}$ оставим без изменения, т.е. $δ ϕ_{1} = 0$ .
Для работы силы $P_{2}$ на заданном возможном перемещении получим выражение
$δ A_{2} = P_{1} \cdot 0 + P_{2} δ y_{2} = - P_{2} l_{2} sin . ϕ_{2} \cdot δ ϕ_{2} = Q_{2} δ ϕ_{2}$ .
Тогда обобщенная сила будет
$Q_{2} = - P_{2} l_{2} sin . ϕ_{2}$ .
Для реализации третьего подхода составим выражение для потенциальной энергии и найдем обобщенные силы, соответствующие обобщенным координатам $ϕ_{1}$ и $ϕ_{2}$ .
Для этого вычислим работу сил $P_{1}$ и $P_{2}$ при перемещении системы из отклоненного положения в горизонтальное (принятое за положение с нулевой потенциальной энергией):
$П = - P_{1} l_{1} cos . ϕ_{1} - P_{2} (l_{1} cos . ϕ_{1} + l_{2} cos . ϕ_{2}) =$
$= - (P_{1} + P_{2}) l_{1} cos . ϕ_{1} - P_{2} l_{2} cos . ϕ_{2})$ .
Выполнив дифференцирование (1.22), получим
$Q_{1} = - \frac{\partial П}{\partial ϕ_{1}} = - (P_{1} + P_{2}) l_{1} sin . ϕ_{1}$ ;
$Q_{2} = - \frac{\partial П}{\partial ϕ_{2}} = - P_{2} l_{2} sin . ϕ_{2}$ .
Естественно, что найденные разными приемами обобщенные силы одинаковы.