18. Координатное описание. Скорость и ускорение. Кинематика точки. Кинематика

18. Координатное описание. Скорость и ускорение. Кинематика точки

Автор admin На чтение 8 мин Просмотров 4.4к.

Наиболее просто кинематические характеристики движения определяются в ортонормированном базисе ${\to e}_{1} = \to i,$ ${\to e}_{2} = \to j,$ ${\to e}_{3} = \to k$ (единичные базисные векторы ортогональны). Обычно с этим базисом связывают декартову систему осей $x, y, z$ . Три числа $x, y, z$ , которые определяют положение точки М относительно этой системы координат,- это проекции радиуса-вектора на координатные оси:

$\to r = x \to i + y \to j + z \to k .$ (25)

Координаты $x, y, z$ движущейся точки

$x = x (t), y = y (t), z = z (t)$ (26)

обычно полагают дважды дифференцируемыми по времени функциями.

Сами уравнения (26) называют уравнениями движения точки в декартовой координатной системе или уравнениями траектории точки в параметрической форме.

Если удается исключить из этих уравнений время $t$ , то комбинации любых двух полученных соотношений $f_{1} (x, y) = 0; f_{2} (x, z) = 0; f_{3} (y, z) = 0$ задают траекторию движения точки явно.

Для траектории движения, расположенной в одной плоскости (ее всегда можно совместить с плоскостью $x, y$ ), в (26) достаточно записать лишь первые два уравнения либо получить $f_{1} (x, y) = 0$ .

Продифференцировав (25) по времени, вектор скорости можно представить в форме:

$\to V = \frac{d \to r}{d t} = ˙ x \to i + ˙ y \to j + ˙ z \to k = V_{x} \to i + V_{y} \to j + V_{z} \to k .$ (27)

где $V_{x}; V_{y}; V_{z}$ — проекции вектора скорости на соответствующие оси координат.

Модуль вектора скорости определяется по формуле

$V = \sqrt{{V^{2}}_{x}^{2} + {V^{2}}_{y}^{2} + {V^{2}}_{z}^{2}} = \sqrt{{˙ x}^{2} + {˙ y}^{2} + {˙ z}^{2}},$ (28)

а направление этого вектора задается косинусами углов с соответствующими координатными осями («направляющие косинусы»):

$cos . (\to V ˆ; \to i) = \frac{V_{x}}{V}; cos . (\to V ˆ; \to j) = \frac{V_{y}}{V}; cos . (\to V ˆ; \to k) = \frac{V_{z}}{V}$ . (29)

Выполнив такую же последовательность операций, можно получить выражения для вектора ускорения, его проекций, модуля и направляющих косинусов углов:

$- \to W = \frac{d \to V}{d t} = ¨ x \to i + ¨ y \to j + ¨ z \to k = W_{x} \to i + W_{y} \to j + W_{z} \to k,$

$W = \sqrt{{W^{2}}_{x}^{2} + {W^{2}}_{y}^{2} + {W^{2}}_{z}^{2}} = \sqrt{{¨ x}^{2} + {¨ y}^{2} + {¨ z}^{2}},$ (30)

$cos . (- \to W ˆ; \to i) = \frac{W_{x}}{W};$ $cos . (- \to W ˆ; \to j) = \frac{W_{y}}{W};$ $cos . (- \to W ˆ; \to k) = \frac{W_{z}}{W}$ .

ПРИМЕР 13. Морское орудие, дульный срез которого расположен на высоте $h$ над уровнем моря, производит выстрел под углом $α_{0}$ к горизонту; скорость вылета снаряда $V_{0}$ (см. рис.43).

Полагая известными уравнения движения снаряда в декартовой координатной системе (начало координат на дульном срезе, $g$ — ускорение свободного падения, $t$ — время движения, сопротивление воздуха не учитывается):
$x = V_{0} cos . α_{0} \cdot t;$ $y = V_{0} sin . α_{0} \cdot t - \frac{g t^{2}}{2};$
необходимо рассчитать дальность полета снаряда, его скорость и ускорение в момент удара о воду.

