52. Теорема об изменении кинетической энергии. Динамика

Навигация

Кинетическая энергия механической системы
Энергетические характеристики
Теорема об изменении кинетической энергии

Кинетическая энергия механической системы

Кинетической энергией $T$ материальной точки массы $m$ , движущейся со скоростью $V$ , называют величину

$T = \frac{m V^{2}}{2}$ . (47)

Кинетической энергией механической системы называют сумму кинетических энергий включенных в эту систему материальных точек:

$T = \sum_{k = 1}^{n} \frac{m V_{k}^{2}}{2}$ . (48)

В тех случаях, когда масса системы распределена непрерывно, суммирование в выражении (48) заменяют интегрированием по области распределения.

Найдем связь между значениями кинетической энергии механической системы в двух системах отсчета, одна из которых неподвижна, а другая движется поступательно со скоростью ${\to V}_{A}$ . В этом случае скорость ${\to V}_{k}$ точки в неподвижной координатной системе и относительная скорость ${\to V}_{k}^{r}$ связаны соотношением

${\to V}_{k} = {\to V}_{A} + {\to V}_{k}^{r}$ .

Тогда вместо (48) получим

$T = \frac{M V_{A}^{2}}{2} + M {\to V}_{A} {\to V}_{C}^{r} + T^{r}$ . (49)

Здесь ${\to V}_{C}^{r} = \sum \frac{m_{k} {\to V}_{k}^{r}}{M}$ — относительная скорость центра масс; $T^{r} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{m_{k} (V_{k}^{r})^{2}}{2}$ — кинетическая энергия механической системы в подвижной системе координат.

Если за начало координат подвижной системы принимается центр масс механической системы С, то выражение (49) упрощается (теорема Кенига):

$T = \frac{M V_{C}^{2}}{2} + T^{r}$ . (50)

Использование выражений (48) и (50) позволяет сформулировать следующие правила вычисления кинетической энергии твердого тела: при поступательном движении тела массой $M$ со скоростью $\to V$

$T = \frac{M V^{2}}{2}$ ; (51)

при вращении с угловой скоростью $ω$ вокруг неподвижной оси $z$ тела с моментом инерции $I_{z}$

$T = \frac{I_{z} ω^{2}}{2}$ ; (52)

при плоскопараллельном движении твердого тела с угловой скоростью $ω$ при значении центрального момента инерции $I_{C z}$ относительно оси, перпендикулярной плоскости движения, и значении $I_{P z}$ момента инерции относительно мгновенной оси вращения

$T = \frac{M V_{C}^{2}}{2} + \frac{I_{C z} ω^{2}}{2} = \frac{I_{P z} ω^{2}}{2}$ ; (53)

при сферическом движении с угловой скоростью вращения $ω$

и значении момента инерции тела $I_{ξ}$ относительно мгновенной оси вращения $ξ$

$T = \frac{I_{ξ} ω^{2}}{2}$ ; (54)

в общем случае движения твердого тела

$T = \frac{M V_{C}^{2}}{2} + \frac{I_{C ξ} ω^{2}}{2}$ . (55)

Здесь момент инерции $I_{C ξ}$ вычисляется относительно мгновенной оси $C ξ$ такого сферического движения тела, которое оно совершает в системе осей, перемещающихся поступательно вместе с центром масс С.

В качестве примера вычислим кинетическую энергию механической системы, изображенной на рис.28, как сумму кинетических энергий тел ее формирующих. В этом случае

$T = T_{1}^{п о с т} + T_{б л}^{в р} + T_{3}^{п о с т} + T_{3}^{в р} = \frac{P_{1} {˙ s}_{1}^{2}}{2 g} + \frac{I_{2} {˙ ϕ}_{2}^{2}}{2} + \frac{P_{3} {˙ s}_{3}^{2}}{2 g} + \frac{I_{3} {˙ ϕ}_{3}^{2}}{2}$ .

С учетом уравнений кинематических связей ${˙ s}_{1} = ˙ ϕ \cdot R$ и ${˙ s}_{3} = {˙ ϕ}_{3} r_{3}$ выражение для кинетической энергии рассматриваемой механической системы с двумя степенями свободы может быть записано через любые две переменные, принятые за независимые. Например, если полагать независимыми $s_{1}$ и $s_{2}$ , то выражение для кинетической энергии примет вид

$T = \frac{{˙ s}_{1}^{2} (P_{1} R^{2} + I)}{2 g R^{2}} + \frac{{˙ s}_{2}^{2} 3 P_{3}}{4 g}$ .

