35. Графоаналитический способ. Кинематика плоских механизмов. Кинематика

35. Графоаналитический способ. Кинематика плоских механизмов

Автор admin На чтение 4 мин Просмотров 3.2к.

Вычертив плоский механизм в заданный момент времени (либо в заданном положении), вычисляют глобальные кинематические характеристики звена (звеньев), которые приводят в движение остальные звенья. Далее, через общие точки звеньев, осуществляется последовательный переход от звена, кинематические характеристики которого известны либо рассчитаны, к другому звену, кинематические характеристики которого возможно рассчитать. Использование векторных зависимостей из лекций 6,7 и 8 требует построения векторных многоугольников (в частном случае – треугольников). Если вычисление неизвестных величин осуществляется с использованием тригонометрии, получаем аналитические зависимости. Если многоугольники построены достаточно корректно, и неизвестные величины могут быть измерены непосредственно на чертеже, тогда возможно их графическое определение. Сказанное и определяет название способа.

ПРИМЕР 31. Для плоского механизма, изображенного на рис.85 в заданном положении ( $α = 9 0^{0}; β; γ$ ), рассчитать скорости точек А, В и С, а так же угловую скорость и ускорение звеньев $O_{2} B$ и $B C$ . Угловую скорость $ω_{1}$ и угловое ускорение $ε_{1}$ звена $O_{1} A$ , а так же длины звеньев и размеры, указанные на рисунке, полагать известными величинами.

1. Зная глобальные кинематические характеристики звена $O_{1} A$ , вычислим скорость и составляющие ускорения его точки А:

$V_{A} = ω_{1} l_{1};$ $W_{A}^{n} = ω_{1}^{2} l_{1};$ $W_{A}^{τ} = ε_{1} l_{1}$ .

Траектория точки А – окружность радиуса $O_{1} A$ .

2. Точка А является общей точкой звена $O_{1} A$ и ползуна. Представим движение ползуна по окружности как сложное, состоящее из относительного движения — вдоль звена $O_{2} B$ , и переносного – вместе с точкой звена $O_{2} B$ , с которой точка А совпадает в данный момент времени (движение по дуге окружности радиуса $O_{2} A$ ). Тогда для скорости точки А можно записать формулу (68):

${\to V}_{A} = {\to V}_{A}^{r} + {\to V}_{A}^{e}$ . В этом векторном треугольнике известна одна сторона ( ${\to V}_{A}$ ) и направления скоростей точки А в относительном (вдоль линии $O_{2} B$ ) и в переносном (по касательной к окружности радиуса $O_{2} A$ ) движениях. Построение этого треугольника выполнено на рис.86.

Из построения находим: $V_{A}^{e} = V_{A} sin . β$ и $V_{A}^{r} = V_{A} cos . β$ . Как уже говорилось выше, переносная скорость точки А есть скорость совпадающей с ней точки звена $O_{2} B$ . Тогда угловая скорость звена $O_{2} B$ будет

$ω_{e} = ω_{2} = \frac{V_{A}^{e}}{O_{2} A} = \frac{ω_{1} l_{1} sin . β}{\sqrt{b^{2} + l_{1}^{2}}}$ .

Построим для точки А многоугольник ускорений (см. рис.87):

${- \to W}_{A}^{n} + {- \to W}_{A}^{τ} = {- \to W}_{A}^{r} + {- \to W}_{A}^{e O C} + {- \to W}_{A}^{e B P} + {- \to W}^{c}$ .

Здесь известны оба слагаемых в левой части, можно вычислить в правой части

$W_{A}^{e O C} = ω_{2}^{2} l_{2}$ и $W^{c} = 2 ω_{2} V_{A}^{r}$ . Направления векторов ускорений в относительном движении и вращательного в переносном движении совпадают с направлениями скоростей соответствующих движений (см. рис.87).

Из многоугольника имеем: $W_{A}^{e B P} = W^{c} - W_{A}^{n} cos . β + W_{A}^{τ} sin . β$ . Тогда $ε_{e} = ε_{2} = \frac{W_{A}^{e B P}}{O_{2} A}$ .

Найденные глобальные кинематические характеристики звена $O_{2} B$ позволяют рассчитать скорость и составляющие ускорения точки В:

$V_{B} = ω_{2} l_{2};$ $W_{B}^{n} = ω_{2}^{2} l_{2};$ $W_{B}^{τ} = ε_{2} l_{2}$ .

Заметим, что совокупность звеньев $O_{1} A; O_{2} B$ и ползуна образуют плоский механизм, называемый кривошипно–кулисным.

Совокупность звеньев $O_{2} B; B C$ и ползуна С, как уже говорилось, называется кривошипно-шатунным механизмом.

3. Звено ВС совершает плоское движение. Приняв за полюс точку В, кинематические характеристики которой получены, можно для точки С построить треугольник скоростей ${\to V}_{C} = {\to V}_{B} + {\to V}_{C B}$ (см. рис.88) :

Отсюда $V_{C} = \frac{V_{B}}{sin . β};$ $V_{C B} = \frac{V_{B}}{t g β}$ ; $ω_{C B} = ω_{3} = \frac{V_{C B}}{l_{2}}$ .

Многоугольник ускорений ${- \to W}_{C} = {- \to W}_{B} + {- \to W}_{C B}^{B P} + {- \to W}_{C B}^{O C}$ изображен на рис.89.

Здесь $W_{C B}^{O C} = ω_{3}^{2} l_{3}$ . Спроецировав многоугольник ускорений на горизонталь и вертикаль, получим систему уравнений для вычисления неизвестных величин $W_{C}$ и $W_{C B}^{B P}$ :

$W_{C} = W_{B}^{n} cos . β + W_{B}^{τ} sin . β + W_{C B}^{O C} cos . γ + W_{C B}^{B P} sin . γ;$

$0 = W_{B}^{n} sin . β - W_{B}^{τ} cos . β - W_{C B}^{O C} sin . γ + W_{C B}^{B P} cos . γ$ .

Если необходимо найти угловое ускорение движения точки С относительно полюса В, то $ε_{C B} = ε_{3} = \frac{W_{C B}^{B P}}{l_{3}}$ .

Замечание: получение глобальных кинематических характеристик всех звеньев плоского механизма позволяет рассчитать локальные кинематические характеристики для любой его точки.