РЕШЕНИЕ. Формулы для вычисления проекций скорости и ускорения на оси декартовой системы получаются дифференцированием по времени уравнений движения снаряда:
$V_{x} = V_{0} cos . α_{0};$     $V_{y} = V_{0} sin . α_{0} - g t;$
$W_{x} = 0;$     $W_{y} = - g;$
В общем случае значения величин проекций могут быть получены только после расчета времени полета снаряда $τ$ . Заметим, что в рассматриваемом случае на всем протяжении полета ускорение снаряда оказалось постоянным и равным ускорению свободного падения.
Время полета снаряда определим из условия $y (τ) = - h = V_{0} sin . α_{0} - \frac{g τ^{2}}{2}$ .
Решив квадратное уравнение относительно $τ$ , получим:
$τ = \frac{V_{0} sin . α_{0} + \sqrt{(V_{0} sin . α_{0})^{2} + 2 g h}}{g}$ .
Второй, отрицательный, корень уравнения отброшен, как не имеющий физического смысла.
Подставим найденное значение в формулы для проекций скорости:
$V_{x} = V_{0} cos . α_{0};$     $V_{y} = V_{0} sin . α_{0} - g τ = \sqrt{(V_{0} sin . α_{0})^{2} + 2 g h};$
Тогда величина скорости снаряда при ударе о воду будет
$V = \sqrt{{V^{2}}_{x}^{2} + {V^{2}}_{y}^{2}} = \sqrt{V_{0}^{2} + 2 g h}$ ,
а дальность полета снаряда равна
$L = x (τ) = \frac{V_{0}^{2} sin . 2 α_{0}}{2 g} \cdot [1 + \sqrt{1 + \frac{2 g h}{V_{0}^{2} {sin}^{2} . α_{0}}}]$ .

ПРИМЕР 14. Кривошип ОА кривошипно-шатунного механизма вращается с постоянной угловой скоростью $ω = π (р а д / с е к)$ . В начальный момент времени кривошип занимал горизонтальное положение. Длина шатуна АВ = ОА = 80 см. Точка М шатуна лежит на его середине. Составить уравнения для вычисления координат точек А, В и М механизма в декартовой координатной системе, изображенной на рисунке 44. Найти положение точки М в момент времени $τ = 0.25 с е к$ , а так же проекции скорости и ускорения, их модули и направляющие косинусы с координатными осями.

РЕШЕНИЕ. Запишем выражения для проекций точек механизма на оси декартовой координатной системы:
$x_{A} = 80 cos . ϕ = 80 cos . ω t = 80 cos . π t;$    $y_{A} = 80 sin . ϕ = 80 sin . ω t = 80 sin . π t;$
$x_{M} = 80 cos . ϕ + 40 cos . ϕ = 120 cos . ω t = 120 cos . π t;$    $y_{M} = 40 sin . ϕ = 40 sin . ω t = 40 sin . π t;$
$x_{B} = 80 cos . ϕ + 80 cos . ϕ = 160 cos . ω t = 160 cos . π t;$    $y_{B} = 0$ .
Для нахождения положения точки М в заданный момент времени подставим значение $τ = 0.25 с е к$ в выражения для проекций, тогда
$x_{M} = 120 cos . 0 . 25 π = 60 \sqrt{2} (с м);$    $y_{M} = 40 sin . 0 . 25 π = 20 \sqrt{2} (с м)$ .
Для вычисления проекций скорости продифференцируем полученные выражения по времени и подставим величину $τ = 0.25 с е к$ . Тогда
$V_{x M} = - 30 π sin . 0 . 25 π = - 15 π \sqrt{2} (с м / с е к);$    $V_{y M} = 10 π cos . 0 . 25 π = 5 π \sqrt{2} (с м / с е к)$ .
Теперь можно вычислить модуль вектора скорости и его направляющие косинусы:
$V = \sqrt{{V^{2}}_{x}^{2} + {V^{2}}_{y}^{2}} = π \sqrt{450 + 50} = 10 π \sqrt{5} (с м / с е к);$
$cos . (x ˆ; V) = \frac{V_{x}}{V} = - 0.3 \sqrt{10}$ ; $cos . (y ˆ; V) = \frac{V_{y}}{V} = 0.1 \sqrt{10}$ .
Для вычисления проекций ускорения второй раз продифференцируем полученные выражения по времени и подставим величину $τ = 0.25 с е к$ . Тогда
$W_{x M} = - 7.5 π^{2} cos . 0 . 25 π = - 3.75 π^{2} \sqrt{2} (с м / с е к^{2});$    $W_{y M} = - 2.5 π^{2} sin . 0 . 25 π = - 1.25 π^{2} \sqrt{2} (с м / с е к^{2})$ .
Теперь можно вычислить модуль вектора ускорения и его направляющие косинусы:
$W = \sqrt{{W^{2}}_{x}^{2} + {W^{2}}_{y}^{2}} = 2.5 π^{2} \sqrt{5} (с м / с е к^{2});$
$cos . (x ˆ; W) = \frac{W_{x}}{W} = - 0.3 \sqrt{10}$ ; $cos . (y ˆ; W) = \frac{W_{y}}{W} = - 0.1 \sqrt{10}$ .
Результаты выполненных расчетов нанесены на рисунок 45.