Энергетические характеристики

К энергетическим характеристикам силы относят ее мощность, работу и потенциальную энергию.

Мощностью $N$ силы $\to F$ , точка приложения которой движется со скоростью $\to V$ , называют величину

$N = \to F \cdot \to V$ . (56)

Работа силы $d^{‘} A$ на элементарном интервале времени $d t$ и соответствующем этому промежутку времени элементарному смещению $d \to r$ точки приложения определяется по правилу

$d^{‘} A = N d t = \to F \cdot \to V d t = \to F \cdot d \to r$ . (57)

Работой $A$ силы на конечном интервале времени [0; $t$ ] и соответствующем изменении радиуса – вектора точки приложения этой силы от ${\to r}_{0}$ до $\to r$ называют величину

$A = \int_{0}^{t} N d t = \int_{{\to r}_{0}}^{\to r} \to F d \to r$ . (58)

Работа момента пары сил вычисляется аналогично.

Потенциальная энергия $П$ определена только в тех случаях, когда выражение (57) представляет собой полный дифференциал $П$ :

$d^{‘} A = - d П$ . (59)

При выполнении условия (59) говорят, что сила потенциальна. Сопоставление формул (57) и (59) позволяет записать соотношения, связывающие проекции силы на оси выбранной координатной системы с функцией $П$ :

$F_{x} = - \frac{\partial П}{\partial x}$ ; $F_{y} = - \frac{\partial П}{\partial y}$ ; $F_{z} = - \frac{\partial П}{\partial z}$ . (60)

Если точка приложения силы переместилась из положения $M_{1} (x_{1}; y_{1}; z_{1})$ в положение $M_{2} (x_{2}; y_{2}; z_{2})$ , то путем интегрирования (59) можно получить

$A_{12} = - \int_{2}^{M_{2}} d П = П (x_{1}; y_{1}; z_{1}) - П (x_{2}; y_{2}; z_{2})$ . (61)

Заметим (см. формулы (57), (60) и (61)), что потенциальная энергия определена с точностью до постоянного слагаемого; отмеченная особенность позволяет полагать потенциальную энергию равной нулю в выбираемой нами точке (например, в начале координат). В последнем случае формула (61) принимает вид

$A_{10} = - \int_{0}^{M_{0}} d П = П (x; y; z)$ . (62)

Иными словами – потенциальная энергия равна работе сил по переводу системы из отклоненного положения в начальное.

В том случае, когда для совокупности сил, действующих на механическую систему, можно записать выражение потенциальной энергии $П$ , механическую систему называют консервативной. Такие механические системы обладают важными особенностями – работа действующих сил не зависит от вида траектории и закона движения по ней; работа при движении по замкнутому контуру равна нулю (см. (61)). Из (60) легко получить условия, при выполнении которых существует функция $П$ :

$\frac{\partial F_{x}}{\partial y} = \frac{\partial F_{y}}{\partial x}$ ; $\frac{\partial F_{x}}{\partial z} = \frac{\partial F_{z}}{\partial x}$ ; $\frac{\partial F_{z}}{\partial y} = \frac{\partial F_{y}}{\partial z}$ . (63)

В качестве примера вычислим потенциальную энергию для трех частных, но важных для технических приложений, случаев: действуют сила тяжести, центральная сила и сила упругости пружины.

Для силы тяжести $\to P = \to i 0 + \to j 0 - \to k P$ выполняются критерии (63); тогда, в соответствии с формулами (58) и (62), имеем

$П = A_{10} = \int_{z}^{0} (F_{x} d x + F_{y} d y + F_{z} d z) = \int_{z}^{0} (- P) d z = P z$ . (64)

Для центральной силы $\to F = F (r) \frac{\to r}{r}$ , модуль которой зависит от расстояния $r$ до начала координат, так же выполняются критерии (63), поэтому

$П = A_{10} = \int_{0}^{r_{0}} F (r) \frac{\to r}{r} d \to r = \int_{0}^{r_{0}} F (r) d r$ . (65)

Силу упругости пружины можно считать центральной силой, направленной к началу координат; в случае прямой пропорциональности между величиной силы $F_{x}$ и удлинением $x$ пружины имеем $F_{x} = - c x$ . В этом случае

$П = A_{10} = \int_{x}^{0} F_{x} d x = \int_{x}^{0} (- c x) d x = \frac{c x^{2}}{2}$ . (66)

При определении энергетических характеристик системы сил суммируют соответствующие характеристики для всех сил, действующих на механическую систему.

Теорема об изменении кинетической энергии

Умножим уравнения (2.5) скалярно на скорость ${\to V}_{k}$ и сложим.

$\sum_{k = 1}^{n} m_{k} \frac{d {\to V}_{k}}{d t} {\to V}_{k} = \sum_{k = 1}^{n} {\to F}_{k}^{e} {\to V}_{k} + \sum_{k = 1}^{n} {\to F}_{k}^{i} {\to V}_{k} = N^{e} + N^{i}$ ,

где $N^{e}$ и $N^{i}$ — мощности внешних и внутренних сил, действующих на механическую систему.

Заметим, что если связи между телами, формирующими систему, допускают деформацию (см. пружину жесткостью $c_{2}$ в примере 21), то точки приложения равных и противоположно направленных внутренних сил ${\to T}_{2}$ имеют различные скорости, вследствие чего их суммарная мощность не будет равной нулю.

Изменив порядок суммирования и дифференцирования в левой части равенства, ее можно привести к виду

$\sum_{k = 1}^{n} m_{k} \frac{d {\to V}_{k}}{d t} {\to V}_{k} = \frac{d}{d t} \sum_{k = 1}^{n} \frac{m_{k} {\to V}_{k}^{2}}{2} = \frac{d}{d t} \sum_{k = 1}^{n} \frac{m_{k} V_{k}^{2}}{2} = \frac{d T}{d t}$ .

Окончательно имеем запись теоремы об изменении кинетической энергии механической системы в дифференциальной форме:

$\frac{d T}{d t} = N^{e} + N^{i}$ . (67)

— производная по времени от кинетической энергии механической системы равна мощности всех действующих сил.

В дифференциальной форме, основанной на понятии работы силы за элементарный промежуток времени, получим

$d T = (N^{e} + N^{i}) d t = d^{‘} A^{e} + d^{‘} A^{i}$ . (68)

Интегрируя (68) на интервале времени [0; $t$ ], получим интегральную форму записи теоремы об изменении кинетической энергии

$T_{1} - T_{0} = A^{e} + A^{i}$ , (69)

где $T_{1} = T (t)$ ; $T_{0} = T (0)$ ; $A^{e} = \int_{0}^{t} N^{e} d t$ ; $A^{i} = \int_{0}^{t} N^{i} d t$ .

В частном случае, когда для совокупности внешних и внутренних сил системы можно записать выражение потенциальной энергии

$d^{‘} A^{e} + d^{‘} A^{i} = - d П$ ,

вместо (68) имеем соотношение

$d (T + П) = 0$ . (70)

В такой системе выполняется закон сохранения полной механической энергии

$T + П = c o n s t$ ,

а сама система называется консервативной.

ПРИМЕР 22 (задача 38.24 из [ 2 ]). На рисунке 29 изображен подъемный механизм лебедки. Груз А, массой $m_{1}$ поднимается посредством троса, переброшенного через блок С и навитого на барабан В радиуса $R$ массы $m_{2}$ . К барабану приложен вращающий момент, который с момента включения пропорционален квадрату угла поворота $ϕ$ барабана: $M = a ϕ^{2}$ , где $a$ — постоянный коэффициент. Определить скорость груза А в момент, когда он поднимется на высоту $x$ . Массу барабана В считать равномерно распределенной по его ободу. Блок С – сплошной диск массы $m_{3}$ . Массой троса пренебречь. В начальный момент система находилась в покое.

РЕШЕНИЕ. Воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии в интегральной форме
$T_{1} - T_{0} = A^{e} + A^{i}$ ,
где $T_{0} = 0$ , так как в начальный момент система покоилась, и $A^{i} = 0$ , так как трос не растяжим (система с геометрически неизменяемыми связями).
Составим выражение для кинетической энергии механической системы
$T = T_{A}^{п о с т} + Т_{С}^{в р} + Т_{В}^{в р} = \frac{m_{1} V^{2}}{2} + \frac{I_{3} ω_{3}^{2}}{2} + \frac{I_{2} ω_{2}^{2}}{2}$ .
Рассматриваемая механическая система обладает одной степенью свободы, поэтому возможно выразить $ω_{2}$ и $ω_{3}$ через скорость груза $V$ . Для этого запишем уравнения кинематических связей
$V = ω_{3} r = ω_{2} R$ ;
Тогда выражение для кинетической энергии может быть приведено к виду
$T = \frac{V^{2}}{2} (m_{1} + \frac{m_{3} r^{2}}{2} \cdot \frac{1}{r^{2}} + m_{2} R^{2} \frac{1}{R^{2}}) = \frac{V^{2}}{4} (2 m_{1} + m_{3} + 2 m_{2})$ .
Теперь получим выражение для работы внешних усилий, действующих на точки механической системы
$A^{e} (x) = \int_{0}^{ϕ} M d ϕ - m_{1} g \cdot x = \frac{a x^{3}}{3 R^{3}} - m_{1} g \cdot x$ .
При записи учтено, во-первых, что связи рассматриваемой механической системы идеальны, а во-вторых, что интегрирование уравнения кинематических связей позволяет выразить $ϕ$ через $x$ .
Окончательно имеем
$V = 2 \sqrt{\frac{A^{e} (x)}{2 m_{1} + m_{3} + 2 m_{2}}}$ .

ПРИМЕР 23. При посадке самолета на палубу его посадочная скорость ${\to V}_{0}$ совпадает с направлением скорости равномерного прямолинейного движения авианосца $\to U$ . Улавливающее и тормозящее устройство (аэрофинишер) состоит из нерастяжимого троса, охватывающего безынерционные расположенные на расстоянии $2 b$ друг от друга блоки $O_{1}$ и $O_{2}$ . Трос нагружен постоянной по модулю силой $\to P$ (см. рис.30). В момент посадки он захватывается специальным устройством самолета и далее вытягивается симметрично, как показано на рисунке. Найти значение силы $\to P$ , при которой пробег самолета массы $m$ до полной остановки на палубе не превысит $l$ .

РЕШЕНИЕ. Воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии в интегральной форме
$T_{1} - T_{0} = A^{e} + A^{i}$ ,
где $T_{1} = 0$ , так как в конечный момент механическая система (самолет – трос) покоится, и $A^{i} = 0$ , так как трос не растяжим. Составим выражение для кинетической энергии механической системы
$T_{0} = \frac{m (V_{0} - U)^{2}}{2}$ .
Работа постоянных внешних сил $\to P$ равна $A^{e} = - 2 P l_{*}$ , где перемещение каждого из концов троса $l_{*} = \sqrt{l^{2} + b^{2}} - b$ .
Приравняв выражения для работы и кинетической энергии, найдем, что
$P = \frac{m (V_{0} - U)^{2}}{4 (\sqrt{l^{2} + b^{2}} - b)}$ .
Заметим, что если силы $\to P$ обеспечиваются не постоянными грузами, а упругими элементами, то величина этих сил в процессе торможения самолета будет переменной и равной
$P = c (x + Δ)$ , где $c$ — жесткость упругого элемента, $Δ$ — его предварительное растяжение, а $x$ — дополнительное растяжение, обусловленное вытяжкой троса в процессе посадки. В таком случае может быть поставлена задача о нахождении величины предварительного растяжения упругого элемента, обеспечивающего заданный пробег самолета по палубе.
При этом выражение для работы сил упругих элементов будет
$A^{e} = - (\frac{c (l_{*} + Δ)^{2}}{2} - \frac{c Δ^{2}}{2}) = - \frac{c}{2} (l_{*} + 2 Δ) l_{*}$
Приравняв выражения для работы и кинетической энергии, найдем, что
$Δ = \frac{m (V_{0} - U)^{2} - c l_{*}^{2}}{2 c l_{*}}$ .

ПРИМЕР 24. Для механической системы, описанной в примере 20, получить дифференциальное уравнение движения груза.

РЕШЕНИЕ. Для решения задачи воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме (67). Мысленно освободимся от связей, приложив к телам механической системы соответствующие реакции (см.рис.31).
Составим выражение для кинетической энергии механической системы:
$T = T_{1}^{п о с т} + T_{2}^{в р} + T_{3}^{п о с т} + T_{3}^{в р} = \frac{P_{1} {˙ s}_{1}^{2}}{2 g} + \frac{I_{2} {˙ ϕ}_{2}^{2}}{2} + \frac{P_{3} {˙ s}_{3}^{2}}{2 g} + \frac{I_{3} {˙ ϕ}_{3}^{2}}{2}$ .
Запишем уравнения кинематических связей:
$V_{1} = ω_{2} \cdot R$ или ${˙ s}_{1} = {˙ ϕ}_{2} \cdot R$ ;
$ω_{2} \cdot r = ω_{3} 2 r_{3}$ или ${˙ ϕ}_{2} \cdot r = 2 {˙ ϕ}_{3} r_{3}$ ;
$V_{3} = ω_{3} \cdot r_{3}$ или ${˙ s}_{3} = {˙ ϕ}_{3} \cdot r_{3}$ .
При записи учтено, что мгновенный центр скоростей диска, катящегося без скольжения, расположен в точке его соприкосновения с плоскостью.
В формулу для кинетической энергии подставим угловые скорости вращения соосных блоков, диска и скорость центра масс диска, выраженные через скорость первого груза; тогда
$T = \frac{{˙ s}_{1}^{2}}{2} (\frac{P_{1}}{g} + \frac{I}{R^{2}} + \frac{3 P_{3} r^{2}}{8 g R^{2}})$ .
При получении результата учтено, что осевой момент инерции однородного диска $I_{3} = \frac{P_{3} r_{3}^{2}}{2 g}$ .
Продифференцировав выражение для кинетической энергии по времени, получим левую часть равенства (67):
$\frac{d T}{d t} = {¨ s}_{1} {˙ s}_{1} (\frac{P_{1}}{g} + \frac{I}{R^{2}} + \frac{3 P_{3} r^{2}}{8 g R^{2}})$ .
Отметим, что в рассматриваемой системе внутренние связи не деформируемы, поэтому мощность внутренних сил должна быть равна нулю. Запишем выражение для мощности внешних сил:
$N^{e} = P_{1} {˙ s}_{1} - F_{y} {˙ s}_{1} - P_{3} sin . α \cdot {˙ s}_{3} = P_{1} {˙ s}_{1} - c_{1} s_{1} {˙ s}_{1} - P_{3} sin . α \cdot {˙ s}_{3}$ ,
при записи учтено, что сила упругости $F_{y} = c_{1} s_{1}$ , а мощность силы сцепления, приложенной в мгновенном центре скоростей, равна нулю.
В выражение для мощности подставим скорость центра диска, выраженную через скорость первого груза; тогда
$N^{e} = {˙ s}_{1} (P_{1} - c_{1} s_{1} - P_{3} \frac{r}{2 R} sin . α)$ .
Приравняем выражения для левой и правой частей равенства (67) и сократим их на ${˙ s}_{1}$ . Перенесем переменные величины в левую часть равенства и поделим все слагаемые на постоянный коэффициент при ускорении первого груза. Окончательный вид искомого дифференциального уравнения будет
${¨ s}_{1} + \frac{c_{1}}{m} s_{1} = \frac{2 P_{1} R - P_{3} r sin . α}{2 R m}$ ,
где $m = \frac{P_{1}}{g} + \frac{I}{R^{2}} + \frac{3 P_{3} r^{2}}{8 g R^{2}}$ .
Полученное неоднородное дифференциальное уравнение описывает гармонические колебания с частотой $k = \sqrt{\frac{c_{1}}{m}}$ около смещенного на величину $Δ_{C T}$ положения (положения статического равновесия механической системы), т.е.
$s_{1} = A_{0} sin . (k t + α) + Δ_{C T}$ ,
где $Δ_{C T} = \frac{2 P_{1} R - P_{3} r sin . α}{2 R c_{1}}$ , а постоянные амплитуда $A_{0}$ и начальная фаза $α$ определяются из начальных условий движения.